【基础版】北师大版数学九上2.5一元二次方程根与系数的关系 同步练习
一、选择题
1．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是（ ）
A．1 B．5 C．﹣5 D．6
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，
∴根据一元二次方程根与系数的关系得.
故选B.
2．（2024九上·昭通期末）若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（ ）
A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C．x1x2＝ D．x1x2＝7
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：方程中的，
是方程的两个根，
，，
故答案为：A．
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1，x2是，则，，据此求解。
3．（2022九上·长顺期中）若一元二次方程的两根为和，则的值等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：将变形为
根据根与系数的关系：
故答案为：B.
【分析】先将方程化为一般式，再利用根与系数的关系求解即可.
4．（2024九上·耒阳期末）若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 若是方程的两个根，
∴根据一元二次方程的根与系数的关系得：x1+x2=2.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系直接求解.
5．（2024九上·钟山期末）已知：a，b是方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】a，b是方程的两个实数根，将方程化为一般式得，
故答案为：A.
【分析】先将方程化为一般式，由根与系数的关系求得a+b，ab的值，从而求解.
6．（2024九上·武昌月考）已知m，n是方程的两根，则（ ）
A．8 B．7 C．9 D．6
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
7．（2023九上·丰满期中） 关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0的常数项为0，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．0或2 D．0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】根据题意可得，解出m=2，B符合答案。
故答案为：B.
【分析】根据二次项系数非零以及方程的常数项为0，即可列出公式解除即可得出答案
8．（2023九上·恩施期中）若、是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2005 B．2003 C．－2005 D．4010
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： ∵、是方程的两个实数根，
∴，+=-2，
∴==2005-2=2003.
故答案为：B.
【分析】根据根与系数的关系及方程根的定义可得，+=-2，再将原式化为，然后整体代入计算即可.
二、填空题
9．（2024九上·成都期末）已知方程的两个根分别为，则的值为 ．
【答案】5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
10．（2024九上·陆河期中）已知关于x的方程 的一个根为2，则另一根是
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
11．（2024九上·渌口期末）设方程的两根分别是，，则的值为 ．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】由题意可得
故答案为：3.
【分析】利用韦达定理：两根之和等于代入数据进行计算即可求解.
12．（2023九上·金牛期末）若实数，是一元二次方程的两根，则 .
【答案】8
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a、b是一元二次方程x2-3x-1=0的根，
∴a+b=3，ab=-1，
∴2a+2b-ab+1=2（a+b）-ab+1=2×3-(-1）+1=8.
故答案为：8.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得a+b=3，ab=-1，进而整体代入待求式子即可算出答案.
13．（2023九上·织金期中）关于x的方程有一根为2，则另一根是 ， .
【答案】-3；1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为，则，
，
另一个根为，
，
，
故答案为：①，②1．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解。设方程的另一个根为，则，即可得出另一个根，再由，即可求出的值，熟练掌握关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，是解此题的关键．
三、解答题
14．（2023九上·新化月考）设是关于x的一元二次方程的两个根，求下列各式的值：
（1）
（2）．
【答案】（1）解：∵是关于x的一元二次方程的两个根，
∴；
（2）解：∵是关于x的一元二次方程的两个根，
∴
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1和x2，则，据此求解；
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1和x2，则，据此求解；
15．（2024九上·绥阳期末）已知关于x的方程：有两个不相等的实数根，
（1）求实数k的取值范围、
（2）已如方程的一个根为5，求方程的另一个根．
【答案】（1）
（2）-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
16．（2023九上·曾都月考）已知关于的方程有两个不相等的实数根，．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：由题意得：△，
解得：；
（2）解：由根与系数的关系可得：，，
，
，
，
解得．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）由题意方程有两个不相等的实数根，得出，即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，再根据完全平方公式得出，列出方程，计算求解即可．
17．（2018九上·广州期中）已知 是关于x的一元二次方程 的两个不相等的实数根，且满足 ，求m的值.
【答案】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得： ，
依题意得： ，
∴ .
解得： ，
经检验： 是原方程的解，
∵ ，
∴ .
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】先利用判别式求出方程有两个不相等的实数根时m的取值范围，然后再根据根与系数的关系求出m的取值范围，取舍即可
18．（2024九上·零陵期末）已知关于x的一元二次方程.
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若，是方程的两个根，且，求m的值．
【答案】（1）解：二元一次方程有两个不相等的实数根，
∴
∴；
（2）解：，是方程的两个根，且且
∴
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根；）分析可得，再求解即可.
