【培优版】北师大版数学九上2.3用公式法解一元二次方程 同步练习
一、选择题
1．（2023九上·深圳月考）若a、b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n＋1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为（ ）
A．8 B．7 C．8或7 D．9或8
2．（2023九上·仙居开学考）如图是一张矩形纸片，点，分别在边，上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处把沿直线折叠，使点落在线段上的点处，，，则矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020九上·齐齐哈尔月考）对于一元二次方程 下列说法：①当 时，则方程 一定有一根为 ；②若 则方程 一定有两个不相等的实数根；③若c是方程 的一个根，则一定有 ；④若 ，则方程 有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④
4．（2019九上·和平期中）已知关于x的一元二次方程 与 ，下列判断错误的是（ ）
A．若方程 有两个实数根，则方程 也有两个实数根；
B．如果m是方程 的一个根，那么 是 的一个根；
C．如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1；
D．如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1或-1.
5．（2023九上·泗县月考）若关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
6．（2023九上·市南区期中）若等腰三角形（不等边）的一边长为3，另两边长是关于x的方程x2﹣8x+2m+2＝0的两个根，则m的值为（ ）
A．7 B．﹣7或6 C．6.5或7 D．6.5
7．（2023九上·桥西期中）利用公式解可得一元二次方程式2x2﹣9x+8＝0的两解为a、b，且a＞b，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·东光期中）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成判断一元二次方程根的情况，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成判断.过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有甲 B．甲和乙 C．乙和丙 D．乙和丁
二、填空题
9．（2024九上·铜仁期末） 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，a与b的乘积是 ．
10．（2024九上·双阳期末）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可以是 .（写出一个即可）
11．（2023九上·西安开学考）若，则的值为 ．
12．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册22.2.3 公式法 同步练习）方程x2-2|x+4|-27=0的所有根的和为 ．
13．有6张正面分别标有数的不透明卡片，它们除数不同外其余全部相同.现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数记为，将该数加1记为，则数a，b使得关于的一元二次方程有解的概率是 .
三、解答题
14．（人教版九年级数学上册第一次月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（4m+1）x+3m2+m=0．
（1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m的取值范围；
（3）抛物线y=x2﹣（4m+1）x+3m2+m与x轴交于点A．B，与y轴交于点C，当m取（2）中符合题意的最小整数时，将此抛物线向上平移n个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求n的取值范围（直接写出答案即可）．
15．（2019九上·灵石期中）定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（i﹣4i）＝5﹣3i
（1）填空：i3＝ ，i4＝ ．
（2）填空：①（2+i）（2﹣i）＝ ； ②（2+i）2＝ ．
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知，（x+y）+3i＝1﹣（x﹣y）i，（x，y为实数），求x，y的值．
（4）试一试：请利用以前学习的有关知识将 化简成a+bi的形式．
（5）解方程：x2﹣2x+4＝0．
16．（2023九上·防城期中）[探究与应用]
公式法是解一元二次方程常用的方法之一，应用比较广泛，能适用于解所有的一元二次方程．
[观察与分析]小张在解方程x2-6x= 7时，他的解答过程如下：
解：∵a=1， b=-6，c=7，(第一步)
∴△=b2-4ac=(-6)2-4×1×7=8> 0．(第二步)
∴方程有两个不相等的实数根
x== = (第三步)
∴x1=3+，x2=3-．(第四步)
[思考与应用]
（1）小张的解答过程是否正确？
（2）如果你认为正确，请你用另一种方法来解这个方程，看看得到的结果是否一致；
如果你认为不正确，请指出小张从第几步开始出错，并用小张的方法重新解方程．
17．（2020九上·东坡月考）已知：方程 x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0是关于x的一元二次方程，
（1）判断此方程根的情况，并说明理由；
（2）若a，b，c△ABC的三边，c=
5，且a，b是一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两根．
①k何值时，△ABC是等腰三角形，并求它的周长．
②k为何值时，△ABC是以c为斜边的直角三角形？
18．（2021九上·梁山月考）如图，在菱形ABCD中，m、n、t分别是菱形ABCD的两条对角线长和边长，这时我们把关于x的形如“mx2+2 tx+n=0”的元二次方程称为“菱系一元二次方程”。请解决下列问题：
（1）填空：
①当m=6，n=8时，t=
②用含m，n的代数式表示t2值，t2=
（2）求证：关于x的“菱系一元二次方程” mx2+2 tx+n=0必有实数根：
（3）若x=-1是“菱系一元二次方程”mx2+2 tx+n=0的一个根，且菱形的面积是25，BE是菱形ABCD的AD边上的高，求BE的值。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ∵等腰三角形三边长分别为a、b、4，
∴对于等腰三角形的腰长，分三种情况：
（1）当a=4时，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n＋1＝0的两根，
∴42－6×4＋n＋1＝0，解得n=7.
