【培优版】北师大版数学九上2.5一元二次方程根与系数的关系 同步练习
一、选择题
1．已知α，β是方程x2+2014x+1=0的两个根，则（1+2016α+α2）（1+2016β+β2）的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若α、β是方程x2+2x﹣2007=0的两个实数根，则α2+3α+β的值（ ）
A．2007 B．2005 C．﹣2007 D．4010
3．（2023九上·重庆市月考）已知关于的两个多项式，．其中a为常数，下列说法：
①若的值始终与无关，则；
②关于x的方程始终有两个不相等的实数根；
③若的结果不含的项，则；
④当时，若的值为整数，则x的整数值只有2个．
以上结论正确的个数有（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2023九上·江阳月考）已知 m， n 是一元二次方程 的两个根， 则 的值为（ ）
A．3 B．-10 C．0 D．10
5．（2023九上·资中期中）设的两实根为，，而以，为根的一元二次方程仍是，则数对的个数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·天河期中） 已知a、b、m、n为互不相等的实数，且，，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
7．（2023九上·邹城月考）已知一元二次方程中，下列说法：①若，则； ②若方程两根为和2，则； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023九上·韩城期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
二、填空题
9．（2024九上·祁阳期末）已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数 ．
10．（2024九上·阿克苏期末）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ．
11．（2024九上·武胜期末）设，是方程的两个实数根，则的值是 ．
12．（2024九上·都江堰期末）已知实数，满足，，则 ．
13．（2023九上·岳阳月考）关于的方程的两个实数根、满足，则的值为 ．
三、解答题
14．（2024九上·吴桥期末）关于x的一元二次方程．
（1）当时，求一元二次方程的根；
（2）求证：无论k取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（3）已知是方程的一个根，求方程的另一个根．
15．（2024九上·蓬溪期末）已知，关于x的一元二次方程．
（1）若是该方程的一个根，求k的值及另一个根；
（2）若该方程有两个实数根，若，求k的值；
16．（2024九上·怀化期末）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
（1）判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值．
17．（2024九上·万源期末）关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若的两条直角边，的长恰好是此方程的两个实数根，斜边，求的周长．
18．（2023九上·武威月考） 已知 是关于x的一元二次方程 的两个实数根.
（1）是否存在实数k，使 成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
（2）求使 的值为整数的实数k的整数值.
四、综合题
19．（2023九上·新邵期末）已知：平行四边形的两边，的长是关于x的方程的两个实数根.
（1）m为何值时，四边形是菱形？
（2）若的长为3，求的周长.
20．（2022九上·恩施月考）已知：x1，x2是x2+8x+m＝0的两个实数根，且＝60求．
（1）m的值；
（2）
五、实践探究题
21．（2023九上·忻州期中）阅读与思考：
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：若一元二次方程的两个实数根分别为，则 ， ；
（2）类比应用：已知一元二次方程的两个实数根分别为，求的值．
（3）思维拓展：已知实数满足，且，求的值．
22．（2020九上·顺昌月考）阅读材料：
材料1：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则x1+x2= ，x1x2= ．
材料2：已知实数m、n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n，求 的值．
解：由题知m、n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m+n=1，mn=-1．
∴ ．
根据上述材料解决下面的问题：
（1）一元二次方程x2-4x-3=0的两根为x1、x2，则x1+x2=4，x1x2= ；
（2）已知实数m，n满足 ， ，且m≠n，求m2n+mn2
的值；
（3）已知实数p，q满足p2=3p+2，2q2=3q+1，且p≠2q，求p2+4q2的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵α，β是方程x2+2014x+1=0的两个根，
∴α+β=﹣=﹣2014，α β==1，
（1+2016α+α2）（1+2016β+β2）
=（αβ+2016α+α2）（αβ+2016β+β2）