（2）利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）可得再求解即可.
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一、选择题
1．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是（ ）
A．1 B．5 C．﹣5 D．6
2．（2024九上·昭通期末）若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（ ）
A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C．x1x2＝ D．x1x2＝7
3．（2022九上·长顺期中）若一元二次方程的两根为和，则的值等于（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2024九上·耒阳期末）若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·钟山期末）已知：a，b是方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·武昌月考）已知m，n是方程的两根，则（ ）
A．8 B．7 C．9 D．6
7．（2023九上·丰满期中） 关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0的常数项为0，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．0或2 D．0
8．（2023九上·恩施期中）若、是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2005 B．2003 C．－2005 D．4010
二、填空题
9．（2024九上·成都期末）已知方程的两个根分别为，则的值为 ．
10．（2024九上·陆河期中）已知关于x的方程 的一个根为2，则另一根是
11．（2024九上·渌口期末）设方程的两根分别是，，则的值为 ．
12．（2023九上·金牛期末）若实数，是一元二次方程的两根，则 .
13．（2023九上·织金期中）关于x的方程有一根为2，则另一根是 ， .
三、解答题
14．（2023九上·新化月考）设是关于x的一元二次方程的两个根，求下列各式的值：
（1）
（2）．
15．（2024九上·绥阳期末）已知关于x的方程：有两个不相等的实数根，
（1）求实数k的取值范围、
（2）已如方程的一个根为5，求方程的另一个根．
16．（2023九上·曾都月考）已知关于的方程有两个不相等的实数根，．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
17．（2018九上·广州期中）已知 是关于x的一元二次方程 的两个不相等的实数根，且满足 ，求m的值.
18．（2024九上·零陵期末）已知关于x的一元二次方程.
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若，是方程的两个根，且，求m的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，
∴根据一元二次方程根与系数的关系得.
故选B.
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：方程中的，
是方程的两个根，
，，
故答案为：A．
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1，x2是，则，，据此求解。
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：将变形为
根据根与系数的关系：
故答案为：B.
【分析】先将方程化为一般式，再利用根与系数的关系求解即可.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 若是方程的两个根，
∴根据一元二次方程的根与系数的关系得：x1+x2=2.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系直接求解.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】a，b是方程的两个实数根，将方程化为一般式得，
故答案为：A.
【分析】先将方程化为一般式，由根与系数的关系求得a+b，ab的值，从而求解.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】根据题意可得，解出m=2，B符合答案。
故答案为：B.
【分析】根据二次项系数非零以及方程的常数项为0，即可列出公式解除即可得出答案
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： ∵、是方程的两个实数根，
∴，+=-2，
∴==2005-2=2003.
故答案为：B.
【分析】根据根与系数的关系及方程根的定义可得，+=-2，再将原式化为，然后整体代入计算即可.
9．【答案】5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
10．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
11．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】由题意可得
故答案为：3.
【分析】利用韦达定理：两根之和等于代入数据进行计算即可求解.
12．【答案】8
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a、b是一元二次方程x2-3x-1=0的根，
∴a+b=3，ab=-1，
∴2a+2b-ab+1=2（a+b）-ab+1=2×3-(-1）+1=8.
故答案为：8.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得a+b=3，ab=-1，进而整体代入待求式子即可算出答案.
13．【答案】-3；1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为，则，
，
另一个根为，
，
，
故答案为：①，②1．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解。设方程的另一个根为，则，即可得出另一个根，再由，即可求出的值，熟练掌握关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，是解此题的关键．
14．【答案】（1）解：∵是关于x的一元二次方程的两个根，
∴；
（2）解：∵是关于x的一元二次方程的两个根，
∴
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1和x2，则，据此求解；
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1和x2，则，据此求解；
15．【答案】（1）
（2）-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
16．【答案】（1）解：由题意得：△，
解得：；
（2）解：由根与系数的关系可得：，，
，
，
，
解得．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）由题意方程有两个不相等的实数根，得出，即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，再根据完全平方公式得出，列出方程，计算求解即可．
17．【答案】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得： ，
依题意得： ，
∴ .
解得： ，
经检验： 是原方程的解，
∵ ，
∴ .
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】先利用判别式求出方程有两个不相等的实数根时m的取值范围，然后再根据根与系数的关系求出m的取值范围，取舍即可
18．【答案】（1）解：二元一次方程有两个不相等的实数根，
∴
∴；
（2）解：，是方程的两个根，且且
∴
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根；）分析可得，再求解即可.
（2）利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）可得再求解即可.
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