【培优版】北师大版数学九上2.4用因式分解法解一元二次方程 同步练习
一、选择题
1．（2021九上·鲁甸期中）已知三角形的两边长为2和5，第三边满足方程，则三角形的周长为（ ）
A．10 B．11 C．10或11 D．以上都不对
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】∵，
解得
∴三角形三边长可能的情况为：
①2，5，3，∵2+3=5，∴2，3，5不能构成三角形
②2，5，4，∵2+4>5，∴2，4，5能构成三角形
∴三角形的周长为2+4+5=11
故答案为：B
【分析】根据题意先求出，再利用三角形的三边关系计算求解即可。
2．（2023九上·平定期中）一元二次方程的解是（ ）
A． B．
C．， D．无实数解
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
（x+1)(2x-3）=0，
x1=-1，x2=.
故答案为：C。
【分析】解方程求得方程的解，即可得出答案。
3．（2021九上·澄海期末）已知直角三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+20＝0的两个根，则此三角形的第三边是（ ）
A．4或5 B．3 C． D．3或
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：解方程得，，
当两直角边分别为4和5，则第三边的长，
当斜边为5，第三边的长，
所以此三角形的第三边长为3或．
故答案为：D．
【分析】先求出，，再分类讨论，利用勾股定理计算求解即可。
4．（2019九上·平定月考）若三角形三边的长均能使代数式 的值为零，则此三角形的周长是（ ）
A．9或18 B．12或15 C．9或15或18 D．9或12或15
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】x2 9x+18=0
(x 3)(x 6)=0，
x 3=0或x 6=0.
∴x1=3，x2=6，
所以三角形三边的长可以是：3，3，3或6，6，3或6，6，6.
周长是9或15或18.
故答案为：C.
【分析】用因式分解法可以得到方程的两个根分别是3和6，所以三角形的三边可以是：3，3，3或6，6，6或6，6，3．然后求出三角形的周长．
5．（2023九上·织金期中）关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．0 B．8 C． D．0或8
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2+(m 2)x+m+1=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即(m 2)2 4×1×(m+1)=0，
整理，得m2 8m=0，
解得m1=0，m2=8．
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根的判别式、因式分解法解一元二次方程求解。
6．（2020九上·海珠期中）已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2-5x+6=0的一个根，则这个三角形的周长是（ ）
A．11 B．12 C．11或12 D．15
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】x2-5x+6=0，解得x1=2，x2=3，所以三角形周长是4+5+2=11，4+5+3=12，
故答案为：C.
【分析】利用因式分解法解方程可得x1=2，x2=3，再求三角形的周长即可。
7．（2023九上·丘北期中）若a、b是菱形ABCD的两条对角线的长，且a、b是一元二次方程x2-14x+48＝0的两个根，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．4 B．5 C． D．10
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：x2-14x+48＝0
（x-8）（x-6）=0
x=8或x=6
由勾股定理：边长=
故答案为：B
【分析】先求出一元二次方程的解，再因对角线把菱形分成四个边长相等的直角三角形，根据勾股定理即可求出边长。
8．（2023九上·衡阳月考）已知点在第一象限角平分线上，则m的值为（ ）
A．6 B． C．2或3 D．或6
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解： ∵点在第一象限角平分线上，
∴，
解得：，
当m=6时，A（34，34），在第一象限；
当m=-1时，A（-1，-1），在第三象限，不符合题意，舍去；
故答案为：A。
【分析】点P（a，b）第一、三象限的角平分线上，有a=b；点P（a，b）第二、四象限的角平分线上，有a+b=0.
