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第一章《 直角三角形的边角关系》复习试卷（解析版）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．如图，在中，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】分析：先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得．
详解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8，
∴BC=，
∴sinA=.
故选A．
2．计算的结果是（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】C
【详解】解：原式=
故选C．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AB＝10，AC的长是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【分析】根据角的余弦值与三角形边的关系即可求解．
【详解】解：∵∠C＝90°，cosA＝，AB＝10，
∴AC＝6．
故选：B．
如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，
则坝底AD的长度为（ ）
A．26米 B．28米 C．30米 D．46米
【答案】D
【详解】∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，
∴AE=1.5BE=18米，
∵BC=10米，
∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，
故选D．
如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，
∴斜边为，
∴cos∠ABC=，
故选：B．
小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，
如图，旗杆的高度与拉绳的长度相等，小明先将拉到的位置，
测得为水平线），测角仪的高度为米，则旗杆的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，根据，列出方程即可解决问题．
【详解】解：设PA=PB=PB′=x，
在RT△PCB′中，
∴
∴，
∴（1-）x=1，
∴x=．
故选C．
某长江大桥采用低塔斜拉桥桥型(如甲图)，图乙是从图甲引申出的平面图，
假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索BD与水平桥面的夹角是60°，
两拉索底端距离AD＝20米，则立柱BC的高为（ ）
A．20米 B．10米 C．10米 D．20米
【答案】C
【分析】首先证明BD=AD=20米，解直角三角形求出BC即可．
【详解】解：∵∠BDC=∠A+∠ABD，∠A=30°，∠BDC=60°，
∴∠ABD=60°30°=30°，
∴∠A=∠ABD，
∴BD=AD=20米，
∴BC=BD sin60°=10（米），
故选：C
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝2，CD⊥AB于D，
设∠ACD＝α，则cosα的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用互余的性质证出∠ACD＝∠B，然后利用勾股定理求出BC的长，再求出∠B的余弦，即可得出答案.
【详解】解：∵CD⊥AB，
∴∠A +∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A +∠B＝90°，
∴∠B＝∠ACD＝α，
在Rt△ABC中，
∵，
∴cos∠B＝
∴cosα＝.
故选A
如图，学校环保社成员想测得斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，
然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，且坡度为，
则树AB的高度是 （ ）
A． B．30m C． D．40m
【答案】B
【分析】根据坡度的定义先求解出DE和EC，然后结合题意可知四边形为矩形，从而结合仰角的定义分别在，中，表示出AB，从而建立等式求解即可．
【详解】解：∵斜坡CD的长度为20m，且坡度为，
∴设，则，
在中，，
即：，
解得：，
∴，，
由题意知，，，四边形为矩形，
∴，
设，则，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
即：树AB的高度是30m，
故选：B．
10．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF=AF，EF=AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出再由三角函数定义即可得出答案．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E是边BC的中点，
∴BE=BC=AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴，
∴EF=AF，
∴EF=AE，
∵点E是边BC的中点，
∴由矩形的对称性得：AE=DE，
∴EF=DE，设EF=x，则DE=3x，
∴DF=x，
∴tan∠BDE= .
