2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市六校联考高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市六校联考高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. 或 D. 或
2.设某制造公司进行技术升级后的第个月的利润为单位：百万元，根据统计数据，求得关于的经验回归方程为，若时的观测值，则时的残差为( )
A. B. C. D.
3.若定义在上的函数有，则的单调递减区间是( )
A. B. C. D.
4.李白的一句“烟花三月下扬州”让很多人对扬州充满向往据统计，唐朝约有名诗人写下了多首与扬州有关的诗篇，某扬州短视频博主从中选取了首，制作了分别赏析这首诗的个短视频含甲、乙，准备在某周的周一到周日发布，每天只发布个，每个短视频只在其中天发布，若甲、乙相邻两天发布，则这个短视频不同的发布种数为( )
A. B. C. D.
5.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )
A. 函数在上单调递增
B. 函数至少有个极值点
C. 函数在上单调递减
D. 函数在处取得极大值
6.已知随机变量，若，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数有个不同的零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.小明在某不透明的盒子中放入红黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉未看被丢掉小球的颜色现从剩下个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
10.甲、乙、丙、丁人每人随机选取、，三种编程语言之一进行学习，每种编程语言至少有人学习，表示事件“甲学习编程语言”；表示事件“乙学习编程语言”；表示事件“乙学习编程语言”，则( )
A. 事件与相互独立 B. 事件与不是互斥事件
C. D.
11.已知定义域为的函数的导函数为，若函数和均为偶函数，且，，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量的分布列，则 ______．
13.已知，是函数的两个极值点，若，且的极小值为整数，则 ______．
14.五一小长假，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去某景点游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：一个会走路的机器人从一数轴上的点出发沿该数轴行走，游客可以设定机器人总共行走的步数，机器人每一步会随机选择前或向后行走，且每一步的距离均为一个单位，设机器人走完设定的步后所在位置对应数为随机变量，则 ______， ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
若，求的值；
若，求的值．
16.本小题分
已知函数．
求在点处的切线方程；
求函数的极值．
17.本小题分
光明高级中学高三年级理科考生人都参加了本学期的期中调研测试，学校把本次测试数学成绩达到分以上包含分的同学的数学成绩等第定为优秀，物理成绩达到分以上包含分的同学的物理成绩等第定为优秀现从理科考生中随机抽取名同学调研本次测试的数学和物理成绩，如下表：
数学分
物理分
试列出列联表，并依据的独立性检验分析能否认为本次测试理科考生的数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第是否优秀有关？
如果本次测试理科考生的物理成绩，用样本估计总体，以名同学物理成绩的平均数为，方差为，若从参加考试的名理科考生中随机抽取人，求这人中至少有人的物理成绩的等第优秀的概率．
参考数据：取，，，．
若，则，，．
．
18.本小题分
年月日月日，“与辉同行”开启了一场深入中原的文化之旅，让河南文旅打开了流量密码某景区趁此时机，举行五一游该景区网上购票抽奖活动，在网上购买该景区门票的游客，可通过手机扫景区提供的二维码进入抽奖活动页面，每张门票可从个减免红包中随机抽取个，个红包的金额分别为元、元、元、元、元、元，已知该景区门票每张元，全部实行网上购票．
记购买张门票的游客通过抽奖获得的红包金额之和为，求的分布列与期望；
已知每位游客除门票外平均在该景区消费元、元、元的概率分别为，，，举行此抽奖活动后预计可使该景区五一期间客流量增加，假设每位购票游客都进行了抽奖，回答下列问题并说明理由：
举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入是增加了，还是减少了？
举行抽奖活动后该景区在五一期间的总收入是增加了，还是减少了？
19.本小题分
定义：若函数与的图象在上有且仅有一个交点，则称函数与在上单交，此交点被称为“单交点”已知函数，，．
讨论函数的单调性；
当时；
求证：函数与在上存在“单交点”；
对于中的正数，证明：．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：在中，
取，得，
取，得，
以上两式相减，得．
的通项为，
若，可得，
所以，解得或．
16.解：函数的定义域为，，
所以，
又，
故在点处的切线方程为，即．
令，则，
解得，，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，取得极大值，
当时，取得极小值．
17.解：由题意可得，列联表为：
物理优秀 物理非优秀 总计
数学优秀
数学非优秀
总计
零假设：本次测试理科考生的数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第是否优秀无关，
则，
依据小概率值的独立性检验，我们推断成立，即认为数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第优秀无关；
由题意可得：物理成绩的平均分为分，
方差，
结合题意可知：，即，，则，
可得，
记“人中至少人物理成绩的等第优秀”为事件，
可得，
所以人中至少人物理成绩的等第优秀的概率为．
18.解：由题意得的取值可以是，，，，，，，．
，
，
，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：
．
假设不举行抽奖活动，该景区在五一期间客流量为人，则门票收入为元，
举行抽奖活动后该景区在五一期间门票收入为，
所以举行抽奖活动后该景区在五一期间门票收入减少了．
每位游客除门票外平均在该景区消费元、元、元的概率分别为，，，
则期望值为，
不举行抽奖活动，该景区在五一期间总收入为，
举行抽奖活动后该景区在五一期间总收入为，
所以举行抽奖活动后该景区在五一期间总收入增加了．
19.解：，
当时，对任意恒成立，故函数在上单调递增；
当时，令，得；令，得，
故函数在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
证明：令，得，得，
令，则，
设，则，
当时，，单调递减．
即在上单调递减，
且，，，，
故，使得．
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
因为，，
所以在上只有一个零点，故函数在上只有一个零点，
即函数与在上存在“单交点”．
因为，所以要证，即证，
即证，只需证．
因为，得，
所以只需证即可．
令，，则．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
故，即，
原不等式即证．
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