【提升版】北师大版数学九上2.4用因式分解法解一元二次方程 同步练习
一、选择题
1．（2024·赤峰）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为( )
A．或 B．或 C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：
（x-3）(x-7)=0，
解得x1=3 x2=7，
当等腰三角形的三边长是3，3，7时，
由3+3＜7， 则不符合三角形三边关系，故舍去；
当等腰三角形的三边长是3，7，7时，这个三角形的周长为3+7+7=17.
故答案为：C .
【分析】解方程求出x值，利用等腰三角形的性质分两种情况，再利用三角形的三边关系确定三边，继而求解.
2．（2024八下·安庆期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
3．（2024九下·榆次模拟）关于x的方程，下列解法完全正确的是（ ）
甲 乙 丙 丁
两边同时除 以得 整理得 ∵，， ， ∴， ∴， ∴， 整理得， 配方得 ， ∴， ∴， ∴， 移项得 ， ∴， ∴或， ∴，
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
4．（2023·临安模拟）方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：将方程转化为（x-2）2-2x（x-2）=0，
∴（x-2）（x-2-2x）=0
x-2=0或-x-2=0，
解之：x1=2，x2=-2.
故答案为：B
【分析】观察方程特点：方程两边含有公因式（x-2），因此利用因式分解法解方程.
5．（2024八下·合肥期中）关于x的方程，则的值是（ ）
A． B．1 C．或1 D．3或
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
6．（2024九下·泗阳模拟）若使分式的值为0，则a的值为（ ）
A．或1 B．或 C． D．或
【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件；因式分解法解一元二次方程
7．（2024·揭东模拟）关于的一元二次方程的解为( )
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∴（x-1）(x-3)=0
∴x-1=0或x-3=0
解得：，
故答案为：C.
【分析】对方程左边因式分解，利用因式分解法解方程即可.
8．已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程(x-6)(x-10)=0的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．24或2 B．24 C．2 D．8或24
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：∵(x-6)(x-10)=0，
∴x-6=0或x-10=0
解之：x1=6，x2=10，
当x=6时，三角形的两边长分别是8和6，
∴此三角形是等腰三角形，
底边上的高为，
∴此时三角形的面积为；
x=10时，
∵62+82=102，
∴此时的三角形是直角三角形，
此三角形的面积为，
∴此三角形的面积为 8或24 .
故答案为：D.
【分析】先求出方程的解。再分情况讨论：当x=6时，三角形的两边长分别是8和6，利用勾股定理求出底边上的高，再利用三角形的面积公式求出此时的三角形的面积；x=10时，利用勾股定理的逆定理可证得三角形是直角三角形，再利用直角三角形的面积公式可求出此时的三角形的面积.
二、填空题
9．（2024八下·吴江期末）方程的根是 ．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
10．（2020九上·铁锋期末）三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程 的一个实数根，则该三角形的面积是 ．
【答案】24或
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】由x2-16x+60=0，可解得x的值为6或10，然后分别从x=6时，是等腰三角形；与x=10时，是直角三角形去分析求解即可求得答案．
【分析】利用因式分解法求出x2-16x+60=0的根为6或10，从而可得第三边长为6或10，分别解答即可.
11．（2024八下·广安期末）已知方程的两根恰好是的两条边的长，则的第三边长为 ．
【答案】4或
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：，
（x-4）（x-3）=0，
∴x-4=0，x-3=0，
∴x1=4，x2=3，
∴Rt△ABC的两条边的长分别为3和4，
由题意可分两种情况：
当3和4都是直角边时，第三边==5；
当4为斜边时，第三边==；
∴第三边长是5或．
故答案为：5或．
【分析】由题意解方程，可得直角三角形的两边，根据题意分两种情况：当3和4都是直角边时；当4为斜边时，然后用勾股定理即可求解．
12．（2024八下·崇左期末）当= 时，代数式与的值是互为相反数．
【答案】或3
【知识点】因式分解法解一元二次方程；相反数的意义与性质
13．（2024八下·亭湖月考）已知是一元二次方程的一个解，则代数式的值为 ．
【答案】13
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵是一元二次方程的一个解，
∴
∴
故答案为：．
【分析】本题可运用整体带入，先根据一元二次方程解析式得到，再整体代入计算即可.
