十八章 勾股定理
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第十八章 勾股定理
GSZX
广顺中学简明学案
学科：数学 设计人： 时间：200９.4 班级： 姓名：
18．1 勾股定理（1）
【课时目标】1、了解勾股定理的由来，经历探索勾股定理的过程.
理解并能用不同的方法证明勾股定理，并能简单的运用.
提高推理意识与探究习惯，感受我国古代数学的伟大成就.
【重点难点】重点：勾股定理及及其应用.
难点：用面积法（拼图法）证明勾股定理.
【学具】4个全等的直角三角形
【情景引入】1.在我校实验楼与教学楼一楼之间的连廊上，有一幅如上图所示的图案，这也是2002年8月在北京举行的国际数学家大会的会标。这幅美丽而神秘的图案有什么秘密呢？
2．毕达哥拉斯在地板上的发现：
(
A
B
C
A
B
C
)
3、一般的直角三角形是否也具有这种关系呢？根据上图展开探究。
【归纳猜想】直角三角形三边长度之间存在什么关系？
(
a
b
c
)【证明】我们还是选择刚才认识的弦图来证明.请用准备好的4个直角三角形摆出弦图，并用两种方式求出弦图的面积（独立思考后可组内交流）。
【得出结论】
【小知识】了解勾股定理的由来及历史。
变式：
定理：
【达标测试】：1、求下图中字母所代表的数值。
(
144
x
)
(
225
400
A
)
(
81
)
直角三角形的斜边x长为
(
A
B
C
D
7
cm
F
E
)
正方形A面积为
2、如图：所有的四边形都是正方形，所有的三角
形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm,
则正方形A，B，C，D的面积之和为 cm2。
知识延伸：美丽的毕达哥拉斯树
【拔高拓展】古往今来、古今中外,目前世界上可以查到的证明勾股定理的方法有400余种。上至科学家、下至平民百姓，甚至美国第20届总统加菲尔德、清朝皇帝康熙都曾给出自己独特的证明。相关知识，请阅读课本的阅读与思考，并选择其中一种方法在下面写出详细的证明过程。
【课外探究】上网查阅或到学校图书室查阅资料，写一篇与勾股定理有关的小论文（不少于300字）
推荐网址：http//:www. Qq12.com/flash/3427.het
http//:www. /gougudingli
http//:www.mmit.stc.//ggdl.htm
广顺中学简明学案
学科：数学 设计人： 时间：200９.4 班级： 姓名：
18．1 勾股定理（2）
【课时目标】1．能运用勾股定理解决简单的实际问题．
2．通过本节学习，使学生真正体会数学来源于生活，又应用于生活，增强如何在日常生活中用数学知识解决问题的经验和感受．
【重点难点】重点难点：运用勾股定理及方程的思想解决简单的实际问题．
【温故知新】回忆勾股定理的内容：
【经典例题】例1：一个门框的尺寸如图所示．
(
B
C
1
m
2
m
A
)①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？
②若薄木板长3米，宽1.5米呢？
③若薄木板长3米，宽2.2米呢？（注意解题格式）
实际问题 数学模型
例2：长3米的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．
①求梯子的底端B距墙角O多少米？
②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C，请同学们猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？
③算一算，底端滑动距离的近似值
(
O
B
D
C
Ｃ
A
)④你还能对例题提供的问题情景进行变式训练吗？
（结果均保留两位小数）．
实际问题 数学模型
例3：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3m，消防队员取来6．5 m长的云梯，如果梯子的底部离墙基的水平距离是2．5m，请问消防队员能否进入三楼灭火
(
6
10
) (
10
30
°
) (
15
8
)【达标测试】1、求出下列直角三角形中未知的边．
(
10
45
°
)
(
B
A
C
)2、一个高1.5米、宽0.8米的长方形门框，需要在其相对的顶
点间用一条木条加固，则需木条长为 。
3、从电杆离地面5m处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面
钢缆A到电线杆底部B的距离为 。
4、有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖盖住这个洞口，
圆的直径至少为 （结果保留整数）
5、一旗杆离地面6m处折断，其顶部落在离旗杆底部8m处，则旗杆折断前高
(
A
E
B
D
C
)6、如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长100cm，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为60cm，当端点B向右移动20cm时，滑杆顶端A下滑多长？
7、长方形零件尺寸如图(单位：mm),
(
21
40
21
60
A
B
C
)求两孔中心的距离。（精确到0.1mm）
广顺中学简明学案
学科：数学 设计人： 时间：2009.4 班级： 姓名：
18．1 勾股定理（3）
【课时目标】1、掌握勾股定理，能运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步领会数形结合的思想．
2、通过学生实践操作，培养学生的探究能力、画图能力和解决问题的能力．
【重点难点】重点难点：运用勾股定理解决数学和实际问题．
【学具】圆规、刻度尺
【问题引入】1、你能画出长为cm的线段吗？在小组内说说你的办法，和同伴一起确定切实可行的方案。
