2023-2024学年福建省福州四中高一（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年福建省福州四中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若其中是虚数单位，则实数( )
A. B. C. D.
2.已知是实数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.如图是甲、乙两人高考前次数学模拟成绩的折线图，则下列说法错误的是( )
A. 甲的数学成绩最后次逐渐升高
B. 甲的数学成绩在分以上的次数多于乙的数学成绩在分以上的次数
C. 甲有次考试成绩比乙高
D. 甲数学成绩的极差小于乙数学成绩的极差
4.已知为虚数单位，复数满足，则复数对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.若一个轴截面为正三角形的圆锥的顶点在球的表面上，底面圆心与重合，则该圆锥的表面积与球的表面积之比为( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
6.在正四棱柱中，，点，，分别是，，的中点，则过点，，的平面截正四棱柱所得截面多边形的周长为( )
A. B. C. D.
7.已知在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，满足，，若恰有个零点，则这个零点之和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，，，，则
D. 若，，，则
10.设向量，，则( )
A. B.
C. D. 与的夹角为
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A.
B. 函数的最小正周期为
C. 是函数图象的一条对称轴
D. 函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
12.已知函数和实数，，则下列说法正确的是( )
A. 定义在上的函数恒有，则当时，函数的图象有对称轴
B. 定义在上的函数恒有，则当时，函数具有周期性
C. 若，，，则，恒成立
D. 若，，，且的个不同的零点分别为，，，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
13.若圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则此圆锥的体积为 ．
14.已知单位向量满足，则向量的夹角为______．
15.设，是正实数，记为，，中的最小值，则的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
为落实国家“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于年在其扶贫基地投入万元研发资金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长．
写出第年年为第一年该企业投入的资金数万元与的函数关系式，并指出函数的定义域；
该企业从第几年开始年为第一年，每年投入的资金数将超过万元？
参考数据，，，
17.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知函数的一条对称轴为，且．
求的值；
若，求边上的高的最大值．
18.本小题分
在中，，，分别为角、、的对边，且满足．
Ⅰ求角的值；
Ⅱ若，设角的大小为，的周长为，求的最大值．
19.本小题分
如图，三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，，点是的中点．
求证：；
求三棱锥的体积．
20.本小题分
如图所示，在中，，，，为的平分线，点在线段上，如图所示，将沿折起，使得平面平面，连接，设点是的中点．
求证：平面；
若平面，其中为直线与平面的交点，求三棱锥的体积．
21.本小题分
已知函数．
当时，解关于的不等式；
若的值域为，关于的不等式的解集为，求实数的值；
设，函数的最大值为，且当时，恒成立，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：第一年投入的资金数为万元，
第二年投入的资金数为万元，
第年年为第一年该企业投入的资金数万元与的函数关系式万元，
其定义域为；
由可得，即，
即企业从第年开始年为第一年，每年投入的资金数将超过万元．
17.解：函数一条对称轴为，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，．
由余弦定理得：，当且仅当时取等号，
，
又，
的面积最大值为．
故对应高的最大值为：．
18.解：Ⅰ在中，由及余弦定理，
得，
而，则；
Ⅱ由，及正弦定理，
得，
而，则
，
于是，
由，得，
当即时，．
19.解：证明：平面，平面，
又，，，，
又，平面，平面
平面又平面，
；
由知平面，
点到平面的距离为，又是的中点，
点到平面的距离为
，
．
20.解：取的中点，连接，
因为在中，，，，为的平分线，
所以，是等腰三角形，所以，，，，
又点在线段上，，
所以，，所以，
，；
将沿折起，使得平面平面，平面平面
平面；
若平面，其中为直线与平面的交点，为的中点，此时，
因为在中，，，，为的平分线，
所以，，
所以到的距离，
因为平面平面，平面平面，
所以到的距离就是三棱锥的高，
三棱锥的体积：，
或．
21.解：当时，由得，
即，
当，即时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为．
由的值域为，得，
因为关于的不等式的解集为，
所以，是方程的两个实根，
即的两根之差为，
所以，则，得．
，则，
则时，恒成立，
又
因为的最大值为，所以在上的最大值为，
由图象开口向上，得，即，
则，且，
此时由时，恒成立，
得恒成立，且，得，
要满足时，恒成立，则，，解得，综上，，
此时．
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