三、解答题
14．（2024八下·深圳期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“邻2根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻2根方程”．
（1）通过计算，判断方程是否是“邻2根方程”；
（2）已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“邻2根方程”，求m的值．
【答案】（1）该方程不是“邻2根方程”
（2）或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
四、实践探究题
15．（2024八下·临平月考）【综合与实践习】
【问题情境】课堂上，老师让同学们复习一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的多种解法，在讨论这些解法之间的关系时，小组同学发言如下：
（1）【操作判断】小彬：分解因式法可以解特殊结构的一元二次方程，基本思路是通过分解因式将方程变形为（x一m）（x一n）=0的形式，这样就可以将原方程化为两个一元一次方程x-m=0或 ，进而得到原方程的根为x1=m，x2= 。
（2）【实践探究】小文：分解因式法虽好，但是有些方程用这个方法不太方便，比如，这个方程利用公式法或者配方法可得：，但我们能反过来利用这两个解帮助我们对进行因式分解得到，请你利用这个方法对进行因式分解.
（3）【问题解决】小枪：从特殊到一般，是否所有的代数式都能进行因式分解呢？请说明能进行因式分解的代数式中的a，b，c要满足什么条件，因式分解的结果是什么？
【答案】（1）x-n＝0；n
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）当有实数根时，，
此时的根为：，
∴当时，代数式（）都能进行因式分解，
∴．
【知识点】因式分解的概念；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴或，
∴，；
故答案为：；
【分析】（1）根据两式之积为0，则其中一个因式为0，可得答案；
（2）先用配方法求出的两个根，再进行因式分解即可；
（3）根据判别式的意义可知，时，代数式（）能进行因式分解，然后利用公式法求出一元二次方程的解，可得因式分解的结果．
16．（2024九上·黔南期末）阅读材料：
解方程：．我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为①，解得．
当时，．
当时，．
原方程的解为．
根据上面的解答，解决下面的问题：
（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到降次的目的，体现了 的数学思想；
（2）解方程；．
【答案】（1）换元；转化
（2）解：令，则原方程化为，解得．
当时，该方程无解；
当时，．
综上，该方程的解为．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程；数学思想
【解析】【解答】（1）根据题意可得：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了换元的数学思想，
故答案为：换元，换元.
【分析】（1）利用换元法的方法及作用分析求解即可；
（2）令，则原方程化为，再求解即可.
17．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册第2章一元二次方程 单元检测a卷）阅读材料：若 ，求m、n的值.
解： ，
，
，
.
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知 ，求 的值.
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足 ，求边c的最大值.
（3）若已知 ，求 的值
【答案】（1）解：∵x2+2xy+2y2+2y+1=0
∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0
∴（x+y）2+（y+1）2=0
∴x+y=0y+1=0
解得：x=1，y=﹣1
∴x﹣y=2
（2）解：∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0
∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=0
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2=0
∴a﹣3=0，b﹣4=0
解得：a=3，b=4
∵三角形两边之和＞第三边
∴c＜a+b，c＜3+4，∴c＜7．又∵c是正整数，∴△ABC的最大边c的值为4，5，6，∴c的最大值为6；
（3）解：∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，
整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，
∴b+2=0，且c﹣3=0，
即b=﹣2，c=3，a=2，
则a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7
【知识点】因式分解的应用；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】 （1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x-y的值。
（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长。
（3）由a-b=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出a-b+c的值。
18．（2018九上·唐河期末）
（1）解方程：2x2+x﹣6=0；
（2）阅读理解：为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1=y，则原方程化为y2﹣5y+4=0，解此方程得：y1=1，y2=4．当y=1时，x2﹣1=1，x=± ；当y=4时，x2﹣1=4，∴x=±
∴原方程的解为：x1= ，x2=﹣ ，x2= ，x1=﹣
以上方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想．
运用上述方法解方程：x4﹣8x2+12=0．
【答案】（1）解： 2x2+x﹣6=0
∴（2x-3）（x+2）=0
∴2x-3=0或x+2=0
解之： x1= ，x2=﹣2
（2）解：设y=x2，在原方程转化为y2﹣8y+12=0，得：（y﹣2）（y﹣6）=0，解得：y=2或y=6，则x2=2或x2=6，故x1= ，x2=﹣ ，x3= ，x4=﹣
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）观察方程的特点：右边为0，左边可以分解因式，可以利用因式分解法解方程或利用公式法解方程。
（2）根据阅读材料，可以将x2看着整体，利用换元法解此方程，设y=x2， 因此原方程可转化为y2﹣8y+12=0，利用因式分解法求出y的值，再求出x的值。
19．（2020九上·柳州期中）知识经验
我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0.