二、填空题
9．（2023九上·武侯月考）已知关于的方程．若等腰三角形的一边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长 ．
【答案】16或22
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；三角形三边关系；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：，，，
无论取什么实数值，，
△，
即无论取什么实数值，方程总有实数根；
解方程，
因式分解得，
解得，，
，恰好是这个方程的两个实数根，设，，
当、为腰，则，而，，所以三角形的周长为：；
当、为腰，则，解得，
，因为6，2，2不构成三角形，所以这种情况不成立；
当、为腰 则，
，
三角形的周长为：．
综上，三角形的周长为16或22．
故答案为：16或22．
【分析】先根据一元二次方程根的判别式得到无论取什么实数值，方程总有实数根，进而因式分解解一元二次方程即可得到，，进而根据等腰三角形的判定与性质结合三角形的关系进行分类讨论即可求解。
10．（2023九上·前郭尔罗斯期中）一个三角形的两边长分别为2和3，第三边的长是方程的根，则该三角形的第三边的长为 ．
【答案】3
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵，
∴（x-3）（x-7）=0，
解得：x1=3，x2=7，
∵三角形的两边长分别为2和3，
∴第三条边的取值范围为1<第三边<5，
∴第三条边的长为3，
故答案为：3.
【分析】先求出方程的解，再利用三角形三边的关系分析求解即可.
11．（2019九上·赵县期中）对于实数 ，我们用符号 表示 两数中较小的数，如 .因此， ；若 ，则 ．
【答案】；2或-1
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】①∵－ － ，
∴min{－ ，－ }=－ ；
②∵min{(x 1)2，x2}=1，
∴当x>0.5时，(x 1)2=1，
∴x 1=±1，
∴x 1=1，x 1= 1，
解得：x1=2，x2=0(不合题意，舍去)，
当x 0.5时，x2=1，
解得：x1=1(不合题意，舍去)，x2= 1，
【分析】通过比较 2与 3的大小填空；通过先比较（x 1）与2x的大小，然后根据新定义运算法则得到方程并解答即可.
12．（2022九上·连云月考）若，则的值为 ．
【答案】-1
【知识点】零指数幂；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴（x-3）（x-1）≠0，解得：x≠3，x≠1，
∵，
∴原方程整理为：
（x-3）（x+1）=0，
（舍），，
故答案为：-1.
【分析】利用任何不等于0的数的零次幂都为1，可得到x2-4x+3≠0，可求出x≠3，x≠1；同时可得到x2-2x-3=0，利用因式分解法解方程求出x的值，即可得到符合题意的x的值.
13．（2022九上·连云月考）若关于x一元二次方程的常数项为0，则m的值等于 ．
【答案】-1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得，
，
解得m=-1．
故答案为：-1．
【分析】此方程是一元二次方程的一般形式，直接找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，根据定义可知m+2≠0，再根据常数项为0，可得到关于m的方程，再求出方程的解和不等式的解集，可得到符合题意的m的值.
三、解答题
14．（2023九上·晋江开学考）如果一元二次方程的两根相差，那么该方程称为“差方程”例如是“差方程”．
（1）判断下列方程是不是“差方程”，”并说明由：
①；
②；
（2）已知关于的方程是常数是“差方程”，求的值；
（3）若关于的方程是常数，是“差方程”，设，求的最大值．
【答案】（1）解：解方程，
，
或，
解得或，
，
不是“差方程“；
解方程，
，
．
，
是“差方程“；
（2）解：解方程是常数得：
，
或，
方程是常数是“差方程“，
或，
或；
（3）解：由题可得：，
解方程得，
关于的方程是常数，是“差方程”，
，
，
，
，
，
时，的最大值为．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）①利用因式分解法求出方程的解，再利用差1方程的定义，可作出判断；②利用公式法求出方程的两个根，再根据差1方程的定义，可作出判断.
（2）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据差1方程的定义，分情况可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
（3）利用求根公式法求出方程的两个根，再根据差1方程的定义，可得到a，b的关系式，再结合已知条件可得到t=-（a-3）2+9，由此可得到t的最大值.