=α（β+2016+α） β（α+2016+β）
=αβ （2016﹣2014）（2016﹣2014）
=4．
故选D．
【分析】由根与系数的关系找出“α+β=﹣=﹣2014，α β==1”，利用整体替换的方法将代数式（1+2016α+α2）（1+2016β+β2）中的1换成αβ，提取公因数代入数据即可得出结论．
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵α、β是方程x2+2x﹣2007=0的两个实数根，
∴α+β=﹣2，α2+2α﹣2007=0，即α2+2α=2007，
则α2+3α+β=α2+2α+α+β
=2007﹣2
=2005，
故选：B．
【分析】根据方程的解的概念及根与系数的关系得α+β=﹣2、α2+2α=2007，整体代入到α2+3α+β=α2+2α+α+β可得．
3．【答案】B
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：①∵，，
∴，
∵的值始终与x无关，
∴，故①不符合题意；
②，
∵，
∴关于x的方程始终有两个不相等的实数根，
故②符合题意；
③，
∵的结果不含的项，
∴，
解得；故③符合题意；
④当时，，
∴，
∵的值为整数，
∴，
解得或，故④符合题意；
综上，②③④符合题意；
故选：B．
【分析】先将A-B进行化简，所以A-B的值与x无关时解得a=2，故①不正确，不符合题意；将A+B=0进行化简得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得，所以关于x的方程始终有两个不相等的实数根，故②正确，符合题意；将 进行化简，结合题意解得故③正确，符合题意；将a=1代入 进行化简，再结合题意解得或，故④正确，符合题意；从而求解.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m， n 是一元二次方程 的两个根，
∴m+n=-2，mn=-5，
把m代入得，
，
∴，
∴
=
=5-5
=0
故答案为：C.
【分析】根据根与系数关系得mn=-5，把m代入得，，代入即可求解.
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】∵的两实根为，，
∴ α+β=p， αβ=q，P2≥4q
∵，为根的一元二次方程仍是
∴ α2+β2=p， α2β2=q，
∴ q2=q，p2-2q=p
∴ q=0或1，
当q=0，p2=p，解得p=0或1，
当q=1，p2-p-2=0，解得p=-1（舍）或2
综上，数对（p，q）为（0，0），（1，0），（2，1），共3个
故答案为：B
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟悉一元二次方程的两根之和x1+x2=，两根之积x1x2=是本题的关键，列出关于p，q的方程，再求解，注意结合根的判别式对所求结果取舍。
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】 【解答】解：由题意可知a2+(m+n)a+mn-2=0，b2+(m+n)b+mn-2=0，
∵a、b、m、n为互不相等的实数，
∴可以把a，b看成方程x2+(m+n)x+mn-2=0的两实数根，
∴根据根与系数的关系得ab=mn-2，即ab-mn=-2.
故答案为：A.
【分析】先把已知条件变形得到后，把a、b看作方程的两实数根，利用根与系数的关系即可求解.
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：①若，则有x=1是方程的根，即，①正确；
②将x=-1和2代入方程得，则6a+3c=0，即，②正确；
③由题意可得：，方程不一定有实数根， ③ 错误；
④由题意可得：，则方程有两个不相等的实根，④正确.
故答案为：C.
【分析】根据方程的根与系数的关系即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 关于的一元二次方程有两个实数根，，
∴x1+x2=m，x1x2=-2，
∴3（x1+x2）-x1x2=5，
∴3m+2=5
解之：m=1.
故答案为：A
【分析】利用一元二次方程根与系数，可得到x1+x2=m，x1x2=-2，再将方程转化为3（x1+x2）-x1x2=5，整体代入可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
9．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两个实数根为，
∴
∵，即3+k=1
解得：k=-2
故答案为：-2
【分析】根据二次方程根与系数的关系，再代入代数式即可求出答案.
10．【答案】-2024
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：，是方程的两个实数根，
.
故答案为：-2024.
【分析】根据根与系数关系求出再整体代入计算即可.
11．【答案】16
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是的两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：
【分析】先根据一元二次方根与系数的关系得到，，进而代入求值即可求解。
12．【答案】或2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】∵，，
∴a、b可以看作一元二次方程的两个实数根，
①当a=b时，；
②当a≠b时，a+b=，ab=，∴，
综上，的值为2或，
故答案为： 或2.
