上海市宝山区2023-2024学年高二下学期期末考试 数学（含解析）

宝山区2023-2024学年高二下学期期末考试
数学试卷
考生注意：
1.本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；
2.本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；
3.在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；
4.可使用符合规定的计算器答题.
一 填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.
1. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为__________.
2. 在等差数列中，，则的值是__________.
3. 若双曲线的一条渐近线方程为，则实数___________．
4. 若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为__________.
5. 经过点，且与直线平行的直线的方程为___________.
6. 已知向量，，则在方向上的投影向量为__________.
7. 如图，在四面体中，是的中点，，设，，，则__________.（用表示）
8. 中中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.其意思是：有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了__________里.
9. 在数列中，，且，则__________.
10. 抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为__________.
11. 已知点在椭圆上，为椭圆右焦点，直线与圆相切，且（为原点），则椭圆的离心率为______.
12. 我国著名数学家华罗庚说“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”，包含意思是：几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述，通过“数”与“形”的相互转化，常常可以巧妙地解决问题，所以“数形结合”是研究数学问题的重要思想方法之一.比如：这个代数问题可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点可得，方程的解为__________.
二 选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分），每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得多分.
13. “”是“曲线表示椭圆”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
14. 已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（ ）
A. ⊥ B.
C 与相交但不垂直 D. 或
15. 已知曲线，过点作该曲线的5条弦，这些弦的长度构成一个递增的等差数列，则该数列公差的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
16. 已知实数满足，则取值范围是（ ）
A. B. C. D.
三 解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤.
17. 已知直线和直线.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
18. 已知等差数列首项为1，前项和为，且是3与的等比中项.
（1）求数列的通项公式：
（2）若是数列的前项和，求的最小值.
19. 从空间一点出发作三条两两互相垂直的坐标轴，可以建立空间直角坐标系.如果坐标系中的坐标轴不垂直；那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.设是空间中相互成角的三条坐标轴，其中分别是轴 轴 轴正方向的单位向量.
（1）计算的值，
（2）若向量，则把有序数对叫做向量在该斜坐标系中的坐标.已知
①求的值；
②求的面积：
20. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，且.
（1）求证：；
（2）当为钝角时，求实数的取值范围；
（3）若二面角的大小为，求点到平面的距离.
21. 已知椭圆的离心率为，左 右顶点分别为，左 右焦点分别为，过右焦点的直线交椭圆于点，且的周长为16.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记直线的斜率分别为，证明：为定值：
（3）记的面积分别为，求的取值范围.
参考答案与解析
1.
【解析】因为直线的方程为，
所以直线的斜率1，
令直线倾斜角为，则，
因为，
所以.
2. 12
【解析】等差数列中， ，则，
所以.
3. 9
【解析】由题知双曲线的焦点在 轴上，
所以 即
解得
4.
【解析】令，解得，故经过定点坐标为.
5.
【解析】直线与直线平行，则，直线方程为，
即.
6.
【解析】，又，
在方向上的投影向量为.
7.
【解析】为中点，；
，；
.
8. 96
【解析】由题意，此人每天走的路程可以构成等比数列，
公比，，
因为，解得，
所以（里）.
9. 5
【解析】
，
，
…
，
各式累加得.
10.
【解析】由，得，所以，准线为，
不妨设点在第一象限，过作于，则，得，
则，得，所以，
设点关于直线对称点为，则，
所以，
当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为，
11.
【解析】如图所示，左焦点为，
设圆的圆心为C，切圆C于A，则半径.
∵，∴，
则，∴，
∴，化简得.
∴ 椭圆的离心率为.
12.
【解析】原方程可化为，
其几何意义为点到，距离之差的绝对值等于，
则该点的轨迹满足双曲线的定义，根据双曲线的定义得：，，，所以，
又因为双曲线焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为：，
令得，所以原方程的解为。
13. “B
【解析】因为曲线为椭圆，
所以，解得且，
所以“”是“且”的必要而不充分条件.
14. D
【解析】因为，
所以，所以或.
15. B
【解析】曲线，即
由已知圆的圆心为，半径为，因为，
所以点在圆内，且，
所以过点的最短弦长为，最长弦长为直径长，
从而公差.
16. A
【解析】当，表示椭圆第一象限部分；
当，表示双曲线第四象限部分；
当，表示双曲线第二象限部分；
当，不表示任何图形；
以及两点，
作出大致图象如图：
曲线上的点到的距离为，
根据双曲线方程可得第二四象限双曲线渐近线方程都是，
直线与距离为，
曲线二四象限上的点到的距离为小于且无限接近1，
联立，消得，
，且，
所以直线与椭圆第一象限部分由两个交点，
考虑曲线第一象限的点到距离得最小值为，
所以，
所以的取值范围是.
17. （1）0或2
（2）
【解析】（1）若，则
，解得或2；
（2）若，则
，解得或1.
时，，满足，
时，，此时与重合，
所以.
18. （1）
（2）
【解析】（1）设等差数列的公差为，由题意，
即，解得，
所以，
即数列的通项公式为.
（2）由，
.
因为，即，
所以为严格增数列，
所以时，有最小值.
19. （1）
（2）①，②
【解析】（1）
同理，
所以.
（2）①，
，
所以
②，
同理，
，
，
等腰三角形中，可计算得边上的高为，
所以的面积为.
20. （1）证明 因为底面为正方形，底面，
如图以点为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
因为，
所以；
（2）
（3）
【解析】
（2）因为，
所以，
所以，，
当为钝角时，，
化简得，解得，
显然不平行，所以；
（3）因为，，显然，
设是平面的一个法向量，
则，
令，则，则，
又平面的一个法向量为，
则有，解得，
又由已知，所以.
所以，，
由，
所以点到平面的距离为.
21. （1）
（2）证明 如图：
设
设直线的方程为：.
联立得：
所以.
所以，即：
又，则
所以为定值.
（3）
【解析】（1）由的周长为16可知：，即
又离心率为所以
.
所以椭圆的方程为：.
（3）由题意可知：
由（2）知.
所以
.
令，则
则
因为在上严格增，
所以当，即时，取得最大值为.
所以的取值范围是.