模型2轻杆与支架模型（有解析）--物体静态平衡的三种模型解读与精练学案

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物体静态平衡的三种模型解读与精练
模型二 轻杆与支架模型
【模型解读】
轻杆与支架模型包含容易混淆的“定杆”与“活杆”。
对于“定杆”，解题时要注意“定杆”中的弹力可以是支持力，也可以是压力或拉力，而支持力和压力的方向既可以沿杆，也可以不沿杆。对于“动杆”，一般是指轻杆的一端通过铰链固定，而另一端与小球或其他物体连接的情况。解答“动杆”类问题的两部曲是：一是分析受力——注意“动杆”中弹力方向一定沿轻杆（轻杆两端点连线）；二是列方程求解，若轻杆端物体处于平衡状态时，可以利用共点力平衡条件列方程解答；若轻杆端物体具有速度，则轻杆两端沿轻杆方向的分速度大小相等。
【典例分析】
【典例1】（名师原创，多选）质量分别为mP和mQ的小球通过铰链用轻杆连接，细绳绕过悬挂在天花板上的定滑轮（滑轮大小不计）两端系在两小球上，如图所示。两小球静止，为定滑轮正下方轻杆上的一个点。两小球到点距离分别为xP和xQ，到定滑轮的距离分别为lP和lQ，且lP lQ=1 2，细绳与竖直方向的夹角分别为θ1和θ2，细绳中拉力大小为FT，轻杆中弹力大小为，则
A. B.
C. D.
【解析】绕过定滑轮的细绳上的力处处相等，对定滑轮受力分析，已知细绳中拉力大小为FT，轻杆中弹力大小为，整个系统静止，在水平方向上合力为0，根据平衡条件可知 ，所以，
【点拨】同一根细绳上的拉力相等，且力必定沿着细绳方向。
A错误；对两小球受力分析，画出受力示意图，设到定滑轮的距离为，利用力的矢量三角形和几何三角形相似，可得
【模型建构】建构相似三角形模型。力三角形和几何三角形相似，对应边之比相等，根据已知条件解题。
，，联立解得，，，C错误，B、D正确。
【答案】BD
【典例2】（2023.辽宁抚顺三模）如图所示，水平轻杆左端固定，细绳跨过右端的轻质光滑定滑轮悬挂一质量为的物体，静止时，重力加速度为，下列说法正确的是
A.细绳段的张力
B.轻杆对轻质定滑轮的弹力，方向沿指向右侧
C.若杆左端用铰链固定在竖直墙壁上，另一端通过细绳拉住，则轻杆对轻质定滑轮的弹力，方向沿指向右侧
D.若杆左端用铰链固定在竖直墙壁上，另一端通过细绳拉住，则细绳段的张力
【解析】水平轻杆为“定杆”，细绳跨过右端的轻质光滑定滑轮悬挂一质量为的物体，定滑轮为“活结”，滑轮两侧轻绳中拉力相等，所以细绳段的张力，A错误；对定滑轮受力分析，由平衡条件可知，轻杆对轻质定滑轮的弹力，方向沿的平分线指向，B错误；若杆左端用铰链固定在竖直墙壁上，则为
【注意】“定杆”上的弹力大小和方向一般由杆端物体的运动状态和受力情况来决定，杆上的力可以不沿杆的方向。
“活杆”，另一端通过细绳拉住，则轻杆中弹力方向沿轻杆方向，对轻杆端点C受力
【拓展】轻质“定杆”一般对杆端物体受力分析，运用牛顿第二定律列方程解答。对于质量不可忽略的“定杆”，可以把“定杆”看作轻质“定杆”+“定杆”重心处的质点构成。
分析，由平衡条件可得,解得轻质定滑轮的弹力，方向沿指向右侧，C错误；由，解得细绳段的张力，D正确。
【答案】D
调2023版 试题调研 1辑 P55 模型辨析 句点改为句号
【模拟题精练】