【分析】先证出a、b可以看作一元二次方程的两个实数根，再分类讨论：①当a=b时，②当a≠b时，再分别利用根与系数的关系代入计算即可.
13．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于的方程有两个实数根、，
∴△≥0，即，
解得：，
根据根与系数的关系可得：，
∵，
∴，
解得：k1=1，k2=-3，
∵，
∴k=-3，
故答案为：-3.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系及根的判别式列出方程和不等式求出k的值即可.
14．【答案】（1）解：当时，代入方程得，，
移项，得，
配方，得，
即，
两边开平方，得，
所以
（2）证明：已知
，
∴此方程总有两个不相等的实数根；
（3）解：是方程的一个根，
∴设另一个根为，根据根与系数的关系，得，
，即方程的另一个根为．
【知识点】配方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）将代入方程，进而运用配方法解一元二次方程即可求解；
（2）根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解；
（3）根据一元二次方程根与系数的关系得到，进而即可求解。
15．【答案】（1）解：将代入得
解方程得：
故关于x的一元二次方程为：
则方程的另一个根为
故，另一个根为
（2）解：∵
∴
∵有两个实数根
∴
解之得：
故k的取值范围是且
∵，，
∴
∴，
或，
∵ 且，
∴不符合题意，舍去，
∴．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）先根据一元二次方程的根代入x=1，进而即可求出k，从而解方程即可求解；
（2）根据一元二次方程的定义结合一元二次方根的判别式即可求出且，进而根据一元二次方程根与系数的关系得到，，从而代入即可求解。
16．【答案】（1）解：此方程为“限根方程”，理由如下：
，
解得：，，
∵，
∴方程为“限根方程”；
（2）解：由根与系数的关系，得，，
∵，
∴，
∴或；
当时，，，
∴，
∴符合题意；
当时，，
∴，
∴（不符合题意，舍去），
∴k的值为2.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；定义新运算
【解析】【分析】（1）利用因式分解法解出方程 的两个根即可判断.
（2） 由根与系数的关系，得，， 结合 ，解得 或，再分两种情况讨论， 当或 时， 分别求出方程的解，再结合“限根方程”判断即可.
17．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴．
解得：．
（2）解：设，是关于x的一元二次方程的两实数根，
∴，，
∵，
∴
，
根据勾股定理得，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∴的周长为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据二次方程有两个不相等的实数根，对应的判别式，代入相应值计算即可求出答案；
（2）设，是关于x的一元二次方程的两实数根，根据根与系数的关系可得，，根据配方法可得，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求出答案.
18．【答案】（1）解：∵x1、x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根，
∴x1+x2=1，x1x2= ，
∴（2x1-x2）（x1-2x2）=2x12-4x1x2-x1x2+2x22=2（x1+x2）2-9x1x2=2×12-9× =2- ，
若2- =- 成立，
解上述方程得，k= ，
∵△=16k2-4×4k（k+1）=-16k＞0，
∴k＜0，∵k= ，
∴矛盾，
∴不存在这样k的值
（2）解：原式= ，
∴k+1=1或-1，或2，或-2，或4，或-4
解得k=0或-2，1，-3，3，-5．
∵k＜0．
∴k=-2，-3或-5
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2= ， 进而得到（2x1-x2）（x1-2x2） =2- ，假设2- =- 成立， 解得k= ， 结合△＞0，求得k的取值范围为k＜0， 出现矛盾，从而求解；
（2）现将 进行变形得到结合题意得到看k+1的值为1或-1，或2，或-2，或4，或-4 解得k的值结合k的取值范围，从而求解.
19．【答案】（1）解：∵平行四边形是菱形，
∴，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
当时，四边形是菱形；
（2）解：∵，的长是方程的两个实数根，的长为3，
∴，3是方程的一个根，
∴，
解得.
∴，
∴，
即平行四边形的周长为8.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；菱形的性质
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得AB=AD，则方程有两个相等的实数根，由△=b2-4ac就可求出m的值；
（2）根据根与系数的关系可得AB+AD=m，由方程根的概念可得32-3m+m-1=0，求出m的值，进而不难求出平行四边形ABCD的周长.