故选A．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共计18分）
11．若斜坡的坡度，则该斜坡坡角的度数是 ．
【答案】30度
【分析】根据坡度等于坡角的正切值即可求解．
【解析】解：如图，
由题意知，
即，
，
即该斜坡坡角的度数是．
故答案为：．
12 .已知△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且（cosA﹣）2+|tanB﹣1|＝0，则∠C＝ 度．
【分析】先根据非负数的性质确定cosA＝，tanB＝1，再根据特殊角的三角函数解答．
【解答】解：∵（cosA﹣）2+|tanB﹣1|＝0，
∴cosA＝，tanB＝1，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
13．如图，在△ABC中，∠B＝30°，AB＝3，BC＝4，则△ABC的面积为 ．
【分析】过点A作AD⊥BC，在Rt△ABD中先求出AD，求出△ABC的面积．
【解答】解：如图所示：∠A为钝角时，过点A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，
∵AB＝3，∠B＝30°，
∴AD＝．
∴S△ABC＝BC×AD＝3．
故答案为：3．
14 . 直线，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含的直角三角板按图示放置，
使其三个顶点分别在三条平行线上，则的值是_______
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识点．过点A作于D，过点B作于E，根据同角的余角相等求出，然后证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式求出，最后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可解答．
【解析】解：如图：过点A作于D，过点B作于E，
设 间的距离为，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在等腰直角中，，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴．
故选：
近几年，中国的无人机技术发展迅速，处于世界领先水平．某中学组织了“无人机进校园”活动，
用科技结合所学知识，为孩子们点亮科技梦．如图，无人机操控者在一综合楼外放飞无人机，
当无人机飞行到一定高度处时，无人机测得操控者的俯角为，
测得综合楼的顶点处的俯角为．已知操控者和综合楼之间的距离为，
综合楼的高度为．求此时无人机的高度．（假设点，，，都在同一平面内．
参考数据：，，）
【答案】
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用——仰角、俯角．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键．
如图，过点作于点，过点作于点．则四边形为矩形．，，由题意知，，，则．，即．设，则．．由．计算求解，然后求即可．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点．则四边形为矩形．
∴，．
∵无人机测得操控者的俯角为，测得综合楼的顶点处的俯角为
∴，，
∴．
∵，
∴．
设，则．
∴．
∵，
∴．
解得，．
∴．
∴此时无人机的高度约为．
如图，在中，，，，是边上的一个动点异于、，
过点分别作、边的垂线，垂足分别为、，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】连接，先由锐角三角函数定义求出，则，再证四边形是矩形，则，当时，的值最小，然后由面积法即可求解．
【解析】解：如图，连接，
在中，，，，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
当时，的值最小，
此时最小值，
故答案为：．
三、解答题（共9小题，共计72分.解答应写出过程）
17．计算：3tan30°+tan45°﹣2sin60°．
【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．
【解答】解：3tan30°+tan45°﹣2sin60°
＝3×+1﹣2×
＝+1﹣
＝1．
18 .如图，两幢大楼相距100米，从甲楼顶部看乙楼顶部的仰角为26°，如果甲楼高为36米，
求乙楼的高度．（结果精确到1米）
【参考数据：sin26°＝0.44，cos26°＝0.90，tan26°＝0.49】
【答案】85米
【分析】由题意知AE＝CD＝36、AC＝DE＝100，由BC＝ACtan∠BAC＝100tan26°≈49，根据BD＝BC+CD可得答案．
【详解】解：如图所示，由题意知AE＝CD＝36、AC＝DE＝100，
在Rt△ABC中，∵tan∠BAC
∴BC＝ACtan∠BAC＝100tan26°≈49，
则BD＝BC+CD＝49+36＝85，
即乙楼的高度为85米．
如图，A处有一垂直于地面的标杆，热气球沿着与的夹角为的方向升空，到达B处，
这时在A处的正东方向200米的C处测得B的仰角为（、B、C在同一平面内）．
求A、B之间的距离．（结果精确到1米，）
【答案】、之间的距离约为141米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键；
过点作，垂足为，根据题意可得：米，，从而利用三角形内角和定理可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得米，再在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，
由题意得：米，，
∴，
在中，，
∴(米)，
在中，(米)，
∴、之间的距离约为141米．
20.如图，某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且CB=5米．
（1）求钢缆CD的长度；（精确到0.1米）
（2）若AD=2米，灯的顶端E距离A处1.6米，且∠EAB=120°，则灯的顶端E距离地面多少米？
（参考数据：tan40°=0．84， sin40°=0.64， cos40°=）
【答案】（1）6.7米；（2）7米．
【分析】（1）利用三角函数即可求得CD 的长；
（2）过E作AB 的垂线，垂足为F，根据三角函数求得BD、AF的长，则BF的长就是点E到地面的距离．
【详解】解：（1）在Rt⊿BCD中，
∵cos40°=，
∴CD==5÷≈6.7（米）．
（2）∵∠EAF=180°-120°=60°，在Rt⊿AEF中，cos60°=，
∴AF=AE·cos60°=1.6×0.5=0.8．