1.（名师原创，多选）质量分别为mP和mQ的小球与质量为的圆环（可视为质点）用三根轻杆通过铰链连接，用轻绳悬挂在天花板上，静止后如图所示。不计铰链的摩擦（连接小球和圆环的轻杆可以自然成任意角度），轻杆上弹力沿轻杆方向。已知为竖直线，之间的距离为xP，之间的距离为xQ，之间轻杆长度为lP，与竖直线之间的夹角为θ1，之间轻杆长度为lQ，与竖直线之间的夹角为θ2，则
A. 三根轻杆与小球、圆环组成的整体的重心为点
B. 之间轻杆上的弹力与之间轻杆上的弹力之比为
C. 之间轻杆上的力一定为支持力
D. mP：mQ = xP ：xQ
【参考答案】. BC
【名师解析】
三轻杆与小球、圆环组成的整体的重心在连线上，重心一定在点正上方，A错误；设之间轻杆上的弹力大小为FP，之间轻杆上的弹力大小为FQ，对圆环受力分析，在水平方向由平衡条件可得，解得，B正确；对两球受力分析，根据平衡条件，画出力的示意图，如图所示，由图可知，之间轻杆对小球的力一定为支持力，C正确；由相似三角形有，，联立解得mP mQ = xQ xP ，D错误。
2.（2023.河北九师联盟质检）如图所示，长度为的木棒一端支在光滑竖直墙上的点，另一端点被轻质细线斜拉着挂在墙上的点而处于静止状态，细线与木棒之间的夹角为，两点之间的距离为，墙对木棒的支持力为，重力加速度为，下列说法正确的是
A. 细线与竖直墙之间的夹角的正弦值为
B. 木棒受到三个力（或延长线）可能不交于同一点
C. 细线对木棒的拉力大小为
D. 木棒的质量为
【参考答案】. C
【名师解析】设细线与竖直墙之间的夹角为，在△中由正弦定理可得，解得，故A错误；根据共点力平衡的原理，木棒受到的三个力（或延长线）一定交于同一点，故B错误；
【注意】竖直墙光滑，木棒只受支持力，不受摩擦力，木棒三力平衡。
设细线的拉力为T，木棒的质量为m，对木棒受力分析如图，由力的平衡条件有，，又，解得，，故C正确，D错误。
3.（2024贵州铜仁名校联考）某体育场看台的风雨棚是钢架结构的，两侧倾斜钢柱用固定在其顶端的钢索拉住，下端用较链与水平地面连接，钢索上有许多竖直短钢棒将棚顶支撑在钢索上，整个系统左右对称，结构简化图如图所示。假设钢柱与水平地面所夹锐角为60°，钢索上端与钢柱的夹角为30°，钢索、短钢棒及棚顶的总质量为m，重力加速度为g。则钢柱对钢索拉力的大小为
A.mg B.mg C. mg D.2mg
【参考答案】B
【命题意图】 本题以体育场风雨棚为情景，考查平衡条件，考查的核心素养是“运动和力”的观点。
【解题思路】把钢索、短钢棒和棚顶看作整体，分析受力，受到竖直向下的重力mg，两侧钢柱对钢索的拉力F，根据等大二力的合力公式可得2Fcos60°=mg，解得F=mg，选项B正确。
【模型探讨】此题可以把钢索、短钢棒和棚顶整体抽象为质点，画出受力分析图，如图所示，事半功倍，迎刃而解。
4. （2024江苏南通名校联考）如图所示，一小球固定在轻杆上端，AB为水平轻绳，小球处于静止状态，则杆对小球的作用力方向可能是(　　)
A. F1 B. F2 C. F3 D. F4
【参考答案】BC
【名师解析】
小球处于静止状态，则杆对小球的作用力方向在重力与绳子拉力夹角的对顶角范围内（不含水平方向），如图所示；所以杆对小球的作用力方向可能是F2和F3，故BC正确、AD错误。
【关键点拨】。
小球处于静止状态，根据平衡条件确定杆对小球的作用力可能的方向。
本题主要是考查了共点力的平衡问题，对应三力平衡，其中任何一个力都和另外两个力的合力平衡。