即：如果 ，那么 或
知识迁移
Ⅰ.解方程：
解： ，
或 ，
∴ 或 .
Ⅱ.解方程： ，
解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 .
（1）【理解应用】
解方程：
（2）【拓展应用】
如图，有一块长宽分别为80 ，60 的矩形硬纸板，在它的四个角上分别剪去四个相同的小正方形，然后将四周突出的部分折起来，就可以做成底面积为1500 的无盖的长方体盒子，求所剪去的小正方形的边长.
【答案】（1）解：x2-10x-39=0，
∴x2-2×5x+52-52-39=0，
∴ (x-5)2-64=0，
∴ (x-5)2-82=0，
∴(x-5+8)(x-5-8)=0，
∴(x+3)(x-13)=0，
∴x+3=0或x-13=0，
∴ 或
（2）解：设所剪去的小正方形的边长为xcm.根据题意，得
(80-2x)(60-2x)=1500，
化简，得x2-70x+825=0，
解这个方程，得
x1=15，或x2=55.
当x=55时，80-2×55=-30＜0.
∴x2=55舍去，只取x=15.
答：所剪去的小正方形的边长为15cm.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）用因式分解法并结合资料即可求解；
（2）设小正方形边长为xcm，则长方体盒子底面的长宽均可用含x的代数式表示，从而这个长方体盒子的底面的长是（80 2x）cm，宽是（60 2x）cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，列出方程求解即可．
1 / 1【提升版】北师大版数学九上2.4用因式分解法解一元二次方程 同步练习
一、选择题
1．（2024·赤峰）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为( )
A．或 B．或 C． D．
2．（2024八下·安庆期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．或
3．（2024九下·榆次模拟）关于x的方程，下列解法完全正确的是（ ）
甲 乙 丙 丁
两边同时除 以得 整理得 ∵，， ， ∴， ∴， ∴， 整理得， 配方得 ， ∴， ∴， ∴， 移项得 ， ∴， ∴或， ∴，
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（2023·临安模拟）方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．（2024八下·合肥期中）关于x的方程，则的值是（ ）
A． B．1 C．或1 D．3或
6．（2024九下·泗阳模拟）若使分式的值为0，则a的值为（ ）
A．或1 B．或 C． D．或
7．（2024·揭东模拟）关于的一元二次方程的解为( )
A．， B．，
C．， D．，
8．已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程(x-6)(x-10)=0的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．24或2 B．24 C．2 D．8或24
二、填空题
9．（2024八下·吴江期末）方程的根是 ．
10．（2020九上·铁锋期末）三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程 的一个实数根，则该三角形的面积是 ．
11．（2024八下·广安期末）已知方程的两根恰好是的两条边的长，则的第三边长为 ．
12．（2024八下·崇左期末）当= 时，代数式与的值是互为相反数．
13．（2024八下·亭湖月考）已知是一元二次方程的一个解，则代数式的值为 ．
三、解答题
14．（2024八下·深圳期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“邻2根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻2根方程”．
（1）通过计算，判断方程是否是“邻2根方程”；
（2）已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“邻2根方程”，求m的值．
四、实践探究题
15．（2024八下·临平月考）【综合与实践习】
【问题情境】课堂上，老师让同学们复习一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的多种解法，在讨论这些解法之间的关系时，小组同学发言如下：
（1）【操作判断】小彬：分解因式法可以解特殊结构的一元二次方程，基本思路是通过分解因式将方程变形为（x一m）（x一n）=0的形式，这样就可以将原方程化为两个一元一次方程x-m=0或 ，进而得到原方程的根为x1=m，x2= 。
（2）【实践探究】小文：分解因式法虽好，但是有些方程用这个方法不太方便，比如，这个方程利用公式法或者配方法可得：，但我们能反过来利用这两个解帮助我们对进行因式分解得到，请你利用这个方法对进行因式分解.