15．（2022九上·道县期中）阅读下面的材料，并完成相应的任务．
材料：解含绝对值的方程：．
解：分两种情况：
（ 1 ）当时，原方程可化为：，解得，（舍去）；
（ 2 ）当时，原方程可化为：，解得，（舍去）．
综上所述：原方程的解是，．任务：请参照上述方法解方程：．
【答案】解：分两种情况讨论：
（1）当时，原方程可化为
解得：，（舍去）；
（2）当时，原方程可化为
解得：，（舍去）；
∴综上所述，原方程的根是，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】参考题干阅读材料提供的方法分当x≥0时与 x＜0时两种情况，分别化简绝对值，进而根据因式分解法求出分别求出方程的解，再检验即可得出答案.
16．（2018九上·河南期中）已知关于x的一元二次方程 。
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5。当△ABC是等腰三角形时，求k的值。
【答案】（1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根
（2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x= ，即x1=k，x2=k+1， ∵k＜k+1， ∴AB≠AC． 当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5； 当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4， 所以k的值为5或4．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）由题意可知，去证明b2-4ac＞0即可解决问题。
（2）利用公式法求出方程的解，再利用等腰三角形的判断及第三边BC的长为5，分情况讨论，分别求出k的值即可。
17．（2019九上·官渡月考）关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根.
（1）求 的取值范围；
（2）当 取满足条件的最大整数时，求方程的根.
【答案】（1）解： 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
且 .
解得 且 .
的取值范围是 且
（2）解：在 且 的范围内，最大整数为 .
此时，方程化为 .
解得 ， .
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得△=b2-4ac=0且m-2≠0，据此求出m的范围即可；
（2）根据（1）结论求出m=5,然后代入方程，解出方程即可.
18．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.2 一元二次方程的解法（4） 同步练习）已知a、b、c是△ABC的三条边长，若x=﹣1为关于x的一元二次方程（c﹣b）x2﹣2（b﹣a）x+（a﹣b）=0的根．
（1）△ABC是等腰三角形吗？△ABC是等边三角形吗？请写出你的结论并证明；
（2）若代数式子 有意义，且b为方程y2﹣8y+15=0的根，求△ABC的周长．
【答案】（1）解：△ABC是等腰三角形，△ABC不是等边三角形；理由如下：∵x=﹣1为方程（c﹣b）x2﹣2（b﹣a）x+（a﹣b）=0的根，∴（c﹣b）+2（b﹣a）+（a﹣b）=0，
∴c=a，
∵a、b、c是△ABC的三条边长
∴△ABC为等腰三角形，
∵c﹣b≠0，
∴c≠b，
∴△ABC不是等边三角形
（2）解：依题意，得 ，
∴a=2，
∴c=a=2，
解方程y2﹣8y+15=0得y1=3，y2=5；
∵b为方程y2﹣8y+15=0的根，且b＜a+c，
∴b的值为3，
∴△ABC的周长为7
【知识点】二次根式有意义的条件；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将x=-1代入方程得出（c﹣b）+2（b﹣a）+（a﹣b）=0，可得出a=c，根据一元二次方程的定义，可得出c≠b，因此△ABC是等腰三角形，△ABC不是等边三角形。
（2）根据二次根式的有意义的条件，可求出a=2，因此c=2，再由b为方程y2﹣8y+15=0的根，利用因式分解法求出方程的根，结合b＜a+c求出b的值，然后求出此三角形的周长。
19．（2023九上·太原期中）阅读下列材料，完成相应的任务：
课堂上，老师让同学们复习一元二次方程的多种解法，在讨论这些解法之间的关系时，小组同学发言如下：
小彬：分解因式法可以解特殊结构的一元二次方程，基本思路是通过分解因式将方程变形为的形式(其中m，p均不为零)，这样就可以将原方程化为两个一元一次方程或 ，依据是____，进而得到原方程的根为，. 小文：既然能用分解因式法求解关于x的一元二次方程，那么，能否运用一元二次方程的根，，将多项式分解因式呢 小颖：可以!例如时，如果方程的两个根为，，逆推回去可得两个一元一次方程是或，则原方程即可表示为，这样就可得到多项式分解因式的结果为! 例如：已知方程的两根为，，则分解因式为； 已知方程的两根为，.则分解因式为.
