【培优版】北师大版数学八上第三章位置与坐标 单元测试卷
一、选择题 (本大题共 8 小题, 每小题 3 分, 共 24 分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．（2023八上·霍邱月考）平面直角坐标系中，点，，经过点的直线轴，点是直线上的一个动点，当线段的长度最短时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八上·包河月考）已知点P（1+m，2m+1）在y轴上，点Q（6-2n，4+n）在x轴上，则点M（m，n）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2022八上·电白期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点坐标分别为A(-1，2)，B(-1，-1)，C(1，-1)，D(1，2)，点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度，点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度．记P，Q在长方形边上第1次相遇时的点为M1，第二次相遇时的点为M2，第三次相遇时的点为M3，…，则点M2022的坐标为（ ）
A．(1，0) B．(-1，0) C．(1，2) D．(0，-1)
4．（2020八上·五华期末）若 ，则点（x，y）在第（ ）象限．
A．四 B．三 C．二 D．一
5．（2023八上·中江期中） 如图，在△ABC中，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，4），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是（ ）
A．（﹣4，3）
B．（﹣4，2）
C．（4，2）或（﹣4，3）
D．（4，2）或（﹣4，2）或（﹣4，3）
6．（2023八上·包河月考）在平面直角坐标系中，下列说法：
①若点A（a，b）在坐标轴上，则ab=0；②若m为任意实数，则点（2，m2）一定在第一象限；③若点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2，则符合条件的点P有2个；④已知点M（2，3），点N（-2，3），则MN∥x轴．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④
7．如图，在直角坐标系中，有若干个横、纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中．“→方向排序，如（1，0）→（2，0）→（2，1）→（1，1）→（1，2）→（2，2） ……根据这个规律，第2020个点的横坐标为（ ）
A．44． B．45． C．46． D．47．
8．（2023八上·成武开学考）自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数1，1，2，3，5，8，13，……画出螺旋曲线．在平面直角坐标系中，依次以这组数为半径作90°的圆弧，，，…，得到一组螺旋线，连接，，，…，得到一组螺旋折线，如图所示．已知点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分)
9．（2022八上·安吉期末）在平面直角坐标系中，若点在y轴上，则m的值是 .
10．（2021八上·青岛期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），B（2，0）在x轴上，若点P到两坐标轴的距离相等，且∠APO＝∠BPO，则点P的坐标为 ．
11．（2023七下·塔城期末）在平面直角坐标系中，对于点 ，我们把 叫做点 P的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为… ，这样依次得到点，，， … ，…若 点的坐标为，则点的坐标为 ．
12．（2023八上·宁江期中）如图，A（4，0），B（0，6），若AB=BC，∠ABC=90°，则C点的坐标为
13．（2023九上·成都开学考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是．点P到的距离定义如下：点Q为三边上的动点，当最小时，我们称此时的长度为点P到的距离，记为．已知矩形的四个顶点依次是，若点P在矩形的四条边上，则满足的点P有 个．
三、解答题（共7题；共61分）
14．（2024八上·滨江期末）已知，，．
（1）若点在第二象限内，且，，求点的坐标，并求的面积；
（2）若点在第四象限内，且的面积为8，，求点的坐标．
15．（2024九下·高州月考）如图，△ABC的顶点都在6×6正方形网格纸的格点上，且A(-2，1)，B(-1，3)，C(0，2).按要求完成下列问题：
（1）在坐标系中，描出点D(-2，-1)，E(-1，-3)，F(0，-2)的位置，并连接DE，EF，DF，则△ABC与△DEF关于 对称；(填“x轴”或“y轴”)
（2）画出△DEF关于y轴对称的△D'E'F'；
（3）设点P是x轴上一动点，直接写出PA+PB的最小值.
16．（2023八上·六安期中）如图，在平面直角坐标系中，设一点自处向上运动1个单位长度至，然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，…，如此继续运动下去，设，.
（1）计算.
（2）计算的值.
17．（2023八上·蜀山期中）在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到、轴的距离中的最大值等于点到、轴的距离中的最大值，则称，两点为“等距点”．如图中的，两点即为“等距点”．
备用图
（1）已知点的坐标为，在点，，中，为点的“等距点”的是 ．
（2）若，两点为“等距点”，且两点纵坐标异号，求的值．
18．（2023八上·六安期中）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点是点和的衍生点.例如：，，则点是点和的衍生点.已知点，点，点是点和的衍生点.