∴一元二次方程为x2－6x＋8＝0，即（x－2）（x－4）=0.
∴x = 2 或 x =4.
∴b=2.
此时等腰三角形三边长分别为4、2、4，符合三边关系；
（2）当b=4时，与（1）同理可得，n=7；
（1）当a=b时，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n＋1＝0的两根，
∴解得n=8.
∴一元二次方程为x2－6x＋9＝0，即（x－3）2=0.
∴x = 3.
∴a=b= 3.
此时等腰三角形三边长分别为3、3、4，符合三边关系.
综上所述，n的值为8或7.
故答案为：C.
【分析】首先对于等腰三角形的腰长，分三种情况讨论，然后根据一元二次方程的性质求解a，b，n的值，最后根据三角形的三边关系判断是否符合题意，即可得出结论.
2．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理；勾股定理的应用；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设因为 把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处 ，由折叠关系可得：，因为，则，，因为 把沿直线折叠，使点落在线段上的点处 ，所以由折叠关系有：，
又因为四边形为矩形，所以：，则在中，由勾股定理得： ，即，解得：（舍去）；故，所以矩形的面积：.
故答案为：A.
【分析】首先设，由折叠的关系可以得到：，，还可计算出：
，然后在中运用勾股定理解出x，然后根据矩形的面积公式进行求解即可.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），
△＝b2 4ac，
①将x＝ 1代入方程ax2＋bx＋c＝0，得a b＋c＝0，即b＝a＋c．故①符合题意．
②若ab＞0，bc＜0，则ac＜0，则△＝b2 4ac＞0，即方程ax2＋bx＋c＝0一定有两个不相等的实数根．故②符合题意．
③将x＝c代入方程ax2＋bx＋c＝0，得ac2＋bc＋c＝0，得c＝0或ac＋b＋1＝0．故③不符合题意．
④若b＝2a＋3c，△＝b2 4ac＝（2a＋3c）2 4ac =4（a＋c）2＋5c2＞0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．故④符合题意．
所以正确的是①②④，
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程根的意义及根的判别式，逐项分析判断即可．
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A．∵方程ax2+bx+c=0有两个实数根，∴△1=b2﹣4ac≥0．
∵△2=b2﹣4ac≥0，∴方程cx2+bx+a=0也有两个实数根，不符合题意；
B．∵m是方程ax2+bx+c=0的一个根，∴am2+bm+c=0，∴ ，∴ 是cx2+bx+a=0的一个根，故不符合题意；
C．由题意知，a≠c，设相等的根是m，则am2+bm+c=0①，cm2+bm+a=0②，①﹣②得am2﹣cm2+c﹣a=0，整理得：（a﹣c）（m2﹣1）=0．
∵a≠c，∴m2﹣1=0，∴m=±1，故C符合题意，D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据根的判别式和一元二次方程的解的定义即可得到结论．
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： 关于x的方程有实数根 ，
当a+2=0时，即a=-2，方程为-3x+1=0，解得x=，
当a+2≠0时，
△=（-3）2-4（a+2）≥0
解得a≤，
综上可得a≤.
故答案为：B.
