【基础版】北师大版数学九上2.4用因式分解法解一元二次方程 同步练习
一、选择题
1．（2024九上·黔南期末）方程的解为（ ）
A． B．
C． D．
2．（广东省汕尾市陆河县新田中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）方程的根是（ ）
A．， B．
C．， D．
3．（2024九上·蓬溪期末）等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两个根，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定
4．（2023九上·小店月考）方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．（2023九上·织金期中）用因式分解法解一元二次方程时，原方程可化为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023九上·衡山期中）方程的解为（ ）
A． B．， C． D．，
7．（2023九上·浑源月考）我们解一元二次方程时，可以运用因式分解法将此方程化为．从而得到两个一元一次方程：或，进而得到原方程的解为，．这种解法体现的数学思想是（ ）
A．函数思想 B．数形结合思想
C．转化思想 D．公理化思想
8．（2021九上·平昌月考）若a、b、c是△ABC的三边，且a、b、c满足（a﹣b）（a﹣c）=0，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法判断
二、填空题
9．（2024九上·乐昌期末）已知三角形的两边长为1和2，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ．
10．（2022九上·顺庆期末）一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长为 .
11．（2023九上·吉林月考）一元二次方程x2﹣x＝0的解是 ．
12．（2018九上·渝中开学考）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12=0的一个根，则此三角形的周长是 .
13．（2023九上·邵东月考） 一元二次方程的根是 .
三、解答题
14．（2024九上·深圳期末）解下列方程：
（1）；
（2）.
15．（2023九上·二道期中）小慧用因式分解法解一元二次方程时，她的做法如下：
方程两边同时除以，得，第一步
系数化为，得第二步
（1）小慧的解法是不正确的，她从第 步开始出现了错误．
（2）请用小慧的方法完成这个题的解题过程．
16．（2023九上·廊坊期中） 如图1，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例如图2，即．
（1）当时，求的值；
（2）当时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】方程可变形为（x-2）（x+2）=0，
解得：，
故答案为：C.
【分析】利用因式分解法求解一元二次方程即可.
2．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
3．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：，
解得：或，
当等腰三角形的底边为2时，则三边分别为：2，4，4，
，，
2，4，4能构成三角形，
则这个等腰三角形的周长为：，
当等腰三角形的底边为4时，则三边分别为：2，2，4，
，
2，2，4不能构成三角形，
综上所述，则这个等腰三角形的周长为10，
故答案为：B
【分析】先运用因式分解法解方程，进而得到两个根，再根据等腰三角形的性质结合分类讨论，从而根据三角形三边关系即可求解。
4．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】
解：
(x+3)(x-1)=0
x+3=0或x-1=0
解得x1=-3，x2=1
故答案为B
【分析】本题考查解一元二次方程的方法：配方法，公式法，因式分解法，直接开平方法，熟悉解一元二次方程的方法，选择合适的方法是解题关键。
5．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由x(x 3)=x 3，
x(x 3) (x 3)=0，
(x 3）(x 1)=0，
故答案为：B.
【分析】根据解一元二次方程的方法——因式分解法求解。把方程右边的全部移到左边，提公因式即可。
6．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
或，
，．
故答案为：D．
【分析】根据因式分解法解一元二次方程。先移项，再提公因式得到，原方程可化为或，然后解一次方程．
7．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；数学思想
【解析】【解答】解：由题意可知这种解法是将一元二次方程转化为一元一次方程来求解，
所以这种解法体现的数学思想是转化思想，
故答案为：C.
【分析】利用因式分解法解方程判断求解即可。
8．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解： （a﹣b）（a﹣c）=0，
或者 ，
或者
△ABC是等腰三角形.
故答案为：A
【分析】先令每个因式等于0，得出 或者 ，则可判断△ABC是等腰三角形.
9．【答案】5
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
10．【答案】12
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由得到，
，
∴或，
∴，，
∵，
∴等腰三角形只能腰为5，底边为2，
∴该等腰三角形的周长为.
故答案为：12.
【分析】利用因式分解法求出方程的两根为2和5，进而根据三角形三边关系及等腰三角形的性质得出等腰三角形只能腰为5，底边为2，最后根据三角形周长的计算方法即可算出答案.
11．【答案】x1＝0，x2＝1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2﹣x＝0，
∴x（x-1）=0，
∴x1＝0，x2＝1，
故答案为：x1＝0，x2＝1.
【分析】利用一元二次方程因式分解法的计算方法分析求解即可.
12．【答案】14
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：解方程x2-7x+12=0得：x=3或4，
当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，3+3=6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行；
当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为4+4+6=14，
故答案为：14.
【分析】利用因式分解法求出方程的两个根为x=3与x=4，然后分当腰为3时，三角形的三边为3，3，6与当腰为4时，三角形的三边为4，4，6两种情况，根据三角形的三边关系判断能否围成三角形，对能围成三角形的利用周长的计算方法算出答案。
13．【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
解得：，，
故答案为：，.
【分析】利用因式分解法的计算方法求解一元二次方程即可。
14．【答案】（1）解：
∴或
∴，
（2）解：
∴或
∴，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先将右侧的项都移到方程的左边，再利用化简为（x-3）(-3x-3)=0，即可求解；
（2）利用因式分解法可得(x+9)(x-1)=0，即可求解.
15．【答案】（1）一
（2）解：正确解法为：先移项，然后利用因式分解法解方程；
，
，
，
或，
所以，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）∵2x-1可能为0，
∴方程两边不能同时除以（2x-1），
∴第一步不正确，
故答案为：一。
【分析】利用因式分解法的计算方法和步骤求解一元二次方程即可。
16．【答案】（1）解：，
当时，，
∴，
∴；
（2）解：依题意，，
当时，，
∴，
∴，
解得：．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【分析】（1）将m=0代入可得，再利用因式分解法求解即可；
（2）将y=-6代入可得，再利用十字相乘法求解即可.