（1）若点，则点的坐标为
（2）请直接写出点的坐标（用表示）；
（3）若直线交轴于点，当时，求点的坐标.
19．（2024七下·恩施月考） 在平面直角坐标系中，点，，若，则称点与点互为“等差点”，例如：点，点，因为，所以点与点互为“等差点”．
（1）若点的坐标是，则在点，，中，点的“等差点”为点 ；
（2）若点的坐标是的“等差点”在坐标轴上，求点的坐标；
（3）若点的坐标是与点互为“等差点”，且、互为相反数，求点的坐标．
20．（2020八上·萍乡期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．
（1）实验与探究：
观察图，易知A(0，2)关于直线l的对称点的坐标为(2，0)，请在图中分别标明B(5，3)、C(﹣2，5)关于直线l的对称点、的位置，并写出他们的坐标： ， ；
（2）归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a，b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点的坐标为 （不必证明）；
（3）运用与拓广：已知两点D(1，﹣3)、E(﹣3，﹣4)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】点的坐标；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】∵点A的坐标为（-1，4），直线轴，点是直线上的一个动点，
∴点C的纵坐标与点A的纵坐标相等，均为4，
∵点B的坐标为（3，1），
∴当线段的长度最短时，点C的横坐标与点B的横坐标相等，均为3，
∴点C的坐标为（3，4），
故答案为：C.
【分析】根据题意，再结合点坐标的定义分析求解即可.
2．【答案】C
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P（1+m，2m+1）在y轴上，点Q（6-2n，4+n）在x轴上，
∴1+m=0，4+n=0，
∴m=-1，n=-4，
∴点M的横坐标为负数，纵坐标为负数，
∴点M在第三象限，
故答案为：C.
【分析】先利用x轴和y轴上点坐标的特征求出m、n的值，再利用第三象限的点坐标的特征求解即可.
3．【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：长方形ABCD的周长为（3+2）×2＝10，
设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为2t，Q点走的路程为3t，
根据题意得2t+3t＝10，
解得t＝2，
∴当t＝2时，P、Q第一次相遇，此时相遇点M1坐标为（1，0），
当t＝4时，P、Q第二次相遇，此时相遇点M2坐标为（-1，0），
当t＝6时，P、Q第三次相遇，此时相遇点M3坐标为（1，2），
当t＝8时，P、Q第四次相遇，此时相遇点M4坐标为（0，-1），
当t＝10时，P、Q第五次相遇，此时相遇点M5坐标为（-1，2），
当t＝12时，P、Q第六次相遇，此时相遇点M6坐标为（1，0），
∴五次相遇一循环，
∵2022÷5＝404......2，
∴M2022的坐标为（-1，0）．
故答案为：B．
【分析】先算出长方形ABCD的周长为（3+2）×2＝10，设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为2t，Q点走的路程为3t，根据题意得2t+3t＝10，即可求出经过2秒第一次相遇，然后求出各相遇点的坐标，可得五次相遇一循环，由于2022÷5＝404......2即可求解.
4．【答案】D
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
则点（1，1）在第一象限，
故答案为：D．
【分析】利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可确定出点所在的象限．
5．【答案】D
【知识点】点的坐标；三角形全等及其性质
【解析】【解答】①当点D与点C关于y轴对称时，△ABD与△ABC全等，此时点D的坐标为（-4，3）；
②当点D与点C关于AB的垂直平分线对称时，△ABD与△ABC全等，此时点D的坐标为（4，2）；
③当点D与点（4，2）关于y轴对称时，△ABD与△ABC全等，此时点D的坐标为（-4，2）；
综上，点D的坐标为（-4，3），（4，2）或（-4，2），
故答案为：D.
【分析】分类讨论：①当点D与点C关于y轴对称时，②当点D与点C关于AB的垂直平分线对称时，③当点D与点（4，2）关于y轴对称时，再求出点D的坐标即可.
6．【答案】A
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：①∵点A在坐标轴上，∴a和b中至少要由一个数为0，∴ab=0，∴①正确；
②当m=0时，m2=0，∴点（2，m2）在x轴上，∴②不正确；
③当点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2时，点P的坐标为（2，2），（-2，-2），（-2，2）和（2，-2）共4个，∴③不正确；
④∵点M的坐标为（2，3），点N的坐标为（-2，3），∴MN//x轴，∴④正确，
综上，正确的结论是①④，
故答案为：A.