【分析】由于关于x的方程有实数根，可分两种情况：当a+2=0和当a+2≠0时，据此分别解答即可.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质
【解析】【解答】①当腰为3时，即方程的两个根都为3，将3代入方程得m=6.5；
②当底为3时，方程的两根为腰，即方程得△=0，解得m=7；
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质可知，边长为3时可以是三角形的腰或者是三角形的底，即分为两类进行计算即可得出答案。
7．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】∵方程为2x2﹣9x+8＝0，
∴方程的解为，
∵a>b，
∴a=，b=，
故答案为：A.
【分析】利用公式法的计算方法求解一元二次方程即可。
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵一元二次方程为，
∴a=1，b=4m，c=-（3m2+1），
∴△=b2-4ac=（4m）2-4×1×[-（3m2+1）]=4m2+4>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴甲、乙两人不正确，
故答案为：B.
【分析】先将一元二次方程化为一般式，再利用根的判别式求解即可.
9．【答案】16
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
即，
整理得4ab=64，
ab=16.
故答案为：16.
【分析】根据方程有两个相等的实数根得到然后利用等式的性质求出ab的值即可.
10．【答案】0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∴c的值可以是0．
故答案为：0（答案不唯一）．
【分析】一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根是解题的关键．据此求解．
11．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意知：，则等式两条同时除以有：，令可得则
所以即的值为：.
故答案为：.
【分析】本题主要考查多项式的变形、运用公式法接一元二次方程，根据题意可得：，令可得然后运用公式法解出t即可求解.
12．【答案】6-2
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：①当x＞-4时；原方程可化为x2-2x-35=0，解得x=-5或7，舍去-5；
②当x＜-4时；原方程可化为x2+2x-19=0，解得x=-1±2 ，舍去正号；
∴两根为7和-1-2 ，
∴7+（-1-2 ）=6-2 ．
故答案为：6-2
【分析】由绝对值的性质可知，分x＞-4和x＜-4两种情况求解。
①当x＞-4时；原方程化为一般形式，再根据公式即可求解；
②当x＜-4时；原方程化为一般形式，再根据公式即可求解。
13．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；概率公式
【解析】【解答】解：根据题意，
要使得关于的一元二次方程有解，
则且a≠0，
解得且a≠0，
所以可得|b|≥|a|且a≠0；
所有情况如下表：
a -2 -1 0 1 2 3
b=a+1 -1 0 1 2 3 4
由表格可知，当a=1，b=2；a=2，b=3；a=3，b=4；三种情况满足|b|≥|a|且a≠0，所以P(有解)==.
故答案为：.
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，方程有解，则且a≠0，可以解得a和b的关系；
（2）根据列表法，判断事件发生的情况和总情况，再根据概率公式P=，即可求得.
14．【答案】（1）证明：△=[﹣（4m+1）]2﹣4（3m2+m）
=4m2+4m+1
=（2m+1）2
∵（2m+1）2≥0，
∴无论m取何实数时，原方程总有两个实数根
（2）解：解方程x2﹣（4m+1）x+3m2+m=0得 x1=3m+1，x2=m，
由题意得 ，
解得
（3）解：m=1，抛物线为y=x2﹣5x+4=（x﹣ ）2﹣ ，A点坐标为（1，0），B点坐标为（4，0），C点坐标为（0，4），
直线BC的解析式为y=﹣x+4，
当x= 时，y=﹣x+4= ，
所以此抛物线向上平移 或（ + ）个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在边AB或BC上，
所以符合题意的n的取值范围是
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式组；用坐标表示平移
【解析】【分析】（1）利用判别式得到△=[﹣（4m+1）]2﹣4（3m2+m），化简后分析是否大于等于0即可；
（2）解方程用含m的式子表示方程的根，再根据两个实数根一个大于2，另一个小于7列出不等式，然后求出解集即可；
（3）根据（2）中的解集得出m的最小整数值，代入抛物线中，得出点A、B、C的坐标，求出直线BC的解析式，然后求出x=时的y值，然后分析如何平移，可使平移后得到的抛物线顶点落在边AB或BC上，即可得解.