任务：
（1）上述材料中“▲”处的依据为 (填写字母序号即可)；
：若或，则.
：若，则或.
（2）已知方程的两个根为，，则多项式分解因式的结果为 ；
（3）请从下面，两题中任选一题作答.我选择 ▲ 题.
：根据材料中的思路，直接写出多项式分解因式的结果.
：根据材料中的思路，直接写出多项式分解因式的结果.
【答案】（1）B
（2）
（3）A：
B：
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：若，则或.
故答案为：B.
（2）∵方程的两个根为，，
∴=，
故答案为：；
（3）A、=；
B、=.
【分析】参照题干中的计算方法，利用十字相乘法求解一元二次方程即可.
20．（2023九上·郑州经济技术开发月考）阅读材料，解决问题.
相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1、3、6、10…，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数.
则第个三角数可以用且为整数）来表示.
（1）若三角数是55，则n= ；
（2）把第n个三角点阵中各行的点数依次换为，，请用含的式子表示前行所有点数的和；
（3）在（2）中的三角点阵中前行的点数的和能为120吗 如果能，求出，如果不能，请说明理由.
【答案】（1）10
（2）解：由题意得：前行所有点数的和为（
（3）解：不能，理由如下：
假设能为120，则n（n+1）=120.
即，
解得：.
为正整数，
前行的点数和不能为120.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；探索图形规律
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
即n2+n-110=0，
∴（n+11）（n-10）=0，
解得n1=-11（舍去），n2=10，
故答案为：10；
【分析】（1）直接令等于55，建立方程，求解并检验即可；
（2）根据题意列出前n行所有点数的和，然后提取出各项的公因式2变形后根据题干给出的信息即可解决此题；
（3）令（2）所得结果的式子等于120，建立方程，求解并检验即可.
1 / 1【培优版】北师大版数学九上2.4用因式分解法解一元二次方程 同步练习
一、选择题
1．（2021九上·鲁甸期中）已知三角形的两边长为2和5，第三边满足方程，则三角形的周长为（ ）
A．10 B．11 C．10或11 D．以上都不对
2．（2023九上·平定期中）一元二次方程的解是（ ）
A． B．
C．， D．无实数解
3．（2021九上·澄海期末）已知直角三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+20＝0的两个根，则此三角形的第三边是（ ）
A．4或5 B．3 C． D．3或
4．（2019九上·平定月考）若三角形三边的长均能使代数式 的值为零，则此三角形的周长是（ ）
A．9或18 B．12或15 C．9或15或18 D．9或12或15
5．（2023九上·织金期中）关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．0 B．8 C． D．0或8
6．（2020九上·海珠期中）已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2-5x+6=0的一个根，则这个三角形的周长是（ ）
A．11 B．12 C．11或12 D．15
7．（2023九上·丘北期中）若a、b是菱形ABCD的两条对角线的长，且a、b是一元二次方程x2-14x+48＝0的两个根，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．4 B．5 C． D．10
8．（2023九上·衡阳月考）已知点在第一象限角平分线上，则m的值为（ ）
A．6 B． C．2或3 D．或6
二、填空题
9．（2023九上·武侯月考）已知关于的方程．若等腰三角形的一边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长 ．
10．（2023九上·前郭尔罗斯期中）一个三角形的两边长分别为2和3，第三边的长是方程的根，则该三角形的第三边的长为 ．
11．（2019九上·赵县期中）对于实数 ，我们用符号 表示 两数中较小的数，如 .因此， ；若 ，则 ．
12．（2022九上·连云月考）若，则的值为 ．
13．（2022九上·连云月考）若关于x一元二次方程的常数项为0，则m的值等于 ．
三、解答题
14．（2023九上·晋江开学考）如果一元二次方程的两根相差，那么该方程称为“差方程”例如是“差方程”．
（1）判断下列方程是不是“差方程”，”并说明由：
①；
②；
（2）已知关于的方程是常数是“差方程”，求的值；
（3）若关于的方程是常数，是“差方程”，设，求的最大值．
15．（2022九上·道县期中）阅读下面的材料，并完成相应的任务．
材料：解含绝对值的方程：．
解：分两种情况：
（ 1 ）当时，原方程可化为：，解得，（舍去）；
（ 2 ）当时，原方程可化为：，解得，（舍去）．
综上所述：原方程的解是，．任务：请参照上述方法解方程：．
16．（2018九上·河南期中）已知关于x的一元二次方程 。
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5。当△ABC是等腰三角形时，求k的值。
17．（2019九上·官渡月考）关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根.