在Rt⊿BCD中，tan40°=，
∴BD=BC·tan40°=5×0.84=4.2．
∴BF=4.2+2+0.8=7（米）．
即灯的顶端E距离地面7米．
21..某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔的高度，
已知信号塔与斜坡的坡顶B在同一水平面上，
兴趣小组的同学在斜坡底A处测得塔顶C的仰角为，
然后他们沿着坡度为的斜坡爬行了26米，在坡顶B处又测得该塔塔顶C的仰角为．
（参考数据：，，）
求坡顶B到地面的距离；
求联通信号发射塔的高度（结果精确到1米）．
【答案】(1)坡顶到地面的距离为米；
(2)联通信号发射塔的高度约为米．
【分析】（1）过点作，垂足为，根据已知可，从而可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）延长交于点，根据题意可得：米，，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义可，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：过点作，垂足为，
斜坡的坡度为：，
，
设米，则米，
在中，（米），
米，
，
，
米，米，
坡顶到地面的距离为米；
（2）解：延长交于点，
由题意得：米，，
设米，则米，
在中，，
（米），
米，
在中，，
，
，
，
解得：，
（米），
联通信号发射塔的高度约为米．
如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，
无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．
已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，无人机的高度为米．
（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：，．
计算结果保留根号）
（1）求此时小区楼房BC的高度；
（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，
并以5米/秒的速度继续向右匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？
【分析】（1）过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，由题意得AB＝45米，∠DAE＝75°，∠DCF＝∠FDC＝45°，则CF＝DF，再由四边形BCFE是矩形，得出BE＝CF＝DF，在算出∠DAE的正弦值用含BE的式子表示，求出BE，则DH﹣BE即为所求；
（2）求得AH，即可求得DG＝EH，进而即可求得无人机刚好离开操控者的视线所用的时间．
【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，如图所示：
则四边形BCFE是矩形，
由题意得：AB＝45米，∠DAE＝75°，∠DCF＝∠FDC＝45°，
∵∠DCF＝∠FDC＝45°，
∴CF＝DF，
∵四边形BCFE是矩形，
∴BE＝CF＝DF，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∴tan∠DAE＝＝＝2+，
∴BE＝30，
经检验，BE＝30是原方程的解，
∴EF＝DH﹣DF＝30+15﹣30＝15（米），
答：此时小区楼房BC的高度为15米．
（2）∵DE＝15（2+）米，
∴AE＝＝＝15（米），
过D点作DG∥AB，交AC的延长线于G，作GH⊥AB于H，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝45米，BC＝15米，
∴tan∠BAC＝＝＝，
在Rt△AGH中，GH＝DE＝15（2+）米，
AH＝＝＝（30+45）米，
∴DG＝EH＝AH﹣AE＝（30+45）﹣15＝（30+30）米，
（30+30）÷5＝（6+6）（秒），
答：经过（6+6）秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．
23. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，
如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．
为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，
此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，
又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点
（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，）
（1）求屋顶到横梁的距离；
（2）求房屋的高（结果精确到）．
解：（1）∵房屋的侧面示意图是轴对称图形，所在直线是对称轴，，
∴，，．
在中，，，
∵，，．
∴（米）
答：屋顶到横梁的距离约是4.2米．
（2）过点作于点，设，
在中，，，
∵，∴，
在中，，，
∵，∴．
∵，
∴，
∵，，
解得．
∴（米）
答：房屋的高约是14米．
如图，矩形中，，点M是的中点，连接．
将沿着折叠后得，延长交于E，连接．
(1)求证：平分
(2)求证：．
(3)若，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据折叠性质和矩形性质可得，再根据点M是的中点，可证，进而证明，即可证出；
（2）由折叠性质和由（1）得，可以求出，即可证明；
（3）由折叠性质和第（2）问可得，进而求出，由（1），可求，进而求出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠性质可得：，
∵延长交于E，
∴，
∴，
∵点M是的中点，
∴，
由折叠性质可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）证明：由折叠性质可得：，
由（1）得：，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：由（2）得：，
∵，
∴，
由（2）得：，
由折叠性质得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）得：，
∴，
∴，
由折叠性质的：，
∴，
∴，
∴；