15．【答案】（1）﹣i；1
（2）5；3+4i
（3）解：根据复数相等的条件，得： ，
解得： ；
（4）解： = = = =i；
（5）解：x2﹣2x+4=0，
∵x2-2x=-4，
∴x2-2x+1=-4+1，即(x-1）2=-3，
则(x-1）2=3i2，
∴x-1=i或x-1=-i，
∴x=1+i或x=1-i.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】（1）解：i3=i2×i=－i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，故答案为：﹣i； 1；（2）解：①（2+i）（2－i）=4－i2=4+1=5；
②（2+i）2=i2+4i+4=﹣1+4i+4=3+4i；
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则、i2=﹣1计算即可；（2）利用平方差公式、完全平方公式把原式展开，根据i2=﹣1计算即可；（3）根据复数相等的条件解答即可；（4）充分利用i2=﹣1计算，分子分母同时乘以（1+i）即可；（5）将原方程配方成(x-1）2=-3，据此得出(x-1）2=3i2，再两边开平方计算可得。
16．【答案】（1）小张的解答过程不正确
（2）小张的解答过程从第一步开始出错了，
正确的解答过程如下：
解：原方程化为x2-6x-7=0
∴a=1， b=-6， c=- 7， ．
∴△=b2-4ac=(-6)2-4×1×(-7) = 64> 0，
∴方程有两个不相等的实数根
∴x= =3±4
∴x1=-1，x2=7
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）小张的解答过程不正确，其错误原因是方程没有化成一般式；
（2）根据解一元二次方程的公式法解方程即可．
17．【答案】（1）解：因为Δ= 2-4(k2+3k+2) =1＞0
所以方程总有两个不相等的实数根
（2）解：方程的根为x1=k+1 ， x2=k+2
不妨设a=k+1 ， b=k+2，且 a≠b
①当a=c=5时，k+1=5， k=4，b=k+2=6
此时周长为5+5+6=16
当b=c=5时，k+2=5， k=3 a=k+1=4
此时周长为5+5+4=14
综上所述，k=3或4时，△ABC是等腰三角形，且△ABC的周长为14或16．
②由题意可知：a2+b2= c2
(k+1)2+ (k+2)2=25
k 1=2 k2=-5
当k=-5时，a=-4，b=-3，不合题意，舍去．
∴k=2时，△ABC是以c为斜边的直角三角形．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案；（2）①用k表示方程两根，根据等腰三角形的性质即可求出k的值．②用k表示方程两根，根据勾股定理逆定理即可求出答案；
18．【答案】（1）5； m2+ n2
（2）解：mx2+2 tx+n=0，这里，a=m，b=2 t，c=n，
∴△=（2 t）2-4mn=8t2-4mn，
∵t2= m2+ n2，∴△=2m2+2n2-4mn=2（m-n）2≥0．
∴关于x的“菱系一元二次方程”mx2+2 tx+n=0必有实数根
（3）解：∵x=-1是“菱系一元二次方程”mx2+2 tx+n=0的一个根，
∴m-2 t+n=0，
∴2 t=m+n，
∴8t2=m2+n2+2mn，
∵m2+n2=4t2
∴2t2=mn，
∵菱形面积是25，
∴ mn=25，
∴t2=25，t=5即AD=5，
∴BE=25÷5=5
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：（1）①当m=6、n=8时，AO=4，DO=3，
则AD= = =5，即t= 5；
②由题意知AO= AC= m，DO= BD= n
则AD= = =
∴t2= m2+ n2
【分析】（1）①根据菱形的性质得出AO=4，DO=3，根据勾股定理求出AD=5，即可得出t的值；
②根据菱形的性质得出AO=m，DO=n，根据勾股定理求出AD的长，即可得出t2的值；
（2）根据一元二次方程根的判别式得出△=2（m-n）2≥0，即可得出 “菱系一元二次方程” mx2+2 tx+n=0必有实数根：
（3）把x=-1代入一元二次方程得出 t=m+n，从而得出2t2=mn， 再根据菱形的面积等于25得出mn=25， 从而得出t2=25， 得出AD=5，再根据菱形的面积等于25即可求出BE的长.