（3）【问题解决】小枪：从特殊到一般，是否所有的代数式都能进行因式分解呢？请说明能进行因式分解的代数式中的a，b，c要满足什么条件，因式分解的结果是什么？
16．（2024九上·黔南期末）阅读材料：
解方程：．我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为①，解得．
当时，．
当时，．
原方程的解为．
根据上面的解答，解决下面的问题：
（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到降次的目的，体现了 的数学思想；
（2）解方程；．
17．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册第2章一元二次方程 单元检测a卷）阅读材料：若 ，求m、n的值.
解： ，
，
，
.
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知 ，求 的值.
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足 ，求边c的最大值.
（3）若已知 ，求 的值
18．（2018九上·唐河期末）
（1）解方程：2x2+x﹣6=0；
（2）阅读理解：为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1=y，则原方程化为y2﹣5y+4=0，解此方程得：y1=1，y2=4．当y=1时，x2﹣1=1，x=± ；当y=4时，x2﹣1=4，∴x=±
∴原方程的解为：x1= ，x2=﹣ ，x2= ，x1=﹣
以上方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想．
运用上述方法解方程：x4﹣8x2+12=0．
19．（2020九上·柳州期中）知识经验
我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0.
即：如果 ，那么 或
知识迁移
Ⅰ.解方程：
解： ，
或 ，
∴ 或 .
Ⅱ.解方程： ，
解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 .
（1）【理解应用】
解方程：
（2）【拓展应用】
如图，有一块长宽分别为80 ，60 的矩形硬纸板，在它的四个角上分别剪去四个相同的小正方形，然后将四周突出的部分折起来，就可以做成底面积为1500 的无盖的长方体盒子，求所剪去的小正方形的边长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：
（x-3）(x-7)=0，
解得x1=3 x2=7，
当等腰三角形的三边长是3，3，7时，
由3+3＜7， 则不符合三角形三边关系，故舍去；
当等腰三角形的三边长是3，7，7时，这个三角形的周长为3+7+7=17.
故答案为：C .
【分析】解方程求出x值，利用等腰三角形的性质分两种情况，再利用三角形的三边关系确定三边，继而求解.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
3．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
4．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：将方程转化为（x-2）2-2x（x-2）=0，
∴（x-2）（x-2-2x）=0
x-2=0或-x-2=0，
解之：x1=2，x2=-2.
故答案为：B
【分析】观察方程特点：方程两边含有公因式（x-2），因此利用因式分解法解方程.
5．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
6．【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件；因式分解法解一元二次方程
7．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∴（x-1）(x-3)=0
∴x-1=0或x-3=0
解得：，
故答案为：C.
【分析】对方程左边因式分解，利用因式分解法解方程即可.
8．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：∵(x-6)(x-10)=0，
∴x-6=0或x-10=0
解之：x1=6，x2=10，
当x=6时，三角形的两边长分别是8和6，
∴此三角形是等腰三角形，
底边上的高为，
∴此时三角形的面积为；
x=10时，
∵62+82=102，
∴此时的三角形是直角三角形，
此三角形的面积为，
∴此三角形的面积为 8或24 .
故答案为：D.
【分析】先求出方程的解。再分情况讨论：当x=6时，三角形的两边长分别是8和6，利用勾股定理求出底边上的高，再利用三角形的面积公式求出此时的三角形的面积；x=10时，利用勾股定理的逆定理可证得三角形是直角三角形，再利用直角三角形的面积公式可求出此时的三角形的面积.
9．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
10．【答案】24或
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】由x2-16x+60=0，可解得x的值为6或10，然后分别从x=6时，是等腰三角形；与x=10时，是直角三角形去分析求解即可求得答案．
【分析】利用因式分解法求出x2-16x+60=0的根为6或10，从而可得第三边长为6或10，分别解答即可.