【分析】利用点坐标的定义，再结合平面直角坐标系逐项分析判断即可.
7．【答案】B
【知识点】点的坐标；探索图形规律
【解析】【解答】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，
例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，
右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，
右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，
右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，
……
右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，
∵452-=2025，45是奇数，
∴第2020个点的横坐标为45.
故答案为：B.
【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可.
8．【答案】D
【知识点】点的坐标；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据题意可得：
P1（-1，0）先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到P2（0，1）；
P2（0，1）先向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到P3（1，0）；
P3（1，0）先向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到P4（-1，-2）；
P4（-1，-2）先向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到P5（-4，1）；
P5（-4，1）先向右平移5个单位，再向上平移5个单位得到P6（1，6）；
P6（1，6）先向右平移8个单位，再向下平移8个单位得到P7（9，-2）；
故答案为：D.
【分析】观察图形，再找出每个点的运动轨迹与斐波那契数结合推出P7的位置，再求出点坐标即可.
9．【答案】－3
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在y轴上，
∴
故答案为：-3.
【分析】y轴上的点，横坐标为0，则m+3=0，求解可得m的值.
10．【答案】(4，4)或(4，-4)
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：如图所示：
当点P在第一象限时，设 ，
过点O作 于E， 于F，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 (舍弃)，
∴ ，
当点P在第四象限时，根据对称性可知：
，
故答案为： 或 ．
【分析】当点P在第一象限时，设 ，过点O作 于E， 于F，首先证明 ，可得出 ，得出 ，推出 ，由此构建方程求出m，可得出点P的坐标。
11．【答案】
【知识点】点的坐标；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵点A1的坐标为(4，3），
∴点A2(-2，5)，A3(-4，-1)，A4(2，-3)，A5(4，3)……
∴依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵2023÷4=505……3，
∴点的坐标为（-4，-1），
故答案为：（-4，-1）.
【分析】根据伴随点的定义求出点A2(-2，5)，A3(-4，-1)，A4(2，-3)，A5(4，3)，再找出规律：每4个点为一个循环组依次循环，最后求点的坐标即可。
12．【答案】（6，10）
【知识点】点的坐标；垂线的概念；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图所示：过点C作CD⊥y轴，
∵CD⊥y轴，BO⊥AO，
∴∠CDB=∠AOB=90°，
∴∠CBD+∠BCD=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBD+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠BCD，
∵BC=AB，
∴△AOB≌△BDC，
∴AO=BD，BO=CD，
∵A（4，0），B（0，6），
∴BD=AO=4，CD=BO=6，
∴OD=BO+BD=10，
∴C点的坐标为（6，10），
故答案为：（6，10）.
【分析】根据垂直求出∠CDB=∠AOB=90°，再根据全等三角形的判定方法求出△AOB≌△BDC，最后根据全等三角形的性质以及点A和点B的坐标求解即可。
13．【答案】5
【知识点】点的坐标；矩形的性质；定义新运算
【解析】【解答】解：如图所示：
∵矩形的四个顶点依次是，的三个顶点的坐标分别是 ，
∴点P的坐标是（2，3），（2，-1），（-2，-1），（-2，1），（0，3），
∴满足的点P有5个，
故答案为：5.
【分析】先作图，再根据点P到的距离的定义，矩形的性质等判断求解即可。
14．【答案】（1）解：点在第二象限内，
，，
，，
，，
点的坐标为，
∴C到AB距离为3，即AB边上的高为3，
，，
∴AB=8
的面积
（2）解：的面积为8，点在第四象限内，
，
，
，
，
点的坐标为．
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】（1）先利用第二象限点的坐标特点横坐标小于0纵坐标大于0，得到C的坐标（-3，3），因此C到AB的距离为3，即AB边上的高为3，再根据坐标求出AB长，即可求出三角形ABC面积；
（2）由三角形面积公式可求出C到AB的距离为2，C在第四象限，横坐标为正，纵坐标为负，即可写出C坐标为（4，-2）.