1 / 1【培优版】北师大版数学九上2.3用公式法解一元二次方程 同步练习
一、选择题
1．（2023九上·深圳月考）若a、b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n＋1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为（ ）
A．8 B．7 C．8或7 D．9或8
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ∵等腰三角形三边长分别为a、b、4，
∴对于等腰三角形的腰长，分三种情况：
（1）当a=4时，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n＋1＝0的两根，
∴42－6×4＋n＋1＝0，解得n=7.
∴一元二次方程为x2－6x＋8＝0，即（x－2）（x－4）=0.
∴x = 2 或 x =4.
∴b=2.
此时等腰三角形三边长分别为4、2、4，符合三边关系；
（2）当b=4时，与（1）同理可得，n=7；
（1）当a=b时，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n＋1＝0的两根，
∴解得n=8.
∴一元二次方程为x2－6x＋9＝0，即（x－3）2=0.
∴x = 3.
∴a=b= 3.
此时等腰三角形三边长分别为3、3、4，符合三边关系.
综上所述，n的值为8或7.
故答案为：C.
【分析】首先对于等腰三角形的腰长，分三种情况讨论，然后根据一元二次方程的性质求解a，b，n的值，最后根据三角形的三边关系判断是否符合题意，即可得出结论.
2．（2023九上·仙居开学考）如图是一张矩形纸片，点，分别在边，上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处把沿直线折叠，使点落在线段上的点处，，，则矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理；勾股定理的应用；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设因为 把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处 ，由折叠关系可得：，因为，则，，因为 把沿直线折叠，使点落在线段上的点处 ，所以由折叠关系有：，
又因为四边形为矩形，所以：，则在中，由勾股定理得： ，即，解得：（舍去）；故，所以矩形的面积：.
故答案为：A.
【分析】首先设，由折叠的关系可以得到：，，还可计算出：
，然后在中运用勾股定理解出x，然后根据矩形的面积公式进行求解即可.
3．（2020九上·齐齐哈尔月考）对于一元二次方程 下列说法：①当 时，则方程 一定有一根为 ；②若 则方程 一定有两个不相等的实数根；③若c是方程 的一个根，则一定有 ；④若 ，则方程 有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），
△＝b2 4ac，
①将x＝ 1代入方程ax2＋bx＋c＝0，得a b＋c＝0，即b＝a＋c．故①符合题意．
②若ab＞0，bc＜0，则ac＜0，则△＝b2 4ac＞0，即方程ax2＋bx＋c＝0一定有两个不相等的实数根．故②符合题意．
③将x＝c代入方程ax2＋bx＋c＝0，得ac2＋bc＋c＝0，得c＝0或ac＋b＋1＝0．故③不符合题意．
④若b＝2a＋3c，△＝b2 4ac＝（2a＋3c）2 4ac =4（a＋c）2＋5c2＞0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．故④符合题意．
所以正确的是①②④，
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程根的意义及根的判别式，逐项分析判断即可．
4．（2019九上·和平期中）已知关于x的一元二次方程 与 ，下列判断错误的是（ ）
A．若方程 有两个实数根，则方程 也有两个实数根；
B．如果m是方程 的一个根，那么 是 的一个根；
C．如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1；
D．如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1或-1.
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A．∵方程ax2+bx+c=0有两个实数根，∴△1=b2﹣4ac≥0．
∵△2=b2﹣4ac≥0，∴方程cx2+bx+a=0也有两个实数根，不符合题意；
B．∵m是方程ax2+bx+c=0的一个根，∴am2+bm+c=0，∴ ，∴ 是cx2+bx+a=0的一个根，故不符合题意；
C．由题意知，a≠c，设相等的根是m，则am2+bm+c=0①，cm2+bm+a=0②，①﹣②得am2﹣cm2+c﹣a=0，整理得：（a﹣c）（m2﹣1）=0．
∵a≠c，∴m2﹣1=0，∴m=±1，故C符合题意，D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据根的判别式和一元二次方程的解的定义即可得到结论．
5．（2023九上·泗县月考）若关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： 关于x的方程有实数根 ，
当a+2=0时，即a=-2，方程为-3x+1=0，解得x=，
当a+2≠0时，
△=（-3）2-4（a+2）≥0
解得a≤，
综上可得a≤.