11．【答案】4或
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：，
（x-4）（x-3）=0，
∴x-4=0，x-3=0，
∴x1=4，x2=3，
∴Rt△ABC的两条边的长分别为3和4，
由题意可分两种情况：
当3和4都是直角边时，第三边==5；
当4为斜边时，第三边==；
∴第三边长是5或．
故答案为：5或．
【分析】由题意解方程，可得直角三角形的两边，根据题意分两种情况：当3和4都是直角边时；当4为斜边时，然后用勾股定理即可求解．
12．【答案】或3
【知识点】因式分解法解一元二次方程；相反数的意义与性质
13．【答案】13
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵是一元二次方程的一个解，
∴
∴
故答案为：．
【分析】本题可运用整体带入，先根据一元二次方程解析式得到，再整体代入计算即可.
14．【答案】（1）该方程不是“邻2根方程”
（2）或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
15．【答案】（1）x-n＝0；n
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）当有实数根时，，
此时的根为：，
∴当时，代数式（）都能进行因式分解，
∴．
【知识点】因式分解的概念；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴或，
∴，；
故答案为：；
【分析】（1）根据两式之积为0，则其中一个因式为0，可得答案；
（2）先用配方法求出的两个根，再进行因式分解即可；
（3）根据判别式的意义可知，时，代数式（）能进行因式分解，然后利用公式法求出一元二次方程的解，可得因式分解的结果．
16．【答案】（1）换元；转化
（2）解：令，则原方程化为，解得．
当时，该方程无解；
当时，．
综上，该方程的解为．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程；数学思想
【解析】【解答】（1）根据题意可得：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了换元的数学思想，
故答案为：换元，换元.
【分析】（1）利用换元法的方法及作用分析求解即可；
（2）令，则原方程化为，再求解即可.
17．【答案】（1）解：∵x2+2xy+2y2+2y+1=0
∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0
∴（x+y）2+（y+1）2=0
∴x+y=0y+1=0
解得：x=1，y=﹣1
∴x﹣y=2
（2）解：∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0
∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=0
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2=0
∴a﹣3=0，b﹣4=0
解得：a=3，b=4
∵三角形两边之和＞第三边
∴c＜a+b，c＜3+4，∴c＜7．又∵c是正整数，∴△ABC的最大边c的值为4，5，6，∴c的最大值为6；
（3）解：∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，
整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，
∴b+2=0，且c﹣3=0，
即b=﹣2，c=3，a=2，
则a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7
【知识点】因式分解的应用；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】 （1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x-y的值。
（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长。
（3）由a-b=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出a-b+c的值。
18．【答案】（1）解： 2x2+x﹣6=0
∴（2x-3）（x+2）=0
∴2x-3=0或x+2=0
解之： x1= ，x2=﹣2
（2）解：设y=x2，在原方程转化为y2﹣8y+12=0，得：（y﹣2）（y﹣6）=0，解得：y=2或y=6，则x2=2或x2=6，故x1= ，x2=﹣ ，x3= ，x4=﹣
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）观察方程的特点：右边为0，左边可以分解因式，可以利用因式分解法解方程或利用公式法解方程。
（2）根据阅读材料，可以将x2看着整体，利用换元法解此方程，设y=x2， 因此原方程可转化为y2﹣8y+12=0，利用因式分解法求出y的值，再求出x的值。
19．【答案】（1）解：x2-10x-39=0，
∴x2-2×5x+52-52-39=0，
∴ (x-5)2-64=0，
∴ (x-5)2-82=0，
∴(x-5+8)(x-5-8)=0，
∴(x+3)(x-13)=0，
∴x+3=0或x-13=0，
∴ 或
（2）解：设所剪去的小正方形的边长为xcm.根据题意，得
(80-2x)(60-2x)=1500，
化简，得x2-70x+825=0，
解这个方程，得
x1=15，或x2=55.
当x=55时，80-2×55=-30＜0.
∴x2=55舍去，只取x=15.
答：所剪去的小正方形的边长为15cm.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）用因式分解法并结合资料即可求解；
（2）设小正方形边长为xcm，则长方体盒子底面的长宽均可用含x的代数式表示，从而这个长方体盒子的底面的长是（80 2x）cm，宽是（60 2x）cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，列出方程求解即可．
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