20．【答案】（1）解： x1，x2是x2+8x+m＝0的两个实数根，
解得：
经检验：符合题意.
（2）解：
方程的两个根都为负数，
设
即
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系，可表示出x1+x2和x1x2，再将等式根据完全平方公式转化为（x1+x2）2-2x1x2=60，然后代入可得到关于m的方程，解方程求出m的值；
（2）利用m的值可得x1+x2和x1x2的值，由此可推出方程的两个根都为负数；设，两边同时平方，将等式的右边转化为含有x1+x2和x1x2的代数式，将其代入，可求出y的值，即可求解.
21．【答案】（1）；
（2）一元二次方程的两个实数根分别为，
，
；
（3）实数满足，且，
是关于的一元二次方程的两个实数根，
，
．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系
（1）由 一元二次方程根与系数的关系：，由题中给的一元二次方程可知：
a=2，b=-3，c=-1代入即可得出：，即可得出答案.
（2）由 一元二次方程根与系数的关系：代入即可得出：，化简，代入即可得出答案.
（3）由m、n满足：可把m、n看成一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系可得：，将所求的式子通分可得：，代入即可得出答案.
22．【答案】（1）-3
（2）解：∵m、n满足 ， ，
∴m、n可看作方程 的两实数解，
∴ ， ，
∴ ；
（3）解：设 ，代入2q2=3q+1化简为t2=3t+2，
则p与t（即2q）为方程 的两实数解，
∴p+2q=3，p 2q ，
∴ ．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）∵ ， ， ，
∴ ，
故答案为： ；
【分析】（1）直接利用x1x2= 进行计算即可；
（2）由题意可得m、n可看作方程 的两实数解，从而求出 ， ，由于 ，然后整体代入计算即可；
（3）设，代入2q2=3q+1化简为t2=3t+2， 可得p与t（即2q）为方程 的两实数解， 从而得出p+2q=3，p 2q ，将原式变形为，然后整体代入计算即可.
1 / 1【培优版】北师大版数学九上2.5一元二次方程根与系数的关系 同步练习
一、选择题
1．已知α，β是方程x2+2014x+1=0的两个根，则（1+2016α+α2）（1+2016β+β2）的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵α，β是方程x2+2014x+1=0的两个根，
∴α+β=﹣=﹣2014，α β==1，
（1+2016α+α2）（1+2016β+β2）
=（αβ+2016α+α2）（αβ+2016β+β2）
=α（β+2016+α） β（α+2016+β）
=αβ （2016﹣2014）（2016﹣2014）
=4．
故选D．
【分析】由根与系数的关系找出“α+β=﹣=﹣2014，α β==1”，利用整体替换的方法将代数式（1+2016α+α2）（1+2016β+β2）中的1换成αβ，提取公因数代入数据即可得出结论．
2．若α、β是方程x2+2x﹣2007=0的两个实数根，则α2+3α+β的值（ ）
A．2007 B．2005 C．﹣2007 D．4010
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵α、β是方程x2+2x﹣2007=0的两个实数根，
∴α+β=﹣2，α2+2α﹣2007=0，即α2+2α=2007，
则α2+3α+β=α2+2α+α+β
=2007﹣2
=2005，
故选：B．
【分析】根据方程的解的概念及根与系数的关系得α+β=﹣2、α2+2α=2007，整体代入到α2+3α+β=α2+2α+α+β可得．
3．（2023九上·重庆市月考）已知关于的两个多项式，．其中a为常数，下列说法：
①若的值始终与无关，则；
②关于x的方程始终有两个不相等的实数根；
③若的结果不含的项，则；
④当时，若的值为整数，则x的整数值只有2个．
以上结论正确的个数有（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：①∵，，
∴，
∵的值始终与x无关，
∴，故①不符合题意；
②，
∵，
∴关于x的方程始终有两个不相等的实数根，
故②符合题意；
③，
∵的结果不含的项，
∴，
解得；故③符合题意；
④当时，，
∴，
∵的值为整数，
∴，
解得或，故④符合题意；
综上，②③④符合题意；
故选：B．
【分析】先将A-B进行化简，所以A-B的值与x无关时解得a=2，故①不正确，不符合题意；将A+B=0进行化简得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得，所以关于x的方程始终有两个不相等的实数根，故②正确，符合题意；将 进行化简，结合题意解得故③正确，符合题意；将a=1代入 进行化简，再结合题意解得或，故④正确，符合题意；从而求解.