2、你能在数轴上找出表示的点吗？请作图说明。
3、在数轴上表示、、……的点又如何表示？
4、你能找到，，，…，在数轴上更简便的画法吗？
【经典例题】例1：用上述方法在数轴上作出表示的点，并补充完整课本76页的作图方法。
练习：课本第77页练习第l题．
【达标测试】1．在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=______；
②若a=15，c=25，则b=_____； ③若c=61，b=60，则a=_____。
2．若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16 cm,那么第三边上的高为 ，面积为 。
3．等边三角形的边长为a，则其面积为 。
4．一个圆柱状的杯子，由内部测得其底面半径为4cm，高为6cm，现有一支11cm的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口至少________cm.
5．一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向西北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东北方向航行，
离开港口3小时后，则两船相距_______海里.
6．如图，每个小正方形的边长是1，在图中画出一个
三角形，使三角形的三边长分别是，，。
7．在数轴上作出表示的点。
(
A
B
C
D
L
)【拔高拓展】8．如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
广顺中学简明学案
学科：数学 设计人： 时间：2009.4 班级： 姓名：
18．1 勾股定理的逆定理（2）
【课时目标】1、能运用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题．
2、经历将实际问题转化为数学模型的过程，体会用勾股定理的逆定理解决实际问题的方法，发展学生的应用意识．
【重点难点】重点：运用勾股定理的逆定理解决实际问题．
难点：将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题．
【温故知新】说说你对勾股定理及其逆定理的理解。
【问题引入】A、B、C三地两两距离如下图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？
【经典例题】例2：“远航”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
练习：课本第84页练习第3题、习题第3题．
补例：如下图所示是一尊雕塑的底座的正面，李叔叔想要检测正面的AD边和BC边是否垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺．
（1）你能替他想想办法完成任务吗？
(
C
B
D
A
)（2）李叔叔量得AD的的长是30厘米，AB的长是40厘米，BD的长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？
（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有
办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？
【达标测试】1.△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12，则AC＝
2.如图，△ABC中，D是BC上的一点， 若AB=10，BD=6
AD=8，AC=17，则△ABC的面积为 。
3．已知△ABC，在下列条件：①
②∠A＝∠B－∠C；③∠A：∠B：∠C=3：4：5；；；④（m、n为正整数，且m>n）中,使△ABC成为直角三角形的选法有（ ）
(
A
B
C
)A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种
4．如图，正方形小方格边长为1,则网格中的△ABC是 （ ）
A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对
5．小明向东走80m后，沿另一方向又走了60m，再沿第三方向走
100米回到原地。小明向东走80m后又向哪个方向走的？
6．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，
且CF=CD．求证：△AEF是直角三角形．
【拔高拓展】7．小红和小军周日去郊外放风筝，风筝飞得又高又远，他俩很想知道风筝离地面到底有多高，你能帮助他们吗？
8．学习了勾股定理以后,有同学提出“在直角三角形中,三边满足,或许其他的三角形三边也有这样的关系”.让我们来做一个实验！
(1)画出任意的一个锐角三角形,如图2，量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是______mm；______mm；较长的一条边长_______mm。
比较(填写“＞”,“＜”,或“＝”)；
(2)画出任意的一个钝角三角形,如图3，量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是______mm；_______mm；较长的一条边长_______mm。
比较(填写“＞”,“＜”,或“＝”)；
(3)根据以上的操作和结果,对这位同学提出的问题, 你猜想的结论是:
。
(4)对你猜想与的两个关系，任选其中一个结论利用勾股定理证明。
4
GSZX
广顺中学简明学案
学科：数学 设计人： 时间：200９.4 班级： 姓名：
18．1 勾股定理（1）
【课时目标】1、了解勾股定理的由来，经历探索勾股定理的过程.