5. （2024河北衡水联考）如图所示为一种可折叠壁挂书架，一个书架用两个三角形支架固定在墙壁上，书与书架的重心始终恰好在两个支架横梁和斜梁的连接点O、O′连线中点的正上方，书架含书的总重力为60N，横梁AO、A′O′水平，斜梁BO、B′O′跟横梁夹角为37°，横梁对O、O′点拉力始终沿OA、A′O′方向，斜梁对O、O′点的压力始终沿BO、B′O′方向，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，则下列说法正确的是（　　）
A. 横梁OA所受的力为80N
B. 斜梁BO所受的力为50N
C. O、O′点同时向A、A′移动少许，横梁OA所受的力变大
D. O、O′点同时向A、A′移动少许，斜梁BO所受的力变大
【参考答案】B
【名师解析】
两个三角架承担的力为60N，每个三角架为30N，对O点受力分析，如图甲所示
故A错误，B正确；
CD．O、同时向A、移动少许，对O点受力分析，如图乙虚线所示
三角形AOB与力三角形相似，所以有
AB与BO长度未变，AO长度减小，故不变，减小，故CD错误。
。
6. （2024洛阳名校联考）如图所示，重为10 N的小球套在与水平面成37°角的硬杆上，现用一垂直于杆向上、大小为20 N的力F拉小球，使小球处于静止状态(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．则(　　)
A． 小球不一定受摩擦力的作用
B． 小球受摩擦力的方向一定沿杆向上，大小为6 N
C． 杆对小球的弹力方向垂直于杆向下，大小为4.8 N
D． 杆对小球的弹力方向垂直于杆向上，大小为12 N
【参考答案】B
【名师解析】对小球受力分析，把重力沿杆方向和垂直杆方向正交分解如图，由共点力平衡可知，Ff＝mgsin 37°＝10×0.6 N＝6 N，FN＝F－mgcos 37°＝20 N－8 N＝12 N、方向垂直于杆向下，故B正确，A、C、D错误．
7.（2024北京朝阳名校联考）. 如图甲所示，轻杆OB可绕B点自由转动，另一端O点用细绳拉住，固定在左侧墙壁上，质量为m 的重物用细绳OC悬挂在轻杆的O点，OA与轻杆的夹角∠BOA=30°。乙图中水平轻杆OB一端固定在竖直墙壁上，另一端O装有小滑轮，用一根绳跨过滑轮后悬挂一质量为m的重物，图中∠BOA=30°，以下说法正确的是（　　）
A. 甲图中绳对杆的压力不沿杆
B. 乙图中滑轮对绳的支持力与水平方向呈30°角指向右上方
C. 两图中结点O所受的支持力与绳AO段的拉力，这两个力的合力方向一定不同
D. 甲图中绳AO段与绳OC段上的拉力大小相等
【思路点拨】
甲图→“动杆”中弹力方向沿轻杆方向→以结点O为原点建立直角坐标系→将结点O所受各个力正交分解
乙图→“定杆”中弹力方向沿轻杆方向不沿轻杆方向→由滑轮两侧细线中拉力的合力方向确定“定杆”中弹力方向
【参考答案】B
【名师解析】对甲乙中O点受力分析如图；
甲图中轻杆为“动杆”，绳对杆的压力沿杆的方向，选项A错误；
乙图中轻杆为“定杆”其弹力方向需要根据平衡条件确定。由于滑轮两边绳子的拉力相等，根据平衡条件可知滑轮对绳的支持力的方向沿滑轮两边绳子拉力夹角平分线的反方向，与水平方向呈30°角指向右上方，选项B正确；两图中结点O所受支持力与绳AO段的拉力以及物体的重力三力的合力为零，则两图中结点O所受的支持力与绳AO段的拉力这两个力的合力方向与重力等大反向，则方向一定相同，选项C错误；由受力图可知，甲图中绳AO段与绳OC段上的拉力大小不相等，选项D错误。
【“定杆与动杆”辨析】
定杆 动杆
定义 一端固定的杆，例如插入墙壁的轻杆，固定于某点的轻杆。 可以绕光滑轴或铰链转动的轻杆。