故答案为：B.
【分析】由于关于x的方程有实数根，可分两种情况：当a+2=0和当a+2≠0时，据此分别解答即可.
6．（2023九上·市南区期中）若等腰三角形（不等边）的一边长为3，另两边长是关于x的方程x2﹣8x+2m+2＝0的两个根，则m的值为（ ）
A．7 B．﹣7或6 C．6.5或7 D．6.5
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质
【解析】【解答】①当腰为3时，即方程的两个根都为3，将3代入方程得m=6.5；
②当底为3时，方程的两根为腰，即方程得△=0，解得m=7；
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质可知，边长为3时可以是三角形的腰或者是三角形的底，即分为两类进行计算即可得出答案。
7．（2023九上·桥西期中）利用公式解可得一元二次方程式2x2﹣9x+8＝0的两解为a、b，且a＞b，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】∵方程为2x2﹣9x+8＝0，
∴方程的解为，
∵a>b，
∴a=，b=，
故答案为：A.
【分析】利用公式法的计算方法求解一元二次方程即可。
8．（2023九上·东光期中）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成判断一元二次方程根的情况，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成判断.过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有甲 B．甲和乙 C．乙和丙 D．乙和丁
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵一元二次方程为，
∴a=1，b=4m，c=-（3m2+1），
∴△=b2-4ac=（4m）2-4×1×[-（3m2+1）]=4m2+4>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴甲、乙两人不正确，
故答案为：B.
【分析】先将一元二次方程化为一般式，再利用根的判别式求解即可.
二、填空题
9．（2024九上·铜仁期末） 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，a与b的乘积是 ．
【答案】16
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
即，
整理得4ab=64，
ab=16.
故答案为：16.
【分析】根据方程有两个相等的实数根得到然后利用等式的性质求出ab的值即可.
10．（2024九上·双阳期末）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可以是 .（写出一个即可）
【答案】0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∴c的值可以是0．
故答案为：0（答案不唯一）．
【分析】一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根是解题的关键．据此求解．
11．（2023九上·西安开学考）若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意知：，则等式两条同时除以有：，令可得则
所以即的值为：.
故答案为：.
【分析】本题主要考查多项式的变形、运用公式法接一元二次方程，根据题意可得：，令可得然后运用公式法解出t即可求解.
12．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册22.2.3 公式法 同步练习）方程x2-2|x+4|-27=0的所有根的和为 ．
【答案】6-2
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：①当x＞-4时；原方程可化为x2-2x-35=0，解得x=-5或7，舍去-5；
②当x＜-4时；原方程可化为x2+2x-19=0，解得x=-1±2 ，舍去正号；
∴两根为7和-1-2 ，
∴7+（-1-2 ）=6-2 ．
故答案为：6-2
【分析】由绝对值的性质可知，分x＞-4和x＜-4两种情况求解。
①当x＞-4时；原方程化为一般形式，再根据公式即可求解；
②当x＜-4时；原方程化为一般形式，再根据公式即可求解。
13．有6张正面分别标有数的不透明卡片，它们除数不同外其余全部相同.现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数记为，将该数加1记为，则数a，b使得关于的一元二次方程有解的概率是 .
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；概率公式
【解析】【解答】解：根据题意，
要使得关于的一元二次方程有解，
则且a≠0，
解得且a≠0，
所以可得|b|≥|a|且a≠0；
所有情况如下表：
a -2 -1 0 1 2 3
b=a+1 -1 0 1 2 3 4
由表格可知，当a=1，b=2；a=2，b=3；a=3，b=4；三种情况满足|b|≥|a|且a≠0，所以P(有解)==.
故答案为：.
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，方程有解，则且a≠0，可以解得a和b的关系；
（2）根据列表法，判断事件发生的情况和总情况，再根据概率公式P=，即可求得.