（1）求 的取值范围；
（2）当 取满足条件的最大整数时，求方程的根.
18．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.2 一元二次方程的解法（4） 同步练习）已知a、b、c是△ABC的三条边长，若x=﹣1为关于x的一元二次方程（c﹣b）x2﹣2（b﹣a）x+（a﹣b）=0的根．
（1）△ABC是等腰三角形吗？△ABC是等边三角形吗？请写出你的结论并证明；
（2）若代数式子 有意义，且b为方程y2﹣8y+15=0的根，求△ABC的周长．
19．（2023九上·太原期中）阅读下列材料，完成相应的任务：
课堂上，老师让同学们复习一元二次方程的多种解法，在讨论这些解法之间的关系时，小组同学发言如下：
小彬：分解因式法可以解特殊结构的一元二次方程，基本思路是通过分解因式将方程变形为的形式(其中m，p均不为零)，这样就可以将原方程化为两个一元一次方程或 ，依据是____，进而得到原方程的根为，. 小文：既然能用分解因式法求解关于x的一元二次方程，那么，能否运用一元二次方程的根，，将多项式分解因式呢 小颖：可以!例如时，如果方程的两个根为，，逆推回去可得两个一元一次方程是或，则原方程即可表示为，这样就可得到多项式分解因式的结果为! 例如：已知方程的两根为，，则分解因式为； 已知方程的两根为，.则分解因式为.
任务：
（1）上述材料中“▲”处的依据为 (填写字母序号即可)；
：若或，则.
：若，则或.
（2）已知方程的两个根为，，则多项式分解因式的结果为 ；
（3）请从下面，两题中任选一题作答.我选择 ▲ 题.
：根据材料中的思路，直接写出多项式分解因式的结果.
：根据材料中的思路，直接写出多项式分解因式的结果.
20．（2023九上·郑州经济技术开发月考）阅读材料，解决问题.
相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1、3、6、10…，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数.
则第个三角数可以用且为整数）来表示.
（1）若三角数是55，则n= ；
（2）把第n个三角点阵中各行的点数依次换为，，请用含的式子表示前行所有点数的和；
（3）在（2）中的三角点阵中前行的点数的和能为120吗 如果能，求出，如果不能，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】∵，
解得
∴三角形三边长可能的情况为：
①2，5，3，∵2+3=5，∴2，3，5不能构成三角形
②2，5，4，∵2+4>5，∴2，4，5能构成三角形
∴三角形的周长为2+4+5=11
故答案为：B
【分析】根据题意先求出，再利用三角形的三边关系计算求解即可。
2．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
（x+1)(2x-3）=0，
x1=-1，x2=.
故答案为：C。
【分析】解方程求得方程的解，即可得出答案。
3．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：解方程得，，
当两直角边分别为4和5，则第三边的长，
当斜边为5，第三边的长，
所以此三角形的第三边长为3或．
故答案为：D．
【分析】先求出，，再分类讨论，利用勾股定理计算求解即可。
4．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】x2 9x+18=0
(x 3)(x 6)=0，
x 3=0或x 6=0.
∴x1=3，x2=6，
所以三角形三边的长可以是：3，3，3或6，6，3或6，6，6.
