山东省德州市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（含解析）

山东省德州市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．设集合,,则( )
A. B. C. D.
2．“或”是“幂函数在上是减函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．设函数,则( )
A. B. C. D.
4．若函数的大致图象如图所示,则的解析式可能是( )
A. B. C. D.
5．在公比的等比数列中,,,成等差数列,若数列的前5项和为31,则( )
A.16 B.8 C.4 D.2
6．购买同一种物品,在不考虑物品价格升降的条件下,可以用两种不同的策略,第一种是每次购买这种物品的数量一定;第二种是每次购买这种物品所花的钱一定.假设连续两天购买该物品,第一天物品的价格为,第二天物品的价格为,且,则以下说法正确的为( )
A.第一种方式购买物品的单价为
B.第二种方式购买物品的单价为
C.第一种方式购买物品所用单价更低
D.第二种方式购买物品所用单价更低
7．已知,分别是函数,的零点,则( )
A. B. C.3 D.4
8．已知函数,若使得成立,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知集合,,若是的充分条件,则实数m的值可能为( )
A.-5 B.-3 C.0 D.
10．下列命题中正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,且,则的最小值为
D.若,且,则
11．已知函数的定义域为R,且满足,当时,,则下列结论正确的是( )
A.为偶函数
B.在上单调递增
C.关于点中心对称
D.
三、填空题
12．已知函数为奇函数,则a的值为__________.
13．已知,,且,记的最小值为M,记的最小值为N,则__________.
14．设函数,若且,则的取值范围是__________.
四、解答题
15．已知数列满足.
（1）求数列的通项公式;
（2）记数列的前n项和为,证明：.
16．已知函数.
（1）解关于t的不等式;
（2）若且函数在区间的值域为,则称区间是函数的“完美区间”.设函数,试问函数是否存在“完美区间”,若存在,求出实数的取值范围,若不存在,说明理由.
17．环保生活,低碳出行,新能源电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车,在一段平坦的国道进行测试,国道限速（不含）,经多次测试得到,该汽车每小时耗电量M（单位：）与速度单位：）之间的数据：
0 20 40
M 0 3000 5600
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系,现有以下两种函数模型供选择：
（1）当时,请选出符合表格所列数据实际的函数模型,并求出相应的函数解析式;
（2）现有一辆同型号汽车从甲地驶到乙地,前一段是的国道,后一段是的高速路.若已知高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：）与速度的关系为：,则如何行驶才能使得总耗电量最少,最少为多少？（假设在两段路上分别匀速行驶）
18．已知函数.
（1）当时,求函数在点处的切线方程;
（2）当时,讨论的单调性;
（3）设,若为的两个极值点,求的取值范围.
19．帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m,n,函数在处的阶帕德近似定义为：
,且满足：,,注：,
已知函数.
（1）求函数在处的阶帕德近似;
（2）在（1）的条件下：求证：;
（3）已知在处的阶帕德近似为,依据帕德近似公式;若在处的阶帕德近似为,设,试比较p,q,r的大小.
参考答案
1．答案：D
解析：由题意得,,,所以
2．答案：B
解析：由幂函数 在 上是减函数可得,,
解得 , 所以 或 "是"幂函数在上是减函数"的必要不充分条件,
故选：B.
3．答案：A
解析：函数,
,
,
,
,
,
,
故选：A.
4．答案：C
解析：
5．答案：C
解析：
6．答案：D
解析：
7．答案：C
解析：
8．答案：A
解析：
9．答案：ACD
解析：
10．答案：BD
解析：
11．答案：ABD
解析：
12．答案：1
解析：由奇函数的性质可得,
即
即,即 ,
即, 即,所以 ,解得.
13．答案：
解析：
14．答案：
解析：
15．答案：（1）,.
（2）
解析：（1）因为,,所以,
当时,
又因为,满足上式,所以,.
（2）由（1）可知,,
所以,
所以,
又因为,所以.
16．答案：（1）
（2）函数不存在“完美区间”
解析：（1）因为的定义域为R且,
所以是R上的偶函数.
因为,
所以当时,,故在上单调递增.
因为为偶函数,所以在上单调递减.
因为,则
即,解得
所以,不等式的解集为.
（2）因为,则,由（1）可得：函数在上单调递增.
假设存在完美区间为.则,,
可知方程在上有两个不同的根,
即
转化为方程在上有两个不同的根,
令,即在上有两个不同的根
则
此时无解.
故函数不存在“完美区间”.
17．答案：（1）
（2）这辆车在国道上行驶的速度为,在高速路上行驶速度为,该车从甲地驶到乙地总耗电量最少,最少为
解析：（1）函数为减函数,这与矛盾,
故选择.
根据提供数据,有
解得.
当时,.
（2）因为国道路段长为,故所用时间为,
所耗电量为
当时,.
因为高速路段长为,故所用时间为,所耗电量为
因为,
当时,.所以在上单调递增,
所以.
即总耗电量最少为.
故当这辆车在国道上行驶的速度为,在高速路上行驶速度为,该车从甲地驶到乙地总耗电量最少,最少为.
18．答案：（1）
（2）当时,在上是减函数,在和上是增函数;当时,在上是增函数;当时,在上是减函数,在和上是增函数.
（3）
解析：（1）当时,,即,所以切点为.
因为,
则,
所以切线方程为.
（2）由题得,
令,得或
①当时,令,解得;令,解得或,所以在上是减函数,在和上是增函数.
②当时,在上恒成立,所以在上是增函数.
③当时,令,解得,令,解得或,
所以在上是减函数,在和上是增函数.
综上所述：
当时,在上是减函数,在和上是增函数;
当时,在上是增函数;
当时,在上是减函数,在和上是增函数.
（3）由题得
则.
因为为函数的两个极值点,
所以方程有两个不同的正根,,
则,
故
由题意得：
令,
则
所以在上单调递减,所以,
当时,,则
所以.
从而的取值范围为.
19．答案：（1）
（2）见解析
（3）
解析：（1）由已知在处的阶帕德近似,,
由得,所以,
则,又由得,所以,
由得,所以
（2）令,
因为,
所以在及上均单调递减.
①当,,即,
而,所以,即,
②当,,即,
而,所以,即,
综上,所以不等式恒成立.
（3）依题意,,由,得.
此时
因为,,
所以,,又因为,所以.
故在处的阶帕德近似为
故,
,
,
（相应得分）
即.