三、解答题
14．（人教版九年级数学上册第一次月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（4m+1）x+3m2+m=0．
（1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m的取值范围；
（3）抛物线y=x2﹣（4m+1）x+3m2+m与x轴交于点A．B，与y轴交于点C，当m取（2）中符合题意的最小整数时，将此抛物线向上平移n个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求n的取值范围（直接写出答案即可）．
【答案】（1）证明：△=[﹣（4m+1）]2﹣4（3m2+m）
=4m2+4m+1
=（2m+1）2
∵（2m+1）2≥0，
∴无论m取何实数时，原方程总有两个实数根
（2）解：解方程x2﹣（4m+1）x+3m2+m=0得 x1=3m+1，x2=m，
由题意得 ，
解得
（3）解：m=1，抛物线为y=x2﹣5x+4=（x﹣ ）2﹣ ，A点坐标为（1，0），B点坐标为（4，0），C点坐标为（0，4），
直线BC的解析式为y=﹣x+4，
当x= 时，y=﹣x+4= ，
所以此抛物线向上平移 或（ + ）个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在边AB或BC上，
所以符合题意的n的取值范围是
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式组；用坐标表示平移
【解析】【分析】（1）利用判别式得到△=[﹣（4m+1）]2﹣4（3m2+m），化简后分析是否大于等于0即可；
（2）解方程用含m的式子表示方程的根，再根据两个实数根一个大于2，另一个小于7列出不等式，然后求出解集即可；
（3）根据（2）中的解集得出m的最小整数值，代入抛物线中，得出点A、B、C的坐标，求出直线BC的解析式，然后求出x=时的y值，然后分析如何平移，可使平移后得到的抛物线顶点落在边AB或BC上，即可得解.
15．（2019九上·灵石期中）定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（i﹣4i）＝5﹣3i
（1）填空：i3＝ ，i4＝ ．
（2）填空：①（2+i）（2﹣i）＝ ； ②（2+i）2＝ ．
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知，（x+y）+3i＝1﹣（x﹣y）i，（x，y为实数），求x，y的值．
（4）试一试：请利用以前学习的有关知识将 化简成a+bi的形式．
（5）解方程：x2﹣2x+4＝0．
【答案】（1）﹣i；1
（2）5；3+4i
（3）解：根据复数相等的条件，得： ，
解得： ；
（4）解： = = = =i；
（5）解：x2﹣2x+4=0，
∵x2-2x=-4，
∴x2-2x+1=-4+1，即(x-1）2=-3，
则(x-1）2=3i2，
∴x-1=i或x-1=-i，
∴x=1+i或x=1-i.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】（1）解：i3=i2×i=－i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，故答案为：﹣i； 1；（2）解：①（2+i）（2－i）=4－i2=4+1=5；
②（2+i）2=i2+4i+4=﹣1+4i+4=3+4i；
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则、i2=﹣1计算即可；（2）利用平方差公式、完全平方公式把原式展开，根据i2=﹣1计算即可；（3）根据复数相等的条件解答即可；（4）充分利用i2=﹣1计算，分子分母同时乘以（1+i）即可；（5）将原方程配方成(x-1）2=-3，据此得出(x-1）2=3i2，再两边开平方计算可得。
16．（2023九上·防城期中）[探究与应用]
公式法是解一元二次方程常用的方法之一，应用比较广泛，能适用于解所有的一元二次方程．
[观察与分析]小张在解方程x2-6x= 7时，他的解答过程如下：
解：∵a=1， b=-6，c=7，(第一步)
∴△=b2-4ac=(-6)2-4×1×7=8> 0．(第二步)
∴方程有两个不相等的实数根
x== = (第三步)
∴x1=3+，x2=3-．(第四步)
[思考与应用]
（1）小张的解答过程是否正确？
（2）如果你认为正确，请你用另一种方法来解这个方程，看看得到的结果是否一致；
