【基础版】北师大版数学九上2.3用公式法求一元二次方程 同步练习
一、选择题
1．（2020九上·陈仓期末）关于x的方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k＞1 C．k＜－1 D．k＞－1
2．（2024九上·自贡期末）关于的一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
3．（2020九上·保山月考）下列关于x 的一元二次方程，有两个不相等的实数根的方程的是（ ）
A．x2＋1＝0 B．x2＋2x＋1＝0
C．x2＋2x＋3＝0 D．x2＋2x－3＝0
4．（2023九上·哈尔滨开学考）关于的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定根的情况
5．（2023九上·铜梁月考） 用公式法解一元二次方程3x2＝2x﹣3时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（ ）
A．a＝3，b＝2，c＝3 B．a＝﹣3，b＝2，c＝3
C．a＝3，b＝2，c＝﹣3 D．a＝3，b＝﹣2，c＝3
6．（2019九上·长白期中）若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则a等于（ ）
A．4 B．—4 C．0或4 D．0或—4
7．（2023九上·河北月考）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
8．（2023九上·安岳月考）关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．且
二、填空题
9．（2023九上·大兴期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
10．（2024九上·舒兰期末）一元二次方程的根的判别式 0．（填“”“”或“”）
11．（2020九上·永善月考）若关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值是 .
12．（2023九上·南关月考）不解方程，判断方程的根的情况是 ．
13．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）一元二次方程 的求根公式是 ．
三、解答题
14．（2023九上·丰满期中） 解方程：2x2+7x+4＝0．
15．（2019九上·柳江期中）已知关于 的一元二次方程
求证：不论 为何值，该方程总有两个实数根；
16．（2024九上·北碚期末）已知关于的方程．
（1）求证：对于任何实数，该方程总有两个实数根；
（2）若三角形的一边长为1，另外两边长为该方程的两个实数根，求的取值范围．
17．（2020九上·南阳月考）若方程（c2＋a2）x2＋2（b2-c2）x＋c2-b2=0有两个相等的实数根，且a，b，c是三角形ABC的三边，证明此三角形是等腰三角形.
18．（2023九上·鄠邑期中）小明在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如下：
，，。（第一步）
。（第二步）
。（第三步）
，。（第四步）
（1）小明的解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ；
（2）请你写出此题正确的解答过程。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
即△=（-2）2-4k＞0，解得k＜1
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于k的不等式，解之即可求解.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：整理，可得，
，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故答案为：B．
【分析】先求判别式的值，再根据根的判别式进行判断即可．
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】A、△=0-4×1×1=-4<0，没有实数根；
B、△=22-4×1×1=0，有两个相等的实数根；
C、△=22-4×1×3=-8<0，没有实数根；
D、△=22-4×1×（-3）=16>0，有两个不相等的实数根，
故答案为：D.
【分析】要判断所给方程是有两个不相等的实数根，只要找出方程的判别式，根据判别式的正负情况即可作出判断.有两个不相等的实数根的方程，即判别式的值大于0的一元二次方程.
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：在关于x的一元二次方程x2+(m-2)x-3=0中，a=1，b=m-2，c=-3，
∴△=b2-4ac=（m-2）2-4×1×（-3）=（m-2）2+12，
∵（m-2）2≥0，
∴（m-2）2+12＞0，
∴关于x的一元二次方程x2+(m-2)x-3=0有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根；故算出方程根的判别式的值，进而结合偶数次幂的非负性即可判断得出答案.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
移项，得，
这里，
故答案为：D．
【分析】把方程整理成一般形式后，确定的值即可．
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】根据方程 有两个相等的实数根可得根的判别式 ，即可得到关于a的方程，再结合一元二次方程的二次项系数不为0即可得到结果.
由题意得 ，解得a=4或a=0
又 ，所以a=4
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根的判别式可知，，再结合一元二次方程的二次项系数不为0，即可得到结果.
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
解得，
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
8．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：一元二次方程 有两个不相等的实数根，
，
解得：且，
又要使二次根式有意义，则，
解得：，
综上可得：且.
故答案为：D.
【分析】由一元二次方程 有两个不相等的实数根，可知且，再根据二次根式有意义的条件可知，解不等式即可得到k的取值范围.
9．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程x +2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=22 -4×1×m>0，
解得： m<1，
故答案为： m<1.
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与判别式 Δ =b2-4ac有如下关系：①Δ >0，方程有两个不相等的实数根，②Δ =0，方程有两个相等的实数根，③Δ <0，方程没有实数根.根据题意得出 Δ =22 -4×1×m>0，解不等式即可.
10．【答案】>
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵一元二次方程为，
∴a=2，b=-4，c=1，
∴△=b2-4ac=（-4）2-4×2×1=8>0，
故答案为：>.