周长是9或15或18.
故答案为：C.
【分析】用因式分解法可以得到方程的两个根分别是3和6，所以三角形的三边可以是：3，3，3或6，6，6或6，6，3．然后求出三角形的周长．
5．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2+(m 2)x+m+1=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即(m 2)2 4×1×(m+1)=0，
整理，得m2 8m=0，
解得m1=0，m2=8．
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根的判别式、因式分解法解一元二次方程求解。
6．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】x2-5x+6=0，解得x1=2，x2=3，所以三角形周长是4+5+2=11，4+5+3=12，
故答案为：C.
【分析】利用因式分解法解方程可得x1=2，x2=3，再求三角形的周长即可。
7．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：x2-14x+48＝0
（x-8）（x-6）=0
x=8或x=6
由勾股定理：边长=
故答案为：B
【分析】先求出一元二次方程的解，再因对角线把菱形分成四个边长相等的直角三角形，根据勾股定理即可求出边长。
8．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解： ∵点在第一象限角平分线上，
∴，
解得：，
当m=6时，A（34，34），在第一象限；
当m=-1时，A（-1，-1），在第三象限，不符合题意，舍去；
故答案为：A。
【分析】点P（a，b）第一、三象限的角平分线上，有a=b；点P（a，b）第二、四象限的角平分线上，有a+b=0.
9．【答案】16或22
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；三角形三边关系；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：，，，
无论取什么实数值，，
△，
即无论取什么实数值，方程总有实数根；
解方程，
因式分解得，
解得，，
，恰好是这个方程的两个实数根，设，，
当、为腰，则，而，，所以三角形的周长为：；
当、为腰，则，解得，
，因为6，2，2不构成三角形，所以这种情况不成立；
当、为腰 则，
，
三角形的周长为：．
综上，三角形的周长为16或22．
故答案为：16或22．
【分析】先根据一元二次方程根的判别式得到无论取什么实数值，方程总有实数根，进而因式分解解一元二次方程即可得到，，进而根据等腰三角形的判定与性质结合三角形的关系进行分类讨论即可求解。
10．【答案】3
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵，
∴（x-3）（x-7）=0，
解得：x1=3，x2=7，
∵三角形的两边长分别为2和3，
∴第三条边的取值范围为1<第三边<5，
∴第三条边的长为3，
故答案为：3.
【分析】先求出方程的解，再利用三角形三边的关系分析求解即可.
11．【答案】；2或-1
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】①∵－ － ，
∴min{－ ，－ }=－ ；
②∵min{(x 1)2，x2}=1，
∴当x>0.5时，(x 1)2=1，
∴x 1=±1，
∴x 1=1，x 1= 1，
解得：x1=2，x2=0(不合题意，舍去)，
当x 0.5时，x2=1，
解得：x1=1(不合题意，舍去)，x2= 1，
【分析】通过比较 2与 3的大小填空；通过先比较（x 1）与2x的大小，然后根据新定义运算法则得到方程并解答即可.
12．【答案】-1
【知识点】零指数幂；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴（x-3）（x-1）≠0，解得：x≠3，x≠1，
∵，
∴原方程整理为：
（x-3）（x+1）=0，
（舍），，
故答案为：-1.
【分析】利用任何不等于0的数的零次幂都为1，可得到x2-4x+3≠0，可求出x≠3，x≠1；同时可得到x2-2x-3=0，利用因式分解法解方程求出x的值，即可得到符合题意的x的值.
13．【答案】-1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得，
，
解得m=-1．
故答案为：-1．
【分析】此方程是一元二次方程的一般形式，直接找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，根据定义可知m+2≠0，再根据常数项为0，可得到关于m的方程，再求出方程的解和不等式的解集，可得到符合题意的m的值.