图示
弹力方向 可以为任意方向 只能沿轻杆方向
弹力确定方法 根据共点力平衡条件或牛顿运动定律确定“定杆”中弹力的方向和大小。 根据共点力平衡条件或牛顿运动定律确定“动杆”中弹力的大小。
备注 “定杆”中的弹力可能是拉力，也可能是压力 “动杆”中的弹力可能是拉力，也可能是压力
8 （2024·天津南开名校联考）弹跳能力是职业篮球运动员重要的身体素质指标之一，许多著名的篮球运动员因为具有惊人的弹跳能力而被球迷称为“弹簧人”。弹跳过程是身体肌肉、骨骼关节等部位一系列相关动作的过程，屈膝是其中的一个关键动作。如图所示，人屈膝下蹲时，膝关节弯曲的角度为，设此时大、小腿部的肌群对膝关节的作用力的方向水平向后，且大腿骨、小腿骨对膝关节的作用力大致相等，那么脚掌所受地面竖直向上的弹力约为（　　）
A． B． C． D．
【参考答案】A
【名师解析】此题中骨骼可以视为轻杆，关节可以视为转轴，骨骼绕关节转动，可以视为动杆。关节受力如图所示。
设大腿骨和小腿骨对膝关节的作用力大小为F1，已知它们之间的夹角为θ，F即为它们的合力的大小，作出平行四边形定则如图所示，有
则脚掌对地面竖直向下的压力为小腿骨中力沿竖直方向的分力：即=
由牛顿第三定律可知脚掌所受地面竖直向上的弹力为，选项A正确。
【易错警示】根据题述，大腿骨、小腿骨对膝关节的作用力大致相等，得出绕同一转轴转动的两动杆中力大小相等，力的方向沿“动杆”即腿骨方向。
注意：小腿骨中力F沿竖直向下的分力等于脚掌对地面竖直向下的压力，水平分力不等于大、小腿部的肌群对膝关节的作用力。
9 （原创题）一质量为m的小球与两根过球心的轻杆连接，轻杆通过光滑铰链分别与固定点O和O’连接，如图。已知两轻杆分别与水平地面和竖直墙壁的夹角都为30°，则两轻杆受到小球的作用力大小分别为( )
A. mg， mg
B. mg，mg
C. mg，mg
D. mg，mg
【参考答案】B
【思路点拨】
隔离小球→分析受力→画出力矢量图→由平衡条件→轻杆中弹力。
【名师解析】两轻杆通过光滑铰链分别与固定点O和O’连接，为“动杆”，而“动杆”上弹力方向沿轻杆。对小球进行受力分析，小球所受重力mg竖直向下，下面轻杆对小球的受力方向沿轻杆斜向下，设为F1，上面轻杆对小球的受力方向沿轻杆斜向上，设为F2，如图。
在力矢量三角形中，由正弦定理，==，
解得F1=mg，F2=mg，选项B正确。
【一题多解】此题也可以小球为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立直角坐标系，将各力沿坐标轴方向分解，由平衡条件，F1cos30°=F2cos60°，F1sin30°+mg= F2cos30°，，解得：F1=mg，F2=mg。
10. （2024安徽六校期末联考）如图所示，轻绳OA、轻杆OB的O端与质量为m的小球拴接在一起，轻杆的B端通过铰链连接在竖直墙面上，小球处于静止状态，且OA=OB，OB与竖直方向的夹角为60°，重力加速度为g，则（ ）
A.轻绳OA受到的拉力大小为mg
B.轻杆OB受到的弹力大小为mg
C.若将A点缓慢向下移动一小段距离，则轻绳OA受到的拉力将变大
D.右将A点缓慢向下移动一小段距离，则轻绳OA受到的拉力将变小
【参考答案】.AC
【名师解析】对小球进行受力分析，如图所示，由几何关系可知，选项A正确，B错误；若将A点向下移动一小段距离，OB与竖直方向所成的夹角将增大，则由小球受力分析图可知轻绳OA受到拉力变大，选项C正确，D错误.