4．（2023九上·江阳月考）已知 m， n 是一元二次方程 的两个根， 则 的值为（ ）
A．3 B．-10 C．0 D．10
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m， n 是一元二次方程 的两个根，
∴m+n=-2，mn=-5，
把m代入得，
，
∴，
∴
=
=5-5
=0
故答案为：C.
【分析】根据根与系数关系得mn=-5，把m代入得，，代入即可求解.
5．（2023九上·资中期中）设的两实根为，，而以，为根的一元二次方程仍是，则数对的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】∵的两实根为，，
∴ α+β=p， αβ=q，P2≥4q
∵，为根的一元二次方程仍是
∴ α2+β2=p， α2β2=q，
∴ q2=q，p2-2q=p
∴ q=0或1，
当q=0，p2=p，解得p=0或1，
当q=1，p2-p-2=0，解得p=-1（舍）或2
综上，数对（p，q）为（0，0），（1，0），（2，1），共3个
故答案为：B
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟悉一元二次方程的两根之和x1+x2=，两根之积x1x2=是本题的关键，列出关于p，q的方程，再求解，注意结合根的判别式对所求结果取舍。
6．（2023九上·天河期中） 已知a、b、m、n为互不相等的实数，且，，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】 【解答】解：由题意可知a2+(m+n)a+mn-2=0，b2+(m+n)b+mn-2=0，
∵a、b、m、n为互不相等的实数，
∴可以把a，b看成方程x2+(m+n)x+mn-2=0的两实数根，
∴根据根与系数的关系得ab=mn-2，即ab-mn=-2.
故答案为：A.
【分析】先把已知条件变形得到后，把a、b看作方程的两实数根，利用根与系数的关系即可求解.
7．（2023九上·邹城月考）已知一元二次方程中，下列说法：①若，则； ②若方程两根为和2，则； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：①若，则有x=1是方程的根，即，①正确；
②将x=-1和2代入方程得，则6a+3c=0，即，②正确；
③由题意可得：，方程不一定有实数根， ③ 错误；
④由题意可得：，则方程有两个不相等的实根，④正确.
故答案为：C.
【分析】根据方程的根与系数的关系即可求出答案.
8．（2023九上·韩城期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 关于的一元二次方程有两个实数根，，
∴x1+x2=m，x1x2=-2，
∴3（x1+x2）-x1x2=5，
∴3m+2=5
解之：m=1.
故答案为：A
【分析】利用一元二次方程根与系数，可得到x1+x2=m，x1x2=-2，再将方程转化为3（x1+x2）-x1x2=5，整体代入可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
二、填空题
9．（2024九上·祁阳期末）已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数 ．
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两个实数根为，
∴
∵，即3+k=1
解得：k=-2
故答案为：-2
【分析】根据二次方程根与系数的关系，再代入代数式即可求出答案.
10．（2024九上·阿克苏期末）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ．
【答案】-2024
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：，是方程的两个实数根，
.
故答案为：-2024.
【分析】根据根与系数关系求出再整体代入计算即可.
11．（2024九上·武胜期末）设，是方程的两个实数根，则的值是 ．
【答案】16
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是的两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：
【分析】先根据一元二次方根与系数的关系得到，，进而代入求值即可求解。
12．（2024九上·都江堰期末）已知实数，满足，，则 ．
【答案】或2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】∵，，
∴a、b可以看作一元二次方程的两个实数根，
①当a=b时，；
②当a≠b时，a+b=，ab=，∴，
综上，的值为2或，
故答案为： 或2.