14．【答案】（1）解：解方程，
，
或，
解得或，
，
不是“差方程“；
解方程，
，
．
，
是“差方程“；
（2）解：解方程是常数得：
，
或，
方程是常数是“差方程“，
或，
或；
（3）解：由题可得：，
解方程得，
关于的方程是常数，是“差方程”，
，
，
，
，
，
时，的最大值为．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）①利用因式分解法求出方程的解，再利用差1方程的定义，可作出判断；②利用公式法求出方程的两个根，再根据差1方程的定义，可作出判断.
（2）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据差1方程的定义，分情况可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
（3）利用求根公式法求出方程的两个根，再根据差1方程的定义，可得到a，b的关系式，再结合已知条件可得到t=-（a-3）2+9，由此可得到t的最大值.
15．【答案】解：分两种情况讨论：
（1）当时，原方程可化为
解得：，（舍去）；
（2）当时，原方程可化为
解得：，（舍去）；
∴综上所述，原方程的根是，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】参考题干阅读材料提供的方法分当x≥0时与 x＜0时两种情况，分别化简绝对值，进而根据因式分解法求出分别求出方程的解，再检验即可得出答案.
16．【答案】（1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根
（2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x= ，即x1=k，x2=k+1， ∵k＜k+1， ∴AB≠AC． 当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5； 当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4， 所以k的值为5或4．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）由题意可知，去证明b2-4ac＞0即可解决问题。
（2）利用公式法求出方程的解，再利用等腰三角形的判断及第三边BC的长为5，分情况讨论，分别求出k的值即可。
17．【答案】（1）解： 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
且 .
解得 且 .
的取值范围是 且
（2）解：在 且 的范围内，最大整数为 .
此时，方程化为 .
解得 ， .
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得△=b2-4ac=0且m-2≠0，据此求出m的范围即可；
（2）根据（1）结论求出m=5,然后代入方程，解出方程即可.
18．【答案】（1）解：△ABC是等腰三角形，△ABC不是等边三角形；理由如下：∵x=﹣1为方程（c﹣b）x2﹣2（b﹣a）x+（a﹣b）=0的根，∴（c﹣b）+2（b﹣a）+（a﹣b）=0，
∴c=a，
∵a、b、c是△ABC的三条边长
∴△ABC为等腰三角形，
∵c﹣b≠0，
∴c≠b，
∴△ABC不是等边三角形
（2）解：依题意，得 ，
∴a=2，
∴c=a=2，
解方程y2﹣8y+15=0得y1=3，y2=5；
∵b为方程y2﹣8y+15=0的根，且b＜a+c，
∴b的值为3，
∴△ABC的周长为7
【知识点】二次根式有意义的条件；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将x=-1代入方程得出（c﹣b）+2（b﹣a）+（a﹣b）=0，可得出a=c，根据一元二次方程的定义，可得出c≠b，因此△ABC是等腰三角形，△ABC不是等边三角形。
（2）根据二次根式的有意义的条件，可求出a=2，因此c=2，再由b为方程y2﹣8y+15=0的根，利用因式分解法求出方程的根，结合b＜a+c求出b的值，然后求出此三角形的周长。
19．【答案】（1）B
（2）
（3）A：
B：
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：若，则或.
故答案为：B.
（2）∵方程的两个根为，，
∴=，
故答案为：；
（3）A、=；
B、=.
【分析】参照题干中的计算方法，利用十字相乘法求解一元二次方程即可.
20．【答案】（1）10
（2）解：由题意得：前行所有点数的和为（
（3）解：不能，理由如下：
假设能为120，则n（n+1）=120.
即，
解得：.
为正整数，
前行的点数和不能为120.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；探索图形规律
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
即n2+n-110=0，
∴（n+11）（n-10）=0，
解得n1=-11（舍去），n2=10，
故答案为：10；
【分析】（1）直接令等于55，建立方程，求解并检验即可；
（2）根据题意列出前n行所有点数的和，然后提取出各项的公因式2变形后根据题干给出的信息即可解决此题；
（3）令（2）所得结果的式子等于120，建立方程，求解并检验即可.
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