15．【答案】（1）x轴
（2）解：如图所示：即为所求，
，
（3）解：作点A关于x轴对称点，连接交x轴于点P，
点
在中，，
则，
的最小值为。
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）如图，
观察A、B、C和D、E、F的坐标可知，横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，于是可得△ABC与△DEF关于x轴对称；
故答案为：x轴；
【分析】（1）根据A、B、C和D、E、F的坐标变化特征“横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数“可得△ABC与△DEF关于x轴对称；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标变化特征“纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数”可求解；
（3）根据轴对称的性质，先作出点A关于x轴的对称点A'，连接BA'与x轴交于点P，用勾股定理即可求解.
16．【答案】（1）解：2
（2）解：1012
【知识点】点的坐标；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）P1的横坐标为1，P2的横坐标为：-1，P3的横坐标为-1，P4的横坐标为3，
∴=1-1-1+3=2；
（2）=1-1-1+3=2；=3-3-3+5=2；=5-5-5+7=2......
∵2024÷4=506，
∴=2×506=1012.
【分析】（1）首先得出P1，P2，P3，P4的横坐标，然后再相加即可；
（2）通过计算可以发现=2；=2；=2......，故而得出=2×506=1012.
17．【答案】（1）、
（2）解：，两点为“等距点”，
①时，则或，．解得（舍去）或．
②若时，则解得：
根据“等距点”的定义知，或符合题意．
管：的值是1或2．
【知识点】解一元一次方程；点的坐标；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：根据等距点的定义，可知A（-3，1）到x，y轴的距离中的最大值是3，
而点E（0，3）到x，y轴的距离中的最大值是3，点F（3，-3）到x，y轴的距离中的最大值是3，点G（2，-5）到x，y轴的距离中的最大值是5，则E（0，3），F（3，-3）是点A的“等距点”；
【分析】本题考查新运算及一次方程的解。理解定义，得出等式是关键。
（1）根据等距点的定义，求出各点到x，y轴的距离中的最大值，可得点A的等距点；
（2）根据等距点的定义，可得①，得k=-7（舍去）或k=1．②时，则得：k=2，则k的值是1或2．
18．【答案】（1）
（2）解：
（3）解：
【知识点】点的坐标；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵点，，
根据衍生点的定义可得：x=，y=，
∴点T的坐标为（）；
故答案为：（）；
（2）点，，
根据衍生点的定义可得：，y=，
∴点T的坐标为：；
故答案为：；
（3）
∵，
∴点E和点T的横坐标相同，
∴，
∴，
∴m+2=，
∴点E的坐标为
故答案为：
【分析】(1)根据衍生点的定义进行计算即可得出点T的坐标；
（2）根据衍生点的定义进行计算即可得出点T的坐标；
（3）首先根据得出点E和点T的横坐标相同，即可得出等式，解得，进一步即可得出点E的坐标。
19．【答案】（1），
（2）解：①当点在轴上时，
设，由题意得，
解得，
．
②当点在轴上时，
设，
由题意得，
解得，
．
综上所述：的“等差点”点的坐标为或．
（3）解：由题意得，
．
、互为相反数，
，
解得，
，．
，．
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】（1）解：∵ 点的坐标是，点，
∴，
∴ 点与点不是互为“等差点”．
∵ 点的坐标是，点，
∴，
∴ 点与点互为“等差点”．
∵ 点的坐标是，点，
∴，
∴ 点与点互为“等差点”．
故答案为：，；
【分析】（1）根据新定义逐步分析即可；
（2）根据新定义分点在轴上和点在轴上时，两种情况分析即可；
（3）根据新定义，列出方程组，求出，，求出点坐标即可．
20．【答案】（1）(3，5)；(5，﹣2)
（2）(b，a)
（3）解：作点E关于直线l的对称点E′（﹣4，﹣3），连接DE′交直线l于Q，
∵两点之间线段最短
∴此时QE+QD的值最小，
由图象可知Q点坐标为（-3，-3）．
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）B（5，3）、C（﹣2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置如图所示．
B′（3，5），C′（5，﹣2）．
故答案为B′（3，5），C′（5，﹣2）．
（2）由（1）可知点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为P′（b，a）．
【分析】（1）根据点关于直线对称的定义作出B、C两点关于直线的对称点即可；
（2）通过观察即可得出结论；
（3）作点E关于直线l的对称点E′（﹣4，﹣3），连接DE′交直线l于Q，即可得出此时QE+QD的值最小。
1 / 1【培优版】北师大版数学八上第三章位置与坐标 单元测试卷
一、选择题 (本大题共 8 小题, 每小题 3 分, 共 24 分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．（2023八上·霍邱月考）平面直角坐标系中，点，，经过点的直线轴，点是直线上的一个动点，当线段的长度最短时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】∵点A的坐标为（-1，4），直线轴，点是直线上的一个动点，
∴点C的纵坐标与点A的纵坐标相等，均为4，
∵点B的坐标为（3，1），
∴当线段的长度最短时，点C的横坐标与点B的横坐标相等，均为3，
∴点C的坐标为（3，4），
故答案为：C.
