课件15张PPT。第1章 直角三角形1.1 直角三角形的性质和判定（I）第1课时 直角三角形的性质和判定 在前面，我们已经学习了三角形边与边，边与
角，角与角之间的一些性质，直角三角形作为一种
特殊的三角形，除了具有一般三角形的性质外，它
还具有哪些特殊性质呢？ 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？ 在Rt△ABC中，因为∠C=90°，由三角形内角和定理，可得∠A+∠B=90°.由此得到： 议一议有两个锐角互余的三角形是直角三角形吗 如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？ 在△ABC中，因为∠A+∠B+∠C=180°，又∠A+∠B=90°，所以∠C=90°.于是△ABC是直角三角形.由此得到：是否对于任意一个Rt△ABC，都有CD= AB成立呢 线段CD比线段AB短.我测量后发现CD= AB.由此得到：∵CD= AB=AD=BD，∴△ABC是直角三角形.∴∠A+∠B=90°.∴2（∠A+∠B）=180°.∴∠A+∠B+∠1+∠2=180°.∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB=∠1+∠2，∴∠1=∠A，∠2=∠B.证明： 1.在Rt△ABC中，斜边上的中线CD=2.5cm，则斜边AB的长是多少？
解：斜边AB的长是5cm. 2.如图，AB∥CD，∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点，E为AC的中点，EH=2.那么△AHC是直角三角形吗？为什么？若是，求出AC的长.解：∵AB∥CD，AH和CH分别是∠CAB和∠ACD的平分线，
∴∠CAB+∠ACD=180°且∠CAH= ∠CAB,∠ACH= ∠ACD.
∴∠CAH+∠ACH=90°.
∴∠AHC=90°.
∵E为AC的中点，EH=2.
∴AC=4.
今天这堂课学了什么内容？反 思 小 结1.直角三角形的两个锐角互余.
2.有两个角互余的三角形是直角三角形.
3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.第1章 直角三角形
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
第1课时 直角三角形的性质和判定
要点感知1 直角三角形的性质：(1)直角三角形的两个锐角__________.(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的__________.
预习练习1-1 在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )
A.120° B.90° C.60° D.30°
1-2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10 cm，点D为AB的中点，则CD=__________cm.
要点感知2 直角三角形的判定：有两个角__________的三角形是直角三角形.
预习练习2-1 在△ABC中，∠A=70°，∠B=20°，那么这个三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
知识点1 直角三角形的两个锐角互余
1.若直角三角形中的两个锐角之差为22°，则较小的一个锐角的度数是( )
A.24° B.34° C.44° D.46°
2.如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则∠1+∠2等于( )
A.60° B.75° C.90° D.105°
3.如图，在△ABC中，CE、BF是两条高，若∠A=65°，∠BCE=35°，则∠ABF的度数是__________，∠FBC的度数是__________.
4.过△ABC的顶点C作边AB的垂线，如果这垂线将∠ACB分为40°和20°的两个角，那么∠A、∠B中较小的角的度数是__________.
知识点2 有两个角互余的三角形是直角三角形
5.若一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形
6.下列条件：(1)∠A=25°，∠B=65°；(2)3∠A=2∠B=∠C；(3)∠A=5∠B；(4)2∠A=3∠B=4∠C中，其中能确定△ABC是直角三角形的条件有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
知识点3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
7.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A=20°，则∠BDC=( )
A.30° B.40° C.45° D.60°
8.如果一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形为__________三角形.
9.如图，Rt△ABC中，DC是斜边AB上的中线，EF过点C且平行于AB.若∠BCF=35°，求∠ACD的度数.
10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
11.如图，AB∥DF，AC⊥BC于点C，BC与DF交于点E，若∠A=20°，则∠CEF等于( )
A.110° B.100° C.80° D.70°
12.如果一个三角形的一个内角等于其他两个内角的差，那么这个三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD=6，则CP的长为( )
A.3 B.3.5 C.4 D.4.5
14.如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM的周长是__________.
15.如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E分别是BC、AC的中点，AB=8，求DE的长.
16.如图,在△ACD与△ABC中,∠ABC=∠ADC=90°,E是AC的中点.