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出算式求解即可.
11．【答案】－1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2-2x-m=0有两个相等的实数根，∴△=0，
∴（－2）2－4×1×（－m）=0，解得m=－1.
故答案为：-1.
【分析】根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可.
12．【答案】没有实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：方程整理得：，
，，，
，
该方程没有实数根．
故答案为：没有实数根．
【分析】一元二次方程的根与有如下关系：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根，进行求解即可．
13．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】一元二次方程 的求根公式是 ．
【分析】用公式法解一元二次方程必须是一元二次方程的一般形式．
14．【答案】解：2x2+7x+4＝0，
a＝2，b＝7，c＝4，
Δ＝b2﹣4ac＝72﹣4×2×4＝17＞0，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】运用一元二次方程公式法代入即可得出答案。
15．【答案】证明：∵
；
∴不论 为何值，该方程总有两个实数根.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当根的判别式△=b2-4ac≥0时，方程总有实数根，据此进行解答即可.
16．【答案】（1）证明：
∵
∴对于任何实数，该方程总有两个实数根
（2）解：
，
∴.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形三边关系
【解析】【分析】本题考查一元二次方程根据的判定别式、三角形的三边关系.
（1）先求出，再根据平方具有非负性可说明，据此可证明结论；
（2）先利用一元二次方程的求根公式求出两个根，再根据三角形的三边关系可得不等式，解不等式可求出实数m的取值范围.
17．【答案】解：Δ=[2（b2-c2）]2-4（c2+a2）（c2-b2）=4（b2-c2）（b2-c2+a2+c2）=4（b+c）（b-c）（b2+a2）.
∵方程有两个相等实根.
∴Δ= 0，即4（b+c）（b-c）（b2+a2）=0.
∵a，b，c是三角形的三边，
∴b+c≠0，a2+b2≠0，
只有b-c=0，
解得b=c.
∴此三角形是等腰三角形.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的判定
【解析】【分析】先根据方程有两个相等的实数根得出△=0，再得出b、c的关系即可.
18．【答案】（1）一；方程没有化成一般式
（2）解：方程化为
，，，
．，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）先把一元二次方程化为一般形式，再确定系数，所以小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是原方程没有化简为一般形式．
故答案为：一，原方程没有化简为一般形式．
【分析】（1）先把一元二次方程化为一般形式，再确定系数；
（2）利用公式法解一元二次方程，即可求出答案．
1 / 1【基础版】北师大版数学九上2.3用公式法求一元二次方程 同步练习
一、选择题
1．（2020九上·陈仓期末）关于x的方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k＞1 C．k＜－1 D．k＞－1
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
即△=（-2）2-4k＞0，解得k＜1
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于k的不等式，解之即可求解.
2．（2024九上·自贡期末）关于的一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：整理，可得，
，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故答案为：B．
【分析】先求判别式的值，再根据根的判别式进行判断即可．
3．（2020九上·保山月考）下列关于x 的一元二次方程，有两个不相等的实数根的方程的是（ ）
A．x2＋1＝0 B．x2＋2x＋1＝0
C．x2＋2x＋3＝0 D．x2＋2x－3＝0
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】A、△=0-4×1×1=-4<0，没有实数根；
B、△=22-4×1×1=0，有两个相等的实数根；
C、△=22-4×1×3=-8<0，没有实数根；
D、△=22-4×1×（-3）=16>0，有两个不相等的实数根，
故答案为：D.
【分析】要判断所给方程是有两个不相等的实数根，只要找出方程的判别式，根据判别式的正负情况即可作出判断.有两个不相等的实数根的方程，即判别式的值大于0的一元二次方程.
4．（2023九上·哈尔滨开学考）关于的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定根的情况
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：在关于x的一元二次方程x2+(m-2)x-3=0中，a=1，b=m-2，c=-3，
∴△=b2-4ac=（m-2）2-4×1×（-3）=（m-2）2+12，
∵（m-2）2≥0，
∴（m-2）2+12＞0，
∴关于x的一元二次方程x2+(m-2)x-3=0有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根；故算出方程根的判别式的值，进而结合偶数次幂的非负性即可判断得出答案.
5．（2023九上·铜梁月考） 用公式法解一元二次方程3x2＝2x﹣3时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（ ）
A．a＝3，b＝2，c＝3 B．a＝﹣3，b＝2，c＝3
C．a＝3，b＝2，c＝﹣3 D．a＝3，b＝﹣2，c＝3
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
移项，得，
这里，
故答案为：D．
【分析】把方程整理成一般形式后，确定的值即可．
6．（2019九上·长白期中）若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则a等于（ ）
A．4 B．—4 C．0或4 D．0或—4
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】根据方程 有两个相等的实数根可得根的判别式 ，即可得到关于a的方程，再结合一元二次方程的二次项系数不为0即可得到结果.