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第一章《 直角三角形的边角关系》复习试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1． 如图，在中，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2． 计算的结果是（ ）
A．2 B． C． D．1
如图，在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AB＝10，AC的长是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，
则坝底AD的长度为（ ）
A．26米 B．28米 C．30米 D．46米
如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（ ）
A． B． C． D．
小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，
如图，旗杆的高度与拉绳的长度相等，小明先将拉到的位置，
测得为水平线），测角仪的高度为米，则旗杆的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
某长江大桥采用低塔斜拉桥桥型(如甲图)，图乙是从图甲引申出的平面图，
假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索BD与水平桥面的夹角是60°，
两拉索底端距离AD＝20米，则立柱BC的高为（ ）
A．20米 B．10米 C．10米 D．20米
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝2，CD⊥AB于D，
设∠ACD＝α，则cosα的值为（ ）
A． B． C． D．
如图，学校环保社成员想测得斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，
然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，且坡度为，
则树AB的高度是 （ ）
A． B．30m C． D．40m
10． 如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共计18分）
11． 若斜坡的坡度，则该斜坡坡角的度数是 ．
12 . 已知△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且（cosA﹣）2+|tanB﹣1|＝0，则∠C＝ 度．
如图，在△ABC中，∠B＝30°，AB＝3，BC＝4，则△ABC的面积为 ．
14 . 直线，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含的直角三角板按图示放置，
使其三个顶点分别在三条平行线上，则的值是_______
近几年，中国的无人机技术发展迅速，处于世界领先水平．某中学组织了“无人机进校园”活动，
用科技结合所学知识，为孩子们点亮科技梦．如图，无人机操控者在一综合楼外放飞无人机，
当无人机飞行到一定高度处时，无人机测得操控者的俯角为，
测得综合楼的顶点处的俯角为．已知操控者和综合楼之间的距离为，
综合楼的高度为．求此时无人机的高度．（假设点，，，都在同一平面内．
参考数据：，，）
如图，在中，，，，是边上的一个动点异于、，
过点分别作、边的垂线，垂足分别为、，则的最小值是 ．
三、解答题（共9小题，共计72分.解答应写出过程）
17．计算：3tan30°+tan45°﹣2sin60°．
18 .如图，两幢大楼相距100米，从甲楼顶部看乙楼顶部的仰角为26°，如果甲楼高为36米，
求乙楼的高度．（结果精确到1米）
【参考数据：sin26°＝0.44，cos26°＝0.90，tan26°＝0.49】
如图，A处有一垂直于地面的标杆，热气球沿着与的夹角为的方向升空，到达B处，
这时在A处的正东方向200米的C处测得B的仰角为（、B、C在同一平面内）．
求A、B之间的距离．（结果精确到1米，）
20.如图，某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且CB=5米．
（1）求钢缆CD的长度；（精确到0.1米）
（2）若AD=2米，灯的顶端E距离A处1.6米，且∠EAB=120°，则灯的顶端E距离地面多少米？
（参考数据：tan40°=0．84， sin40°=0.64， cos40°=）
21..某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔的高度，
已知信号塔与斜坡的坡顶B在同一水平面上，
兴趣小组的同学在斜坡底A处测得塔顶C的仰角为，
然后他们沿着坡度为的斜坡爬行了26米，在坡顶B处又测得该塔塔顶C的仰角为．
（参考数据：，，）
求坡顶B到地面的距离；
求联通信号发射塔的高度（结果精确到1米）．
如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，
无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．
已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，无人机的高度为米．
（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：，．
计算结果保留根号）
（1）求此时小区楼房BC的高度；
（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，
并以5米/秒的速度继续向右匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？
23. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，
如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．
为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，
此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，
又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点
（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，）
（1）求屋顶到横梁的距离；
（2）求房屋的高（结果精确到）．
如图，矩形中，，点M是的中点，连接．
将沿着折叠后得，延长交于E，连接．
(1)求证：平分
(2)求证：．
(3)若，，求的值．
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