(1)试说明DE=BE；
(2)图中有哪些等腰三角形,请写出来.(不需要证明)
17.如图，AD∥BC，∠DAB和∠ABC的平分线相交于CD边上的一点E，F为AB边的中点.求证：EF=AB.
18.如图，已知M是Rt△ABC斜边AB的中点，CD=BM，DM与CB的延长线交于点E.
求证：∠E=∠A.
参考答案
要点感知1 互余一半
预习练习1-1 D
1-2 5
要点感知2 互余
预习练习2-1 B
1.B 2.C 3.25° 30° 4.50° 5.B 6.A 7.B 8.直角
9.∵EF∥AB，∴∠BCF=∠B.
∵∠BCF=35°，∴∠B=35°.
∵△ABC为直角三角形，
∴∠CAB=90°-35°=55°.
∵DC是斜边AB上的中线，
∴AD=BD=CD，
∴∠ACD=∠A=55°.
10.C 11.A 12.B 13.A 14.13
15.∵∠B=∠C，∴AB=AC.
又D是BC的中点，
∴AD⊥BC.∴∠ADC=90°.
又E是AC的中点，∴DE=AC.
∵AB=AC，AB=8，
∴DE=AB=×8=4.
16.(1)∵∠ABC=∠ADC=90°,E为AC的中点,
∴DE=AC,BE=AC.
∴DE=BE.
(2)图中的等腰三角形有△CDE、△DAE、△AEB、△BEC、△DEB.
17.证明：∵AE、BE分别平分∠DAB和∠ABC，
∴∠DAB=2∠EAB，∠ABC=2∠ABE.
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∴2∠EAB+2∠ABE=180°.
∴∠EAB+∠ABE=90°.
∴∠AEB=90°.
∴△AEB是直角三角形.
∵F为AB边的中点，
∴EF=AB.
18.证明：∵CM是△ABC的中线，CD=BM，
∴CD=CM=BM=AM.
∴△CDM是等腰三角形，∠MCB=∠MBC，∠CDM=∠CMD.
∵∠CDM=∠A+∠AMD，∠CMD=∠MCB+∠E=∠BME+∠E+∠E，
即∠A+∠AMD=∠BME+∠E+∠E，
∴∠A=2∠E,
即∠E=∠A.
课件13张PPT。第2课时 含30°锐角的直角三角形的性质及其应用1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ） 如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，如果∠A=30°，那么直角边BC与斜边AB有什么关系呢？∴BC=BD= AB.如图，取线段AB的中点D，连接CD.∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴CD= AB=BD.∵∠BCA=90°，且∠A=30°，
∴∠B=60°.∴△CBD为等边三角形， 在直角三角形中，如果一个锐角等于30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，若BC= AB，那么∠A=30°吗？∴∠A=30°.如图，取线段AB的中点D，连接CD.∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴CD= AB=BD.∴BC=BD=CD，即△BDC为等边三角形.∴∠B=60°.∵BC= AB，
∵∠A+∠B=90°， 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30 °. 如图，在A岛周围20海里水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，测得A岛在北偏东60 °的方向，且与轮船相距 海里.若该船继续保持由西向东的航向，那么有触礁的危险吗？分析 取轮船航向所在的直线为OB.过点A作AD⊥OB，垂足为D. AD长为A岛到轮船航道的最短距离，若AD大于20海里，则轮船由西向东航行就不会有触礁的危险.解 如图， 过点A作AD⊥OB，垂足为D，连接AO. 由于AD长大于20海里，所以轮船由西向东航行不会触礁.于是AD= AO= ≈25.98(海里)>20（海里）.在Rt△AOD中，AO= 海里，∠AOD=30°， 1.如图是某商店营业大厅电梯示意图.电梯AB的倾斜角为30°，大厅两层之间的高度BC为6m.你能算出电梯AB的长度吗？
解：电梯AB的长度为12m. 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD垂直于AB，垂足为点D，DB= BC，求∠A的度数.解：∵CD垂直于AB，DB= BC，
∴∠BCD=30°.
∴∠B=60°.
∵∠ACB=90°，
∴∠A=30°.今天这堂课学了什么内容？反 思 小 结1.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
2.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.第2课时 含30°锐角的直角三角形的性质及其应用
要点感知1 在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的__________.