由题意得 ，解得a=4或a=0
又 ，所以a=4
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根的判别式可知，，再结合一元二次方程的二次项系数不为0，即可得到结果.
7．（2023九上·河北月考）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
解得，
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
8．（2023九上·安岳月考）关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．且
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：一元二次方程 有两个不相等的实数根，
，
解得：且，
又要使二次根式有意义，则，
解得：，
综上可得：且.
故答案为：D.
【分析】由一元二次方程 有两个不相等的实数根，可知且，再根据二次根式有意义的条件可知，解不等式即可得到k的取值范围.
二、填空题
9．（2023九上·大兴期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程x +2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=22 -4×1×m>0，
解得： m<1，
故答案为： m<1.
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与判别式 Δ =b2-4ac有如下关系：①Δ >0，方程有两个不相等的实数根，②Δ =0，方程有两个相等的实数根，③Δ <0，方程没有实数根.根据题意得出 Δ =22 -4×1×m>0，解不等式即可.
10．（2024九上·舒兰期末）一元二次方程的根的判别式 0．（填“”“”或“”）
【答案】>
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵一元二次方程为，
∴a=2，b=-4，c=1，
∴△=b2-4ac=（-4）2-4×2×1=8>0，
故答案为：>.
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出算式求解即可.
11．（2020九上·永善月考）若关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值是 .
【答案】－1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2-2x-m=0有两个相等的实数根，∴△=0，
∴（－2）2－4×1×（－m）=0，解得m=－1.
故答案为：-1.
【分析】根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可.
12．（2023九上·南关月考）不解方程，判断方程的根的情况是 ．
【答案】没有实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：方程整理得：，
，，，
，
该方程没有实数根．
故答案为：没有实数根．
【分析】一元二次方程的根与有如下关系：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根，进行求解即可．
13．（新人教版数学九年级上册21.2.2公式法 同步训练）一元二次方程 的求根公式是 ．
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】一元二次方程 的求根公式是 ．
【分析】用公式法解一元二次方程必须是一元二次方程的一般形式．
三、解答题
14．（2023九上·丰满期中） 解方程：2x2+7x+4＝0．
【答案】解：2x2+7x+4＝0，
a＝2，b＝7，c＝4，
Δ＝b2﹣4ac＝72﹣4×2×4＝17＞0，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】运用一元二次方程公式法代入即可得出答案。
15．（2019九上·柳江期中）已知关于 的一元二次方程
求证：不论 为何值，该方程总有两个实数根；
【答案】证明：∵
；
∴不论 为何值，该方程总有两个实数根.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当根的判别式△=b2-4ac≥0时，方程总有实数根，据此进行解答即可.
16．（2024九上·北碚期末）已知关于的方程．
（1）求证：对于任何实数，该方程总有两个实数根；
（2）若三角形的一边长为1，另外两边长为该方程的两个实数根，求的取值范围．
【答案】（1）证明：
∵
∴对于任何实数，该方程总有两个实数根
（2）解：
，
∴.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形三边关系
【解析】【分析】本题考查一元二次方程根据的判定别式、三角形的三边关系.
（1）先求出，再根据平方具有非负性可说明，据此可证明结论；
（2）先利用一元二次方程的求根公式求出两个根，再根据三角形的三边关系可得不等式，解不等式可求出实数m的取值范围.
17．（2020九上·南阳月考）若方程（c2＋a2）x2＋2（b2-c2）x＋c2-b2=0有两个相等的实数根，且a，b，c是三角形ABC的三边，证明此三角形是等腰三角形.
【答案】解：Δ=[2（b2-c2）]2-4（c2+a2）（c2-b2）=4（b2-c2）（b2-c2+a2+c2）=4（b+c）（b-c）（b2+a2）.
∵方程有两个相等实根.
∴Δ= 0，即4（b+c）（b-c）（b2+a2）=0.
∵a，b，c是三角形的三边，
∴b+c≠0，a2+b2≠0，
只有b-c=0，
解得b=c.
∴此三角形是等腰三角形.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的判定
【解析】【分析】先根据方程有两个相等的实数根得出△=0，再得出b、c的关系即可.
18．（2023九上·鄠邑期中）小明在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如下：
，，。（第一步）
。（第二步）
。（第三步）
，。（第四步）
（1）小明的解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ；
（2）请你写出此题正确的解答过程。
【答案】（1）一；方程没有化成一般式
（2）解：方程化为
，，，
．，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）先把一元二次方程化为一般形式，再确定系数，所以小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是原方程没有化简为一般形式．
故答案为：一，原方程没有化简为一般形式．
【分析】（1）先把一元二次方程化为一般形式，再确定系数；
（2）利用公式法解一元二次方程，即可求出答案．
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