湘教版七年级下册（新）第3章《3.3 公式法》同步练习

3.3 公式法
第1课时 用平方差公式因式分解
要点感知1 把乘法公式从右到左地使用，可以把某些形式的多项式进行__________，这种__________的方法叫做公式法.
要点感知2 平方差公式：a2-b2=_ ( http: / / www.21cnjy.com )_________.适用平方差公式因式分解的多项式特点：①必须是__________式；②两项符号__________；③能写成__________的形式.
预习练习2-1 若x2-9=(x-3)(x+a),则a=__________.
2-2 因式分解结果为-(2a+b)(2a-b)的多项式是( )
A.4a2-b2 B.4a2+b2 C.-4a2+b2 D.-4a2-b2
知识点1 用平方差公式因式分解
1.下列多项式中，不能用平方差公式因式分解的是( )
A.x2-y2 B.-x2-y2 C.4x2-y2 D.-4+y2
2.因式分解x2-16的结果为( )
A.(x+8)(x-2 ( http: / / www.21cnjy.com )) B.(x+4)(x-4) C.(x+2)(x-8) D.(x+1)(x-16)
3.下列多项式中，与-x-y相乘的结果是x2-y2的多项式是( )
A.y-x B.x-y C.x+y D.-x-y
4.下列因式分解正确的是( )
A.(x-3)2-y2=x2-6x+9-y2 B.a2-9b2=(a+9b)(a-9b)
C.4x6-1=(2x3+1)(2x3-1) D.-x2-y2=(x-y)(x+y)
5.因式分解：
(1) a2-1； (2)x2-81；
(3) x2-9y2； (4)(a-2b)2-25b2.
知识点2 两步因式分解
6.若16-xn=(2+x)(2-x)(4+x2),则n的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
7.因式分解a3-a的结果是( )
A.a(a2-1) B.a(a-1)2 C.a(a+1)(a-1) D.(a2+a)(a-1)
8.（2014·中山）把x3-9x因式分解，结果正确的是( )
A.x(x2-9) B.x(x-3)2 C.x(x+3)2 D.x(x+3)(x-3)
9.因式分解：a3-4ab2=__________.
10.因式分解：
(1)3x2-3y2； (2)(x+p)2-(x+q)2；
(3) xy2-4x； (4) 2x4-2.
11.在下列各式中，①-m2-n2 ( http: / / www.21cnjy.com )；②16x2-9y2；③(-a)2-(-b)2；④-121m2+225n2；⑤(6x)2-9(2y)2.可用平方差公式因式分解的有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
12.已知多项式4x2-(y-z)2的一个因式为2x-y+z，则另一个因式是( )
A.2x-y-z B.2x-y+z C.2x+y+z D.2x+y-z
13.因式分解：
(1)(2014·怀化)2x2-8=__________;
(2)(2013·绵阳)x2y4-x4y2=__________;
(3)4-(3-x)2=__________;
(4)16(a+b)2-9(a-b)2=__________.
14.已知a+b=4，a-b=3，则a2-b2=__________.
15.写出一个在有理数范围内能用平方差公式因式分解的多项式：____________________.
16.因式分解：
(1)9a2-4b2； (2)x4-16y4;
(3)(a-b)(3a+b)2+(a+3b)2(b-a)； (4)-(x2-y2)(x+y)-(y-x)3.
17.用平方差公式进行简便计算：
(1)4012-5992； (2)152-4×2.52.
18.试说明：两个连续奇数的平方差是8的倍数.
19.已知x,y为正整数,且4x2-9y2=31,你能求出x，y的值吗？
20.如果在一个半径为a的圆内，挖去一个半径为b(b(1)写出剩余部分面积的代数表达式，并因式分解它;
(2)当a=15.5 cm，b=5.5 cm，π取3时，求剩下部分面积.
21.计算：（1-)(1-)(1-)…(1-)(1-).
参考答案
要点感知1 因式分解 因式分解
要点感知2 (a+b)(a-b) 二项 相反 平方差
预习练习2-1 3
2-2 C
1.B 2.B 3.A 4.C
5.(1)原式=(a+1)(a-1).
(2)原式=x2-92=(x-9)(x+9).
(3)原式=(x+3y)(x-3y).