11. （2024山东济南历城二中质检）如图，轻质细杆上穿有一个质量为的小球，将杆水平置于相互垂直的固定光滑斜面上，系统恰好处于平衡状态。已知左侧斜面与水平面成角，则左侧斜面对杆支持力的大小为（　　）
A B. C. D.
【参考答案】B
【名师解析】
对轻杆和小球组成的系统进行受力分析，如图
设左侧斜面对杆AB支持力的大小为，由平衡条件有
得
故选B。
12. （2024广东名校联考）如图，家用小型起重机拉起重物的绳子一端固定在起重机斜臂顶端，另一端跨过动滑轮A和定滑轮B之后与电动机相连。起重机正将重为G的重物匀速竖直上拉，忽略绳子与滑轮的摩擦以及绳子和动滑轮A的重力，∠ABC=60°，则（　　）
A. 绳子对定滑轮B的作用力方向竖直向下
B. 绳子对定滑轮B的作用力方向与BA成30°斜向下
C. 绳子对定滑轮B的作用力大小等于G
D. 绳子对定滑轮B的作用力大小等于
【思路点拨】起重机斜臂可以视为“定杆”，其对滑轮的作用力方向不沿杆。起重机斜臂顶端的滑轮为“活结”，两侧绳子的拉力相等。
【参考答案】BD
【名师解析】绳子对定滑轮的B的作用力为BA和BC两段绳子弹力的合力，方向斜向左下，故A错误；B．C．D．重物匀速运动，则任意段绳子的弹力等于重力的一半，即。由平行四边形可知，合力方向延∠ABC的角平分线，与BA夹角30°斜向下，大小为,故BD正确，C错误。此题正确选项为BD。
13（2022重庆育才中学二模）如图所示，水平地面上有一铁板，铁板上有一倾角为的活动木板，质量分别为mA和mB的物体A、B用轻绳连接后跨过滑轮，A、B均处于静止状态。现将木板的倾角缓缓减小到10°， A与斜面始终保持相对静止，B物体始终悬在空中。已知mA =2mB，不计滑轮摩擦。 下列说法正确的是（　　）
A. 绳子对A的拉力将减小
B. 铁板对地面的压力将逐渐减小
C. 地面对铁板的摩擦力将逐渐增大
D. 物体A受到的摩擦力先减小后增大
【参考答案】D
【名师解析】由于定滑轮两侧轻绳中拉力相等，轻绳中拉力等于B的重力，所以轻绳对A的拉力保持不变，A错误；对整体受力分析，根据平衡条件有FN=G总 ，将木板的倾角缓缓减小到10°时，铁板对地面的支持力与倾斜角无关，保持不变，由牛顿第三定律可知铁板对地面的压力也保持不变，所以B错误；对整体受力分析，根据平衡条件可知，整体只受重力与支持力，所以地面的摩擦力为0，则C错误；由于mA =2m B，，所以开始时摩擦力方向沿斜面向上，对物体A，根据平衡条件有，当将木板的倾角θ由45°缓缓减小到30°过程中，摩擦力f减小到0。将木板的倾角θ缓缓从30°减小到10°过程中，摩擦力方向沿斜面向下，由平衡条件，有，摩擦力f随倾角θ的减小而增大。所以将木板的倾角由45°缓缓减小到10°的过程中，物体A受到的摩擦力先减小后增大，选项D正确；
【秒解】分析整体，重心偏向左边，所以左边的小球质量更大，mP：mQ = xP ：xQ不符合实际，D错误。
【审题指导】此题三轻杆通过铰链连接，看似动杆，实则是定杆，圆环和小球构成的三角形形状不变，所以是定杆模型。若将圆环改成定滑轮，用轻绳绕过定滑轮两端系在两小球上，则成为动杆模型。
S
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