【分析】根据题意，再结合点坐标的定义分析求解即可.
2．（2023八上·包河月考）已知点P（1+m，2m+1）在y轴上，点Q（6-2n，4+n）在x轴上，则点M（m，n）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P（1+m，2m+1）在y轴上，点Q（6-2n，4+n）在x轴上，
∴1+m=0，4+n=0，
∴m=-1，n=-4，
∴点M的横坐标为负数，纵坐标为负数，
∴点M在第三象限，
故答案为：C.
【分析】先利用x轴和y轴上点坐标的特征求出m、n的值，再利用第三象限的点坐标的特征求解即可.
3．（2022八上·电白期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点坐标分别为A(-1，2)，B(-1，-1)，C(1，-1)，D(1，2)，点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度，点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度．记P，Q在长方形边上第1次相遇时的点为M1，第二次相遇时的点为M2，第三次相遇时的点为M3，…，则点M2022的坐标为（ ）
A．(1，0) B．(-1，0) C．(1，2) D．(0，-1)
【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：长方形ABCD的周长为（3+2）×2＝10，
设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为2t，Q点走的路程为3t，
根据题意得2t+3t＝10，
解得t＝2，
∴当t＝2时，P、Q第一次相遇，此时相遇点M1坐标为（1，0），
当t＝4时，P、Q第二次相遇，此时相遇点M2坐标为（-1，0），
当t＝6时，P、Q第三次相遇，此时相遇点M3坐标为（1，2），
当t＝8时，P、Q第四次相遇，此时相遇点M4坐标为（0，-1），
当t＝10时，P、Q第五次相遇，此时相遇点M5坐标为（-1，2），
当t＝12时，P、Q第六次相遇，此时相遇点M6坐标为（1，0），
∴五次相遇一循环，
∵2022÷5＝404......2，
∴M2022的坐标为（-1，0）．
故答案为：B．
【分析】先算出长方形ABCD的周长为（3+2）×2＝10，设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为2t，Q点走的路程为3t，根据题意得2t+3t＝10，即可求出经过2秒第一次相遇，然后求出各相遇点的坐标，可得五次相遇一循环，由于2022÷5＝404......2即可求解.
4．（2020八上·五华期末）若 ，则点（x，y）在第（ ）象限．
A．四 B．三 C．二 D．一
【答案】D
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
则点（1，1）在第一象限，
故答案为：D．
【分析】利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可确定出点所在的象限．
5．（2023八上·中江期中） 如图，在△ABC中，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，4），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是（ ）
A．（﹣4，3）
B．（﹣4，2）
C．（4，2）或（﹣4，3）
D．（4，2）或（﹣4，2）或（﹣4，3）
【答案】D
【知识点】点的坐标；三角形全等及其性质
【解析】【解答】①当点D与点C关于y轴对称时，△ABD与△ABC全等，此时点D的坐标为（-4，3）；
②当点D与点C关于AB的垂直平分线对称时，△ABD与△ABC全等，此时点D的坐标为（4，2）；
③当点D与点（4，2）关于y轴对称时，△ABD与△ABC全等，此时点D的坐标为（-4，2）；
综上，点D的坐标为（-4，3），（4，2）或（-4，2），
故答案为：D.
【分析】分类讨论：①当点D与点C关于y轴对称时，②当点D与点C关于AB的垂直平分线对称时，③当点D与点（4，2）关于y轴对称时，再求出点D的坐标即可.