预习练习1-1 已知直角三角形中30°角所对的直角边为2 cm，则斜边的长为( )
A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm
要点感知2 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于__________.
预习练习2-1 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=2，∠B的度数为( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
知识点1 在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
1.△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最短边BC=4 cm，最长边AB的长是( )
A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm
2.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( )
A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7
3.Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2 cm，则AB的长度是( )
A.2 cm B.4 cm C.8 cm D.16 cm
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E，∠A＝30°，AB=8，则DE的长度是__________.
5.在△ABC中，已知∠A=∠B=∠C，它的最长边是8 cm，求它的最短边的长.
知识点2 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°
6.在直角三角形中，最长边为10 cm，最短边为5 cm，则这个三角形中最小的内角为__________度.
7.在△ABC中,如果∠A+∠B=∠C,且AC=AB,那么∠B=__________.
8.等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数是( )
A.30° B.60° C.30°或150° D.不能确定
9.如图所示，已知∠1=∠2，AD=BD=4，CE⊥AD，2CE=AC，求CD的长.
知识点3 含30°锐角的直角三角形的应用
10.如图，已知某船于上午8点在A处观测小岛C在北偏东60°方向上.该船以每小时40海里的速度向东航行到B处，此时测得小岛C在北偏东30°方向上.船以原速度再继续向东航行2小时到达小岛C的正南方D点.求船从A到D一共走了多少海里？
11.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，则( )
A.AB=2AC B.AC=2AB C.AB=AC D.AB=3AC
12.等腰三角形的顶角是一个底角的4倍，如果腰长为10 cm，那么底边上的高为( )
A.10 cm B.5 cm C.6 cm D.8 cm
13.如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，点B恰好落在AB的中点E处，则∠A等于( )
A.25° B.30° C.45° D.60°
14.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，且BD∶DC=2∶1，则∠B满足( )
A.0°＜∠B＜15° B.∠B=15° C.15°＜∠B＜30° D.∠B=30°
15.在△ABC中，已知AB=4，BC=10，∠B=30°，那么S△ABC=__________.
16.如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为__________米.
17.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，周长为3+3，AC=3，求BC的长.
18.已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点.
求证：CD⊥AB.
19.等腰三角形一腰上的高等于这个三角形一条边长度的一半，则其顶角为( )
A.30° B.30°或150° C.120°或150° D.30°或120°或150°
20.已知如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥AC,CD=2,BD=1,求∠C的度数.
参考答案
要点感知1 一半
预习练习1-1 B
要点感知2 30°
预习练习2-1 C
1.D 2.D 3.C 4.2
5.设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，
∵x+2x+3x=180°，∴x=30°.∴∠C=90°.
∵AB=8 cm，∴BC=4 cm.
故最短的边的长是4 cm.
6.30 7.30° 8.C
9.在Rt△AEC中，∵2CE=AC，
∴∠1=∠2=30°.
∵AD=BD=4，
∴∠B=∠2=30°.
∴∠ACD=180°-30°×3=90°.
∴CD=AD=2.
10.由题意知∠CAD=30°，∠CBD=60°，∴∠ACB=30°.
在△BCD中，∠CBD=60°，∴∠BCD=30°.
∴AB=BC=2BD.
∵船从B到D走了2小时，船速为每小时40海里，
∴BD=80海里.
∴AB=BC=160海里.
∴AD=160+80=240(海里).
因此船从A到D一共走了240海里.
11.A 12.B 13.B 14.D 15.10 16.12
17.Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°,
∴AB=2BC.
∴AB+BC+AC=3BC+3=3+3.解得BC=,
即BC的长为.
18.证明：∵∠ACB=90°，M为AB中点，
∴CM=AB=BM.
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴CB=AB=BM.
∴CM=CB.
∵D为MB的中点，
∴CD⊥BM，
即CD⊥AB.
19.D
20.取CD的中点E,连接AE,
∵AD⊥AC,∴∠CAD=90°.
∵E是CD的中点,CD=2,
∴AE=CD=DE=CE=×2=1.
∵BD=1,∴BE=CD.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
又∵AB=AC,
∴△ABE≌△ACD（SAS）.
∴AD=AE=1=CD.
又∵∠CAD=90°,
∴∠C=30°.