理解并能用不同的方法证明勾股定理，并能简单的运用.
提高推理意识与探究习惯，感受我国古代数学的伟大成就.
【重点难点】重点：勾股定理及及其应用.
难点：用面积法（拼图法）证明勾股定理.
【学具】4个全等的直角三角形
【情景引入】1.在我校实验楼与教学楼一楼之间的连廊上，有一幅如上图所示的图案，这也是2002年8月在北京举行的国际数学家大会的会标。这幅美丽而神秘的图案有什么秘密呢？
2．毕达哥拉斯在地板上的发现：
(
A
B
C
A
B
C
)
3、一般的直角三角形是否也具有这种关系呢？根据上图展开探究。
【归纳猜想】直角三角形三边长度之间存在什么关系？
(
a
b
c
)【证明】我们还是选择刚才认识的弦图来证明.请用准备好的4个直角三角形摆出弦图，并用两种方式求出弦图的面积（独立思考后可组内交流）。
【得出结论】
【小知识】了解勾股定理的由来及历史。
变式：
定理：
【达标测试】：1、求下图中字母所代表的数值。
(
144
x
)
(
225
400
A
)
(
81
)
直角三角形的斜边x长为
(
A
B
C
D
7
cm
F
E
)
正方形A面积为
2、如图：所有的四边形都是正方形，所有的三角
形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm,
则正方形A，B，C，D的面积之和为 cm2。
知识延伸：美丽的毕达哥拉斯树
【拔高拓展】古往今来、古今中外,目前世界上可以查到的证明勾股定理的方法有400余种。上至科学家、下至平民百姓，甚至美国第20届总统加菲尔德、清朝皇帝康熙都曾给出自己独特的证明。相关知识，请阅读课本的阅读与思考，并选择其中一种方法在下面写出详细的证明过程。
【课外探究】上网查阅或到学校图书室查阅资料，写一篇与勾股定理有关的小论文（不少于300字）
推荐网址：http//:www. Qq12.com/flash/3427.het
http//:www. /gougudingli
http//:www.mmit.stc.//ggdl.htm
广顺中学简明学案
学科：数学 设计人： 时间：200９.4 班级： 姓名：
18．1 勾股定理（2）
【课时目标】1．能运用勾股定理解决简单的实际问题．
2．通过本节学习，使学生真正体会数学来源于生活，又应用于生活，增强如何在日常生活中用数学知识解决问题的经验和感受．
【重点难点】重点难点：运用勾股定理及方程的思想解决简单的实际问题．
【温故知新】回忆勾股定理的内容：
【经典例题】例1：一个门框的尺寸如图所示．
(
B
C
1
m
2
m
A
)①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？
②若薄木板长3米，宽1.5米呢？
③若薄木板长3米，宽2.2米呢？（注意解题格式）
实际问题 数学模型
例2：长3米的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．
①求梯子的底端B距墙角O多少米？
②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C，请同学们猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？
③算一算，底端滑动距离的近似值
(
O
B
D
C
Ｃ
A
)④你还能对例题提供的问题情景进行变式训练吗？
（结果均保留两位小数）．
实际问题 数学模型
例3：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3m，消防队员取来6．5 m长的云梯，如果梯子的底部离墙基的水平距离是2．5m，请问消防队员能否进入三楼灭火
(
6
10
) (
10
30
°
) (
15
8
)【达标测试】1、求出下列直角三角形中未知的边．
(
10
45
°
)
(
B
A
C
)2、一个高1.5米、宽0.8米的长方形门框，需要在其相对的顶
点间用一条木条加固，则需木条长为 。
3、从电杆离地面5m处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面
钢缆A到电线杆底部B的距离为 。
4、有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖盖住这个洞口，
圆的直径至少为 （结果保留整数）
5、一旗杆离地面6m处折断，其顶部落在离旗杆底部8m处，则旗杆折断前高
(
A
E
B
D
C
)6、如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长100cm，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为60cm，当端点B向右移动20cm时，滑杆顶端A下滑多长？
7、长方形零件尺寸如图(单位：mm),
(
21
40
21
60
A
B
C
)求两孔中心的距离。（精确到0.1mm）
广顺中学简明学案
学科：数学 设计人： 时间：2009.4 班级： 姓名：
18．1 勾股定理（3）
【课时目标】1、掌握勾股定理，能运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步领会数形结合的思想．
2、通过学生实践操作，培养学生的探究能力、画图能力和解决问题的能力．
【重点难点】重点难点：运用勾股定理解决数学和实际问题．
【学具】圆规、刻度尺
【问题引入】1、你能画出长为cm的线段吗？在小组内说说你的办法，和同伴一起确定切实可行的方案。
2、你能在数轴上找出表示的点吗？请作图说明。
3、在数轴上表示、、……的点又如何表示？
4、你能找到，，，…，在数轴上更简便的画法吗？