6．（2023八上·包河月考）在平面直角坐标系中，下列说法：
①若点A（a，b）在坐标轴上，则ab=0；②若m为任意实数，则点（2，m2）一定在第一象限；③若点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2，则符合条件的点P有2个；④已知点M（2，3），点N（-2，3），则MN∥x轴．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④
【答案】A
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：①∵点A在坐标轴上，∴a和b中至少要由一个数为0，∴ab=0，∴①正确；
②当m=0时，m2=0，∴点（2，m2）在x轴上，∴②不正确；
③当点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2时，点P的坐标为（2，2），（-2，-2），（-2，2）和（2，-2）共4个，∴③不正确；
④∵点M的坐标为（2，3），点N的坐标为（-2，3），∴MN//x轴，∴④正确，
综上，正确的结论是①④，
故答案为：A.
【分析】利用点坐标的定义，再结合平面直角坐标系逐项分析判断即可.
7．如图，在直角坐标系中，有若干个横、纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中．“→方向排序，如（1，0）→（2，0）→（2，1）→（1，1）→（1，2）→（2，2） ……根据这个规律，第2020个点的横坐标为（ ）
A．44． B．45． C．46． D．47．
【答案】B
【知识点】点的坐标；探索图形规律
【解析】【解答】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，
例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，
右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，
右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，
右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，
……
右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，
∵452-=2025，45是奇数，
∴第2020个点的横坐标为45.
故答案为：B.
【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可.
8．（2023八上·成武开学考）自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数1，1，2，3，5，8，13，……画出螺旋曲线．在平面直角坐标系中，依次以这组数为半径作90°的圆弧，，，…，得到一组螺旋线，连接，，，…，得到一组螺旋折线，如图所示．已知点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据题意可得：
P1（-1，0）先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到P2（0，1）；
P2（0，1）先向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到P3（1，0）；
P3（1，0）先向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到P4（-1，-2）；
P4（-1，-2）先向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到P5（-4，1）；
P5（-4，1）先向右平移5个单位，再向上平移5个单位得到P6（1，6）；
P6（1，6）先向右平移8个单位，再向下平移8个单位得到P7（9，-2）；
故答案为：D.
【分析】观察图形，再找出每个点的运动轨迹与斐波那契数结合推出P7的位置，再求出点坐标即可.
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分)
9．（2022八上·安吉期末）在平面直角坐标系中，若点在y轴上，则m的值是 .
【答案】－3
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在y轴上，
∴
故答案为：-3.
【分析】y轴上的点，横坐标为0，则m+3=0，求解可得m的值.
10．（2021八上·青岛期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），B（2，0）在x轴上，若点P到两坐标轴的距离相等，且∠APO＝∠BPO，则点P的坐标为 ．
【答案】(4，4)或(4，-4)
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：如图所示：
当点P在第一象限时，设 ，
过点O作 于E， 于F，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 (舍弃)，
∴ ，
当点P在第四象限时，根据对称性可知：
，
故答案为： 或 ．
【分析】当点P在第一象限时，设 ，过点O作 于E， 于F，首先证明 ，可得出 ，得出 ，推出 ，由此构建方程求出m，可得出点P的坐标。
11．（2023七下·塔城期末）在平面直角坐标系中，对于点 ，我们把 叫做点 P的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为… ，这样依次得到点，，， … ，…若 点的坐标为，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】点的坐标；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵点A1的坐标为(4，3），
∴点A2(-2，5)，A3(-4，-1)，A4(2，-3)，A5(4，3)……
∴依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵2023÷4=505……3，
∴点的坐标为（-4，-1），
故答案为：（-4，-1）.
【分析】根据伴随点的定义求出点A2(-2，5)，A3(-4，-1)，A4(2，-3)，A5(4，3)，再找出规律：每4个点为一个循环组依次循环，最后求点的坐标即可。
12．（2023八上·宁江期中）如图，A（4，0），B（0，6），若AB=BC，∠ABC=90°，则C点的坐标为
【答案】（6，10）
【知识点】点的坐标；垂线的概念；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图所示：过点C作CD⊥y轴，
∵CD⊥y轴，BO⊥AO，
∴∠CDB=∠AOB=90°，
∴∠CBD+∠BCD=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBD+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠BCD，
∵BC=AB，
∴△AOB≌△BDC，
∴AO=BD，BO=CD，
∵A（4，0），B（0，6），
∴BD=AO=4，CD=BO=6，
∴OD=BO+BD=10，
∴C点的坐标为（6，10），
故答案为：（6，10）.