【分析】先证出a、b可以看作一元二次方程的两个实数根，再分类讨论：①当a=b时，②当a≠b时，再分别利用根与系数的关系代入计算即可.
13．（2023九上·岳阳月考）关于的方程的两个实数根、满足，则的值为 ．
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于的方程有两个实数根、，
∴△≥0，即，
解得：，
根据根与系数的关系可得：，
∵，
∴，
解得：k1=1，k2=-3，
∵，
∴k=-3，
故答案为：-3.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系及根的判别式列出方程和不等式求出k的值即可.
三、解答题
14．（2024九上·吴桥期末）关于x的一元二次方程．
（1）当时，求一元二次方程的根；
（2）求证：无论k取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（3）已知是方程的一个根，求方程的另一个根．
【答案】（1）解：当时，代入方程得，，
移项，得，
配方，得，
即，
两边开平方，得，
所以
（2）证明：已知
，
∴此方程总有两个不相等的实数根；
（3）解：是方程的一个根，
∴设另一个根为，根据根与系数的关系，得，
，即方程的另一个根为．
【知识点】配方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）将代入方程，进而运用配方法解一元二次方程即可求解；
（2）根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解；
（3）根据一元二次方程根与系数的关系得到，进而即可求解。
15．（2024九上·蓬溪期末）已知，关于x的一元二次方程．
（1）若是该方程的一个根，求k的值及另一个根；
（2）若该方程有两个实数根，若，求k的值；
【答案】（1）解：将代入得
解方程得：
故关于x的一元二次方程为：
则方程的另一个根为
故，另一个根为
（2）解：∵
∴
∵有两个实数根
∴
解之得：
故k的取值范围是且
∵，，
∴
∴，
或，
∵ 且，
∴不符合题意，舍去，
∴．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）先根据一元二次方程的根代入x=1，进而即可求出k，从而解方程即可求解；
（2）根据一元二次方程的定义结合一元二次方根的判别式即可求出且，进而根据一元二次方程根与系数的关系得到，，从而代入即可求解。
16．（2024九上·怀化期末）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
（1）判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值．
【答案】（1）解：此方程为“限根方程”，理由如下：
，
解得：，，
∵，
∴方程为“限根方程”；
（2）解：由根与系数的关系，得，，
∵，
∴，
∴或；
当时，，，
∴，
∴符合题意；
当时，，
∴，
∴（不符合题意，舍去），
∴k的值为2.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；定义新运算
【解析】【分析】（1）利用因式分解法解出方程 的两个根即可判断.
（2） 由根与系数的关系，得，， 结合 ，解得 或，再分两种情况讨论， 当或 时， 分别求出方程的解，再结合“限根方程”判断即可.
17．（2024九上·万源期末）关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若的两条直角边，的长恰好是此方程的两个实数根，斜边，求的周长．
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴．
解得：．
（2）解：设，是关于x的一元二次方程的两实数根，
∴，，
∵，
∴
，
根据勾股定理得，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∴的周长为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据二次方程有两个不相等的实数根，对应的判别式，代入相应值计算即可求出答案；
（2）设，是关于x的一元二次方程的两实数根，根据根与系数的关系可得，，根据配方法可得，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求出答案.
18．（2023九上·武威月考） 已知 是关于x的一元二次方程 的两个实数根.
（1）是否存在实数k，使 成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
（2）求使 的值为整数的实数k的整数值.
【答案】（1）解：∵x1、x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根，
∴x1+x2=1，x1x2= ，
∴（2x1-x2）（x1-2x2）=2x12-4x1x2-x1x2+2x22=2（x1+x2）2-9x1x2=2×12-9× =2- ，
若2- =- 成立，
解上述方程得，k= ，
∵△=16k2-4×4k（k+1）=-16k＞0，
∴k＜0，∵k= ，
∴矛盾，
∴不存在这样k的值
（2）解：原式= ，
∴k+1=1或-1，或2，或-2，或4，或-4
解得k=0或-2，1，-3，3，-5．
∵k＜0．
∴k=-2，-3或-5
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2= ， 进而得到（2x1-x2）（x1-2x2） =2- ，假设2- =- 成立， 解得k= ， 结合△＞0，求得k的取值范围为k＜0， 出现矛盾，从而求解；
（2）现将 进行变形得到结合题意得到看k+1的值为1或-1，或2，或-2，或4，或-4 解得k的值结合k的取值范围，从而求解.
