2023-2024学年辽宁省沈阳120中高一（下）第三次质检数学试卷（含答案）

2023-2024学年辽宁省沈阳120中高一（下）第三次质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.设，是空间中的两条直线，，是空间中的两个平面，下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则与相交
C. 若，，，则 D. 若，，，则与没有公共点
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，，那么，，之间的大小顺序为( )
A. B. C. D.
5.已知正三棱台的上、下底面的棱长分别为和，侧棱长为，则该正三棱台的体积为( )
A. B. C. D.
6.在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则( )
A. B. C. D.
7.如图，在棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点含边界，若平面，则线段长度的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
8.已知函数，且，都有，则的取值范围可能是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，，为复数，，下列命题中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.在中，角，，所对的边分别是，，，且，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若，且有两解，则的取值范围为
C. 若，且为锐角三角形，则的取值范围为
D. 若，且，为的内心，则
11.半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体某半正多面体由个正三角形和个正六边形构成，其可由正四面体切割而成在如图所示的半正多面体中，若其棱长为，则下列结论正确的是( )
A. 该半正多面体的表面积为
B. 该半正多面体的体积为
C. 该半正多面体外接球的表面积为
D. 若点，分别在线段，上，则 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，若，则 ．
13.中，角，，满足，则的最小值为______．
14.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看作是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体如图，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是，如图，已知，是以为直径的圆上的两点，，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，函数．
求的最小正周期以及单调递增区间；
当时，求的值域．
16.本小题分
已知四棱锥中，底面是梯形，，，，，，，分别是，的中点求证：
平面；
．
17.本小题分
如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为为钝角，且．
求小岛与小岛之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；
记为，为，求的值．
18.本小题分
如图，在三棱台中，，分别是，的中点，，平面，且．
求证：平面；
若，为等边三角形，求四棱锥的体积．
19.本小题分
某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由，直角梯形和以为圆心的四分之一圆弧构成，其中，，，且，，，将平面图形以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花．
求该烟花的体积；
工厂准备将矩形该矩形内接于图形，在弧上，在线段上，在上旋转所形成的几何体用来安放燃料，设，
请用表示燃料的体积；
若烟花燃烧时间和燃料体积满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间．
参考答案
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15.解：由，，得，
．
的最小正周期为，
由，解得，．
函数的单调递增区间为，；
当时，，可得的值域为
16.证明：如图，取的中点，连结，，
因为是的中点，
所以，，
又，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
连结，，，
因为，是的中点，
所以，
在中，，，，
所以，
由条件，所以，
又是的中点，所以，
因为，平面，，
所以平面，
因为平面，
所以．
17.解：，且为钝角，，
在中，由余弦定理可得，
，即，
解得：或舍去．
小岛与小岛之间的距离为．
、、、四点共圆，与互补，则，
．
在中，由余弦定理得：，
，得，
解得舍去或．
平方；
在中，由正弦定理得：，
即，解得．
，为锐角，则，
又，
，
．
18.证明：在三棱台中，，分别是，的中点，，
，，
四边形是平行四边形，，
，，
D、平面，、平面，
平面平面，
平面，平面．
解：，为等边三角形，
，平面，且．
，，，，
四棱锥的体积：
．
19.解：该烟花由半球，圆台，圆锥三部分组成，
又，，，
所以该烟花的体积．
由图可知：，，
在梯形中，由，，
易知，故C，
则，
所以．
由上问可知：
即
，
令，则，
上式即为，
又令，，则，
当时，，
当时，，
当时，，
当且仅当，即，即时，等号成立，满足题意．
该烟花燃烧的最长时间为．
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