如果你认为不正确，请指出小张从第几步开始出错，并用小张的方法重新解方程．
【答案】（1）小张的解答过程不正确
（2）小张的解答过程从第一步开始出错了，
正确的解答过程如下：
解：原方程化为x2-6x-7=0
∴a=1， b=-6， c=- 7， ．
∴△=b2-4ac=(-6)2-4×1×(-7) = 64> 0，
∴方程有两个不相等的实数根
∴x= =3±4
∴x1=-1，x2=7
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）小张的解答过程不正确，其错误原因是方程没有化成一般式；
（2）根据解一元二次方程的公式法解方程即可．
17．（2020九上·东坡月考）已知：方程 x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0是关于x的一元二次方程，
（1）判断此方程根的情况，并说明理由；
（2）若a，b，c△ABC的三边，c=
5，且a，b是一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两根．
①k何值时，△ABC是等腰三角形，并求它的周长．
②k为何值时，△ABC是以c为斜边的直角三角形？
【答案】（1）解：因为Δ= 2-4(k2+3k+2) =1＞0
所以方程总有两个不相等的实数根
（2）解：方程的根为x1=k+1 ， x2=k+2
不妨设a=k+1 ， b=k+2，且 a≠b
①当a=c=5时，k+1=5， k=4，b=k+2=6
此时周长为5+5+6=16
当b=c=5时，k+2=5， k=3 a=k+1=4
此时周长为5+5+4=14
综上所述，k=3或4时，△ABC是等腰三角形，且△ABC的周长为14或16．
②由题意可知：a2+b2= c2
(k+1)2+ (k+2)2=25
k 1=2 k2=-5
当k=-5时，a=-4，b=-3，不合题意，舍去．
∴k=2时，△ABC是以c为斜边的直角三角形．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案；（2）①用k表示方程两根，根据等腰三角形的性质即可求出k的值．②用k表示方程两根，根据勾股定理逆定理即可求出答案；
18．（2021九上·梁山月考）如图，在菱形ABCD中，m、n、t分别是菱形ABCD的两条对角线长和边长，这时我们把关于x的形如“mx2+2 tx+n=0”的元二次方程称为“菱系一元二次方程”。请解决下列问题：
（1）填空：
①当m=6，n=8时，t=
②用含m，n的代数式表示t2值，t2=
（2）求证：关于x的“菱系一元二次方程” mx2+2 tx+n=0必有实数根：
（3）若x=-1是“菱系一元二次方程”mx2+2 tx+n=0的一个根，且菱形的面积是25，BE是菱形ABCD的AD边上的高，求BE的值。
【答案】（1）5； m2+ n2
（2）解：mx2+2 tx+n=0，这里，a=m，b=2 t，c=n，
∴△=（2 t）2-4mn=8t2-4mn，
∵t2= m2+ n2，∴△=2m2+2n2-4mn=2（m-n）2≥0．
∴关于x的“菱系一元二次方程”mx2+2 tx+n=0必有实数根
（3）解：∵x=-1是“菱系一元二次方程”mx2+2 tx+n=0的一个根，
∴m-2 t+n=0，
∴2 t=m+n，
∴8t2=m2+n2+2mn，
∵m2+n2=4t2
∴2t2=mn，
∵菱形面积是25，
∴ mn=25，
∴t2=25，t=5即AD=5，
∴BE=25÷5=5
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：（1）①当m=6、n=8时，AO=4，DO=3，
则AD= = =5，即t= 5；
②由题意知AO= AC= m，DO= BD= n
则AD= = =
∴t2= m2+ n2
【分析】（1）①根据菱形的性质得出AO=4，DO=3，根据勾股定理求出AD=5，即可得出t的值；
②根据菱形的性质得出AO=m，DO=n，根据勾股定理求出AD的长，即可得出t2的值；
（2）根据一元二次方程根的判别式得出△=2（m-n）2≥0，即可得出 “菱系一元二次方程” mx2+2 tx+n=0必有实数根：
（3）把x=-1代入一元二次方程得出 t=m+n，从而得出2t2=mn， 再根据菱形的面积等于25得出mn=25， 从而得出t2=25， 得出AD=5，再根据菱形的面积等于25即可求出BE的长.
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