【分析】根据垂直求出∠CDB=∠AOB=90°，再根据全等三角形的判定方法求出△AOB≌△BDC，最后根据全等三角形的性质以及点A和点B的坐标求解即可。
13．（2023九上·成都开学考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是．点P到的距离定义如下：点Q为三边上的动点，当最小时，我们称此时的长度为点P到的距离，记为．已知矩形的四个顶点依次是，若点P在矩形的四条边上，则满足的点P有 个．
【答案】5
【知识点】点的坐标；矩形的性质；定义新运算
【解析】【解答】解：如图所示：
∵矩形的四个顶点依次是，的三个顶点的坐标分别是 ，
∴点P的坐标是（2，3），（2，-1），（-2，-1），（-2，1），（0，3），
∴满足的点P有5个，
故答案为：5.
【分析】先作图，再根据点P到的距离的定义，矩形的性质等判断求解即可。
三、解答题（共7题；共61分）
14．（2024八上·滨江期末）已知，，．
（1）若点在第二象限内，且，，求点的坐标，并求的面积；
（2）若点在第四象限内，且的面积为8，，求点的坐标．
【答案】（1）解：点在第二象限内，
，，
，，
，，
点的坐标为，
∴C到AB距离为3，即AB边上的高为3，
，，
∴AB=8
的面积
（2）解：的面积为8，点在第四象限内，
，
，
，
，
点的坐标为．
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】（1）先利用第二象限点的坐标特点横坐标小于0纵坐标大于0，得到C的坐标（-3，3），因此C到AB的距离为3，即AB边上的高为3，再根据坐标求出AB长，即可求出三角形ABC面积；
（2）由三角形面积公式可求出C到AB的距离为2，C在第四象限，横坐标为正，纵坐标为负，即可写出C坐标为（4，-2）.
15．（2024九下·高州月考）如图，△ABC的顶点都在6×6正方形网格纸的格点上，且A(-2，1)，B(-1，3)，C(0，2).按要求完成下列问题：
（1）在坐标系中，描出点D(-2，-1)，E(-1，-3)，F(0，-2)的位置，并连接DE，EF，DF，则△ABC与△DEF关于 对称；(填“x轴”或“y轴”)
（2）画出△DEF关于y轴对称的△D'E'F'；
（3）设点P是x轴上一动点，直接写出PA+PB的最小值.
【答案】（1）x轴
（2）解：如图所示：即为所求，
，
（3）解：作点A关于x轴对称点，连接交x轴于点P，
点
在中，，
则，
的最小值为。
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）如图，
观察A、B、C和D、E、F的坐标可知，横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，于是可得△ABC与△DEF关于x轴对称；
故答案为：x轴；
【分析】（1）根据A、B、C和D、E、F的坐标变化特征“横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数“可得△ABC与△DEF关于x轴对称；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标变化特征“纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数”可求解；
（3）根据轴对称的性质，先作出点A关于x轴的对称点A'，连接BA'与x轴交于点P，用勾股定理即可求解.
16．（2023八上·六安期中）如图，在平面直角坐标系中，设一点自处向上运动1个单位长度至，然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，…，如此继续运动下去，设，.
（1）计算.
（2）计算的值.
【答案】（1）解：2
（2）解：1012
【知识点】点的坐标；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）P1的横坐标为1，P2的横坐标为：-1，P3的横坐标为-1，P4的横坐标为3，
∴=1-1-1+3=2；
（2）=1-1-1+3=2；=3-3-3+5=2；=5-5-5+7=2......
∵2024÷4=506，
∴=2×506=1012.
【分析】（1）首先得出P1，P2，P3，P4的横坐标，然后再相加即可；
（2）通过计算可以发现=2；=2；=2......，故而得出=2×506=1012.