(4)原式=(a-2b+5b)(a-2b-5b)=(a+3b)(a-7b).
6.C 7.C 8.D 9.a(a+2b)(a-2b)
10.(1)原式=3(x2-y2)=3(x+y)(x-y).
(2)原式=[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]=(2x+p+q)(p-q).
(3)原式=x(y2-4)=x(y+2)(y-2).
(4)原式=2(x4-1)=2(x2+1)(x2-1)=2(x2+1)(x+1)(x-1).
11.B 12.D
13.(1)2(x+2)(x-2)
(2)-x2y2(x+y)(x-y)
(3)(5-x)(x-1)
(4)(7a+b)(a+7b)
14.12
15.答案不唯一，如：x2-1
16.(1)原式=(3a+2b)(3a-2b).
(2)原式=(x2+4y2)(x2-4y2)=(x2+4y2)(x+2y)(x-2y).
(3)原式=(a-b)[(3a+b)2-(a+3b)2]=(a-b)［(3a+b)+(a+3b)］［(3a+b)-(a+3b)］=8(a+b)(a-b)2.
(4)原式=(x-y ( http: / / www.21cnjy.com ))3-(x2-y2)(x+y)=(x-y)3-(x+y)2(x-y)=(x-y)[(x-y)2-(x+y)2]=-4xy(x-y).
17.(1)原式=(401+599)×(401-599)=-198 000.
(2)原式=152-52=(15+5)×(15-5)=200.
18.设两个连续奇数为2n-1,2n+1(n为正整数).
则(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n,
所以两个连续奇数的平方差是8的倍数.
19.等式左边因式分解,得(2x-3y)(2x+3y),右边的31是一个质数,只可分解为1×31.
因为x,y为正整数，
所以解得
20.(1)πa2-πb2.
原式=π(a2-b2)=π(a+b)(a-b).
(2)当a=15.5 cm，b=5 ( http: / / www.21cnjy.com ).5 cm，π取3时，原式=3×(15.5+5.5)×(15.5-5.5)=3×21×10=630(cm2).
21.原式=(1+)(1-)(1+)(1-)(1+)(1-)…(1+)(1-)(1+)(1-)
=×××××…×××
=×××××…×××
=×
=.
第2课时 用完全平方公式因式分解
要点感知1 完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2.
适合用完全平方公式因式分解的多项式 ( http: / / www.21cnjy.com )的特点：①必须是__________；②两个平方项的符号__________；③第三项是两平方项的__________.
预习练习1-1 下列式子中,完全平方式有__________.(填序号)
①x2+4x+4；②1+16a2；③x2+2x-1；④x2+xy+y2；⑤m2+n2+2mn.
1-2 因式分解：x2+6x+9=__________.
要点感知2 因式分解的一般步骤： ( http: / / www.21cnjy.com )首先__________，然后再用__________进行因式分解.在因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止.
预习练习2-1 因式分解：3a2+6a+3=__________.
2-2 因式分解：x2y-4xy+4y.
知识点1 用完全平方公式因式分解
1.下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A.x2+x+1 B.x2+2x-1 C.x2-1 D.x2-6x+9
2.因式分解(x-1)2-2(x-1)+1的结果是( )
A.(x-1)(x-2) B.x2 C.(x+1)2 D.(x-2)2
3.因式分解：
(1) x2+2x+1=__________；
(2) x2-4(x-1)＝__________.
4.利用1个a×a的正方形,1个b×b ( http: / / www.21cnjy.com )的正方形和2个a×b的长方形可拼成一个正方形(如图所示),从而可得到因式分解的公式____________________.
( http: / / www.21cnjy.com )
5.因式分解：
(1)-x2+4xy-4y ( http: / / www.21cnjy.com )2； (2)4a4-12a2y+9y2； (3)(a+b)2-14(a+b)+49.
知识点2 综合运用提公因式法和公式法因式分解
6.把x2y-2y2x+y3因式分解正确的是( )
A.y(x2-2xy+y2) B.x2y-y2(2x-y) C.y(x-y)2 D.y(x+y)2
7.把a3-2a2+a因式分解的结果是( )
A.a2(a-2)+a B.a(a2-2a) C.a(a+1)(a-1) D.a(a-1)2
8.将多项式m2n-2mn+n因式分解的结果是__________.