四、综合题
19．（2023九上·新邵期末）已知：平行四边形的两边，的长是关于x的方程的两个实数根.
（1）m为何值时，四边形是菱形？
（2）若的长为3，求的周长.
【答案】（1）解：∵平行四边形是菱形，
∴，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
当时，四边形是菱形；
（2）解：∵，的长是方程的两个实数根，的长为3，
∴，3是方程的一个根，
∴，
解得.
∴，
∴，
即平行四边形的周长为8.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；菱形的性质
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得AB=AD，则方程有两个相等的实数根，由△=b2-4ac就可求出m的值；
（2）根据根与系数的关系可得AB+AD=m，由方程根的概念可得32-3m+m-1=0，求出m的值，进而不难求出平行四边形ABCD的周长.
20．（2022九上·恩施月考）已知：x1，x2是x2+8x+m＝0的两个实数根，且＝60求．
（1）m的值；
（2）
【答案】（1）解： x1，x2是x2+8x+m＝0的两个实数根，
解得：
经检验：符合题意.
（2）解：
方程的两个根都为负数，
设
即
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系，可表示出x1+x2和x1x2，再将等式根据完全平方公式转化为（x1+x2）2-2x1x2=60，然后代入可得到关于m的方程，解方程求出m的值；
（2）利用m的值可得x1+x2和x1x2的值，由此可推出方程的两个根都为负数；设，两边同时平方，将等式的右边转化为含有x1+x2和x1x2的代数式，将其代入，可求出y的值，即可求解.
五、实践探究题
21．（2023九上·忻州期中）阅读与思考：
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：若一元二次方程的两个实数根分别为，则 ， ；
（2）类比应用：已知一元二次方程的两个实数根分别为，求的值．
（3）思维拓展：已知实数满足，且，求的值．
【答案】（1）；
（2）一元二次方程的两个实数根分别为，
，
；
（3）实数满足，且，
是关于的一元二次方程的两个实数根，
，
．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系
（1）由 一元二次方程根与系数的关系：，由题中给的一元二次方程可知：
a=2，b=-3，c=-1代入即可得出：，即可得出答案.
（2）由 一元二次方程根与系数的关系：代入即可得出：，化简，代入即可得出答案.
（3）由m、n满足：可把m、n看成一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系可得：，将所求的式子通分可得：，代入即可得出答案.
22．（2020九上·顺昌月考）阅读材料：
材料1：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则x1+x2= ，x1x2= ．
材料2：已知实数m、n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n，求 的值．
解：由题知m、n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m+n=1，mn=-1．
∴ ．
根据上述材料解决下面的问题：
（1）一元二次方程x2-4x-3=0的两根为x1、x2，则x1+x2=4，x1x2= ；
（2）已知实数m，n满足 ， ，且m≠n，求m2n+mn2
的值；
（3）已知实数p，q满足p2=3p+2，2q2=3q+1，且p≠2q，求p2+4q2的值．
【答案】（1）-3
（2）解：∵m、n满足 ， ，
∴m、n可看作方程 的两实数解，
∴ ， ，
∴ ；
（3）解：设 ，代入2q2=3q+1化简为t2=3t+2，
则p与t（即2q）为方程 的两实数解，
∴p+2q=3，p 2q ，
∴ ．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）∵ ， ， ，
∴ ，
故答案为： ；
【分析】（1）直接利用x1x2= 进行计算即可；
（2）由题意可得m、n可看作方程 的两实数解，从而求出 ， ，由于 ，然后整体代入计算即可；
（3）设，代入2q2=3q+1化简为t2=3t+2， 可得p与t（即2q）为方程 的两实数解， 从而得出p+2q=3，p 2q ，将原式变形为，然后整体代入计算即可.
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