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一、选择题
1．（2024九上·黔南期末）方程的解为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】方程可变形为（x-2）（x+2）=0，
解得：，
故答案为：C.
【分析】利用因式分解法求解一元二次方程即可.
2．（广东省汕尾市陆河县新田中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）方程的根是（ ）
A．， B．
C．， D．
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
3．（2024九上·蓬溪期末）等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两个根，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：，
解得：或，
当等腰三角形的底边为2时，则三边分别为：2，4，4，
，，
2，4，4能构成三角形，
则这个等腰三角形的周长为：，
当等腰三角形的底边为4时，则三边分别为：2，2，4，
，
2，2，4不能构成三角形，
综上所述，则这个等腰三角形的周长为10，
故答案为：B
【分析】先运用因式分解法解方程，进而得到两个根，再根据等腰三角形的性质结合分类讨论，从而根据三角形三边关系即可求解。
4．（2023九上·小店月考）方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】
解：
(x+3)(x-1)=0
x+3=0或x-1=0
解得x1=-3，x2=1
故答案为B
【分析】本题考查解一元二次方程的方法：配方法，公式法，因式分解法，直接开平方法，熟悉解一元二次方程的方法，选择合适的方法是解题关键。
5．（2023九上·织金期中）用因式分解法解一元二次方程时，原方程可化为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由x(x 3)=x 3，
x(x 3) (x 3)=0，
(x 3）(x 1)=0，
故答案为：B.
【分析】根据解一元二次方程的方法——因式分解法求解。把方程右边的全部移到左边，提公因式即可。
6．（2023九上·衡山期中）方程的解为（ ）
A． B．， C． D．，
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
或，
，．
故答案为：D．
【分析】根据因式分解法解一元二次方程。先移项，再提公因式得到，原方程可化为或，然后解一次方程．
7．（2023九上·浑源月考）我们解一元二次方程时，可以运用因式分解法将此方程化为．从而得到两个一元一次方程：或，进而得到原方程的解为，．这种解法体现的数学思想是（ ）
A．函数思想 B．数形结合思想
C．转化思想 D．公理化思想
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；数学思想
【解析】【解答】解：由题意可知这种解法是将一元二次方程转化为一元一次方程来求解，
所以这种解法体现的数学思想是转化思想，
故答案为：C.
【分析】利用因式分解法解方程判断求解即可。
8．（2021九上·平昌月考）若a、b、c是△ABC的三边，且a、b、c满足（a﹣b）（a﹣c）=0，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法判断
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解： （a﹣b）（a﹣c）=0，
或者 ，
或者
△ABC是等腰三角形.
故答案为：A
【分析】先令每个因式等于0，得出 或者 ，则可判断△ABC是等腰三角形.
二、填空题
9．（2024九上·乐昌期末）已知三角形的两边长为1和2，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ．
【答案】5
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
10．（2022九上·顺庆期末）一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长为 .
【答案】12
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由得到，
，
∴或，
∴，，
∵，
∴等腰三角形只能腰为5，底边为2，
∴该等腰三角形的周长为.
故答案为：12.
【分析】利用因式分解法求出方程的两根为2和5，进而根据三角形三边关系及等腰三角形的性质得出等腰三角形只能腰为5，底边为2，最后根据三角形周长的计算方法即可算出答案.
11．（2023九上·吉林月考）一元二次方程x2﹣x＝0的解是 ．
【答案】x1＝0，x2＝1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2﹣x＝0，
∴x（x-1）=0，
∴x1＝0，x2＝1，
故答案为：x1＝0，x2＝1.
【分析】利用一元二次方程因式分解法的计算方法分析求解即可.
12．（2018九上·渝中开学考）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12=0的一个根，则此三角形的周长是 .
【答案】14
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：解方程x2-7x+12=0得：x=3或4，
当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，3+3=6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行；
当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为4+4+6=14，
故答案为：14.
【分析】利用因式分解法求出方程的两个根为x=3与x=4，然后分当腰为3时，三角形的三边为3，3，6与当腰为4时，三角形的三边为4，4，6两种情况，根据三角形的三边关系判断能否围成三角形，对能围成三角形的利用周长的计算方法算出答案。
13．（2023九上·邵东月考） 一元二次方程的根是 .
【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
解得：，，
故答案为：，.
【分析】利用因式分解法的计算方法求解一元二次方程即可。
三、解答题
14．（2024九上·深圳期末）解下列方程：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：
∴或
∴，
（2）解：
∴或
∴，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先将右侧的项都移到方程的左边，再利用化简为（x-3）(-3x-3)=0，即可求解；
（2）利用因式分解法可得(x+9)(x-1)=0，即可求解.
15．（2023九上·二道期中）小慧用因式分解法解一元二次方程时，她的做法如下：
方程两边同时除以，得，第一步
系数化为，得第二步
（1）小慧的解法是不正确的，她从第 步开始出现了错误．
（2）请用小慧的方法完成这个题的解题过程．
【答案】（1）一
（2）解：正确解法为：先移项，然后利用因式分解法解方程；
，
，
，
或，
所以，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）∵2x-1可能为0，
∴方程两边不能同时除以（2x-1），
∴第一步不正确，
故答案为：一。
【分析】利用因式分解法的计算方法和步骤求解一元二次方程即可。
16．（2023九上·廊坊期中） 如图1，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例如图2，即．
（1）当时，求的值；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）解：，
当时，，
∴，
∴；
（2）解：依题意，，
当时，，
∴，
∴，
解得：．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【分析】（1）将m=0代入可得，再利用因式分解法求解即可；
（2）将y=-6代入可得，再利用十字相乘法求解即可.
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