17．（2023八上·蜀山期中）在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到、轴的距离中的最大值等于点到、轴的距离中的最大值，则称，两点为“等距点”．如图中的，两点即为“等距点”．
备用图
（1）已知点的坐标为，在点，，中，为点的“等距点”的是 ．
（2）若，两点为“等距点”，且两点纵坐标异号，求的值．
【答案】（1）、
（2）解：，两点为“等距点”，
①时，则或，．解得（舍去）或．
②若时，则解得：
根据“等距点”的定义知，或符合题意．
管：的值是1或2．
【知识点】解一元一次方程；点的坐标；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：根据等距点的定义，可知A（-3，1）到x，y轴的距离中的最大值是3，
而点E（0，3）到x，y轴的距离中的最大值是3，点F（3，-3）到x，y轴的距离中的最大值是3，点G（2，-5）到x，y轴的距离中的最大值是5，则E（0，3），F（3，-3）是点A的“等距点”；
【分析】本题考查新运算及一次方程的解。理解定义，得出等式是关键。
（1）根据等距点的定义，求出各点到x，y轴的距离中的最大值，可得点A的等距点；
（2）根据等距点的定义，可得①，得k=-7（舍去）或k=1．②时，则得：k=2，则k的值是1或2．
18．（2023八上·六安期中）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点是点和的衍生点.例如：，，则点是点和的衍生点.已知点，点，点是点和的衍生点.
（1）若点，则点的坐标为
（2）请直接写出点的坐标（用表示）；
（3）若直线交轴于点，当时，求点的坐标.
【答案】（1）
（2）解：
（3）解：
【知识点】点的坐标；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵点，，
根据衍生点的定义可得：x=，y=，
∴点T的坐标为（）；
故答案为：（）；
（2）点，，
根据衍生点的定义可得：，y=，
∴点T的坐标为：；
故答案为：；
（3）
∵，
∴点E和点T的横坐标相同，
∴，
∴，
∴m+2=，
∴点E的坐标为
故答案为：
【分析】(1)根据衍生点的定义进行计算即可得出点T的坐标；
（2）根据衍生点的定义进行计算即可得出点T的坐标；
（3）首先根据得出点E和点T的横坐标相同，即可得出等式，解得，进一步即可得出点E的坐标。
19．（2024七下·恩施月考） 在平面直角坐标系中，点，，若，则称点与点互为“等差点”，例如：点，点，因为，所以点与点互为“等差点”．
（1）若点的坐标是，则在点，，中，点的“等差点”为点 ；
（2）若点的坐标是的“等差点”在坐标轴上，求点的坐标；
（3）若点的坐标是与点互为“等差点”，且、互为相反数，求点的坐标．
【答案】（1），
（2）解：①当点在轴上时，
设，由题意得，
解得，
．
②当点在轴上时，
设，
由题意得，
解得，
．
综上所述：的“等差点”点的坐标为或．
（3）解：由题意得，
．
、互为相反数，
，
解得，
，．
，．
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】（1）解：∵ 点的坐标是，点，
∴，
∴ 点与点不是互为“等差点”．
∵ 点的坐标是，点，
∴，
∴ 点与点互为“等差点”．
∵ 点的坐标是，点，
∴，
∴ 点与点互为“等差点”．
故答案为：，；
【分析】（1）根据新定义逐步分析即可；
（2）根据新定义分点在轴上和点在轴上时，两种情况分析即可；
（3）根据新定义，列出方程组，求出，，求出点坐标即可．
20．（2020八上·萍乡期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．
（1）实验与探究：
观察图，易知A(0，2)关于直线l的对称点的坐标为(2，0)，请在图中分别标明B(5，3)、C(﹣2，5)关于直线l的对称点、的位置，并写出他们的坐标： ， ；
（2）归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a，b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点的坐标为 （不必证明）；
（3）运用与拓广：已知两点D(1，﹣3)、E(﹣3，﹣4)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小．
【答案】（1）(3，5)；(5，﹣2)
（2）(b，a)
（3）解：作点E关于直线l的对称点E′（﹣4，﹣3），连接DE′交直线l于Q，
∵两点之间线段最短
∴此时QE+QD的值最小，
由图象可知Q点坐标为（-3，-3）．
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）B（5，3）、C（﹣2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置如图所示．
B′（3，5），C′（5，﹣2）．
故答案为B′（3，5），C′（5，﹣2）．
（2）由（1）可知点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为P′（b，a）．
【分析】（1）根据点关于直线对称的定义作出B、C两点关于直线的对称点即可；
（2）通过观察即可得出结论；
（3）作点E关于直线l的对称点E′（﹣4，﹣3），连接DE′交直线l于Q，即可得出此时QE+QD的值最小。
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