9.把下列各式因式分解：
(1)2a3-4a2b+ ( http: / / www.21cnjy.com )2ab2； (2)5xm+1-10xm+5xm-1； (3)(2x-5)2+6(2x-5)+9；
(4)16x4-8x2y2+y4； (5)(a2+ab+b2)2-9a2b2.
10.下列多项式能因式分解的是( )
A.x2+y2 B.-x2-y2 C.-x2+2xy-y2 D.x2-xy+y2
11.(2013·西双版纳)因式分解x3-2x2+x正确的是( )
A.(x-1)2 B.x(x-1)2 C.x(x2-2x+1) D.x(x+1)2
12.下列各式：①x2-2xy-y2；② ( http: / / www.21cnjy.com )x2-xy+2y2；③x2+2xy+y2；④x2-2xy+y2,其中能用公式法因式分解的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
13.因式分解：4a3-12a2+9a=__________.
14.多项式ax2-a与多项式x2-2x+1的公因式是__________.
15.因式分解：16-8(x-y)+(x-y)2=__________.
16.若m=2n+1，则m2-4mn+4n2的值是__________.
17.把下列各式因式分解：
(1)16-8xy+x2y2； (2)9(a-b)2+12(a2-b2)+4(a+b)2；
(3)(2a+b)2-8ab; (4)3a(x2+4)2-48ax2.
18.利用因式分解计算：
(1)×3.72-3.7×2.7+×2.72； (2)1982-396×202+2022.
19.在三个整式x2+2xy,y2+2xy,x2中,请你任意选出两个进行加(或减)运算,使所得整式可以因式分解,并进行因式分解.
20.若|m+4|与n2-2n+1互为相反数,把多项式x2+4y2-mxy-n因式分解.
21.当a,b为何值时,多项式4a2+b2+4a-6b-8有最小值,并求出这个最小值.
参考答案
要点感知1 三项式 相同 底数的积的2倍
预习练习1-1 ①⑤
1-2 (x+3)2
要点感知2 提取公因式 公式法
预习练习2-1 3(a+1)2
2-2 原式=y(x2-4x+4)=y(x-2)2.
1.D 2.D
3.(1)(x+1)2
(2)(x-2)2
4.a2+2ab+b2=(a+b)2
5.(1)原式=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.
(2)原式=(2a2-3y)2.
(3)原式=(a+b-7)2.
6.C 7.D 8.n(m-1)2
9.(1)原式=2a(a2-2ab+b2)=2a(a-b)2.
(2)原式=5xm-1(x2-2x+1)=5xm-1(x-1)2.
(3)原式=[(2x-5)+3]2=(2x-2)2=4(x-1)2.
(4)原式=(4x2-y2)2=(2x+y)2(2x-y)2.
(5)原式=(a2+ab+b2+3ab)(a2+ab+b2-3ab)=(a2+4ab+b2)(a-b)2.
10.C 11.B 12.B 13.a(2a-3)2 14.x-1 15.（x-y-4）2 16.1
17.(1)原式=(4-xy)2.
(2)原式=［3(a-b)+2(a+b)］2=(5a-b)2.
(3)原式=4a2+4ab+b2-8ab=4a2-4ab+b2=(2a-b)2.
(4)原式=3a［(x2+4)2-16x2］=3a(x+2)2(x-2)2.
18.(1)原式=×(3.7-2.7)2=.
(2)原式=(198-202)2=16.
19.(x2+2xy)+x2=2x2+2xy=2x(x+y)；
或(y2+2xy)+x2=(x+y)2；
或(x2+2xy)-(y2+2xy)=x2-y2=(x+y)(x-y)；
或(y2+2xy)-(x2+2xy)=y2-x2=(y+x)(y-x).
20.由题意可得|m+4|+（n-1）2=0,
所以解得
所以，原式=x2+4y2+4xy-1=（x+2y）2-1=（x+2y+1）（x+2y-1）.
21.4a2+b2+4a-6b-8=(4a2+4a+1)+(b2-6b+9)-18=(2a+1)2+(b-3)2-18,
当2a+1=0,b-3=0时,原多项式有最小值.
这时a=-,b=3,这个最小值是-18.