【经典例题】例1：用上述方法在数轴上作出表示的点，并补充完整课本76页的作图方法。
练习：课本第77页练习第l题．
【达标测试】1．在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=______；
②若a=15，c=25，则b=_____； ③若c=61，b=60，则a=_____。
2．若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16 cm,那么第三边上的高为 ，面积为 。
3．等边三角形的边长为a，则其面积为 。
4．一个圆柱状的杯子，由内部测得其底面半径为4cm，高为6cm，现有一支11cm的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口至少________cm.
5．一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向西北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东北方向航行，
离开港口3小时后，则两船相距_______海里.
6．如图，每个小正方形的边长是1，在图中画出一个
三角形，使三角形的三边长分别是，，。
7．在数轴上作出表示的点。
(
A
B
C
D
L
)【拔高拓展】8．如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
广顺中学简明学案
学科：数学 设计人： 时间：2009.4 班级： 姓名：
18．1 勾股定理的逆定理（2）
【课时目标】1、能运用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题．
2、经历将实际问题转化为数学模型的过程，体会用勾股定理的逆定理解决实际问题的方法，发展学生的应用意识．
【重点难点】重点：运用勾股定理的逆定理解决实际问题．
难点：将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题．
【温故知新】说说你对勾股定理及其逆定理的理解。
【问题引入】A、B、C三地两两距离如下图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？
【经典例题】例2：“远航”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
练习：课本第84页练习第3题、习题第3题．
补例：如下图所示是一尊雕塑的底座的正面，李叔叔想要检测正面的AD边和BC边是否垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺．
（1）你能替他想想办法完成任务吗？
(
C
B
D
A
)（2）李叔叔量得AD的的长是30厘米，AB的长是40厘米，BD的长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？
（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有
办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？
【达标测试】1.△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12，则AC＝
2.如图，△ABC中，D是BC上的一点， 若AB=10，BD=6
AD=8，AC=17，则△ABC的面积为 。
3．已知△ABC，在下列条件：①
②∠A＝∠B－∠C；③∠A：∠B：∠C=3：4：5；；；④（m、n为正整数，且m>n）中,使△ABC成为直角三角形的选法有（ ）
(
A
B
C
)A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种
4．如图，正方形小方格边长为1,则网格中的△ABC是 （ ）
A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对
5．小明向东走80m后，沿另一方向又走了60m，再沿第三方向走
100米回到原地。小明向东走80m后又向哪个方向走的？
6．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，
且CF=CD．求证：△AEF是直角三角形．
【拔高拓展】7．小红和小军周日去郊外放风筝，风筝飞得又高又远，他俩很想知道风筝离地面到底有多高，你能帮助他们吗？
8．学习了勾股定理以后,有同学提出“在直角三角形中,三边满足,或许其他的三角形三边也有这样的关系”.让我们来做一个实验！
(1)画出任意的一个锐角三角形,如图2，量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是______mm；______mm；较长的一条边长_______mm。
比较(填写“＞”,“＜”,或“＝”)；
(2)画出任意的一个钝角三角形,如图3，量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是______mm；_______mm；较长的一条边长_______mm。
比较(填写“＞”,“＜”,或“＝”)；
(3)根据以上的操作和结果,对这位同学提出的问题, 你猜想的结论是:
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(4)对你猜想与的两个关系，任选其中一个结论利用勾股定理证明。
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