浙江省金华市2023-2024学年高二下学期5月期中联考数学试卷（含解析）

浙江省金华市2023-2024学年高二下学期5月期中联考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．若集合,,则( )
A.或 B.或
C. D.
2．已知复数,则( )
A.-2 B.2 C. D.
3．若a,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4．下列说法错误的个数为( )
①已知,若,则
②已知,则
③投掷一枚均匀的硬币5次,已知正面向上不少于3次,则出现5次正面向上的概率为
A.0 B.1 C.2 D.3
5．科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高,以1开头的数出现的频数约为总数的三成,并提出定律：在大量进制随机数据中,以开头的数出现的概率为,如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若,则k的值为( )
A.14 B.15 C.24 D.25
6．袋中装有5个大小相同的球,其中有2个白球,2个黑球,1个红球,现从袋中每次取出1球,取出后不放回,取得白球得1分,取得黑球得2分,取得红球得3分,直到取到的球的总分大于或等于4分时终止,用X表示终止取球时所需的取球次数,则( )
A. B. C. D.
7．体积为1的正三棱雉的外接球的半径与底面正三角形的边长比的最小值为( )
A. B. C. D.
8．已知函数,当时,记的最大值为M,有,则实数k的最大值为( )
A.2 B.1 C. D.
二、多项选择题
9．下列选项中正确的有( )
A.已知在上的投影向量长度为,且,则
B.
C.若非零向量,满足,则
D.已知,,且与夹角为锐角,则的取值范围是
10．下列命题错误的是( )
A.线性相关模型中,决定系数越大相关性越强,相关系数r越大相关性也越强
B.回归直线至少会经过其中一个样本点
C.已知一系列样本点的经验回归方程为,若样本点与的残差相等,则
D.以模型去拟合某组数据时,为了求出回归方程,设,将其变换后得到
线性方程,则a,b的值分别为3,4
11．如图,已知圆台的下底面直径,母线,且,P是下底面圆周上一动点,则( )
A.圆台的侧面积为
B.圆台的体积为
C.当点P是弧中点时,三棱雉的内切球半径
D.的最大值为
三、填空题
12．的展开式中的常数项为____________.
13．在锐角三角形中,边长为1,且,则边的长度取值范围是___________.
14．某学校举办校庆,安排3名男老师和2名女老师进行3天值班,值班分为上午和下午,每班次一人,其中女老师不在下午值班,且每个人至少要值班一次,则不同的安排方法共有____________种（用数字作答）.
四、解答题
15．设函数,其中,已知.
（1）求的解析式;
（2）已知,求的单调递增区间及值域.
16．在如图所示的直三棱柱中,,,D,E分别是线段,上的动点.
（1）若平面,,求的值;
（2）若三棱柱是正三棱柱,D是的中点,求二面角余弦值的最小值.
17．已知函数,.
（1）求曲线在点处的切线方程;
（2）讨论的单调性;
（3）证明：当时,.
18．某超市为促进消费推出优惠活动,为预估活动期间客户投入的消费金额,采用随机抽样统计了200名客户的消费金额,分组如下：
,,,,（单位：元）,得到如图所示频率分布直方图：
活跃客户 非活跃客户 总计
男 20 x
女 y 60
总计
（1）利用抽样的数据计算本次活动的人均消费金额（同一组中的数据用该组的中点值表示）
（2）若把消费金额不低于800元的客户,称为“活跃客户”,经数据处理,现在列联表中得到一定的相关数据,求列联表中x,y的值,并根据列联表判断是否有的把握认为“活跃客户”与性别有关？
（3）为感谢客户,该超市推出免单福利,方案如下：
从“活跃客户”中按分层抽样的方法抽取12人,从中抽取2人进行免单,试写出总单金额Y的分布列及其期望.（每一组消费金额按该组中点值估计,期望结果保留至整数.）
附：
0.150 0.100 0.050 0.010 0.005
k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879
19．已知①设函数的值域是C,对于C中的每个y,若函数在每一处都等于它对应的,这样的函数叫做函数的反函数,记作,我们习惯记自变量为x,因此可改成即为原函数的反函数.易知与互为反函数,且.如的反函数是可改写成即为的反函数,与互为反函数.
②是定义在D且取值于D的一个函数,定义,,,,则称是函数在D上的n次迭代.例如,则.对于一些相对复杂的函数,为求出其n次迭代函数,我们引入如下一种关系：对于给定的函数和,若函数的反函数存在,且有,称与关于相似,记作,其中称为桥函数,桥函数满足以下性质：
（1）若,则
（2）若为的一个不动点,即,则为的一个不动点.
（i）若函数,求（写出结果即可）
（ii）证明：若,则.
（iii）若函数,求（桥函数可选取）,若,试选取恰当桥函数,计算.
参考答案
1．答案：D
解析：,
因为,所以,
所以或,
所以 或, 所以.
故选：D.
2．答案：C
解析：,则,所以.
故选：C.
3．答案：C
解析：由可得,
令,,
所以 在上单调递增,
所以由,即,
当时,因为 在 上单调递增, 所以 ,
当 ,因为 在 上单调递增,
所以 ,所以 “”是“ ”的充要条件.
故选:C.
4．答案：B
解析：
5．答案：A
解析：
即,
所以,
解得.
故选: A.
6．答案：B
解析：由题意,时, 取球的情况为：白白红,白白黑, 白黑白, 白黑黑, 白黑红, 黑白白,黑白黑, 黑白红,
所以,
故选：B.
7．答案：D
解析：如图, 设正三棱锥的底面边长为,高为,
外接球半径为.
因为体积为1 ,所以,
所以,
不论外接球的球心在正三棱锥的内部（图1）,外部（图2)还是与G重合（图3）,
其外接球半径均满足,
将 代入化简得
当且仅当 即 时取等号,所以最小值为 .
故选：D.
8．答案：C
解析：
9．答案：BC
解析：
10．答案：AB
解析：
11．答案：ABD
解析：
12．答案：5376
解析：的展开式的通项为:,
,
令,解得: ,所以 的展开式中的常数项为:.
故答案为:5376 .
13．答案：
解析：因为 , 所以 ,
由正弦定理得, ,因为,所以 ,
因为是锐角三角形,所以,
解得,
所以,即边的长度取值范围是.
故答案为：.
14．答案：252
解析：若上午值班均为女教师, 则不同的安排方法共有 种,
可知下午值班均为男教师,则不同的安排方法共有 种,
则不同的安排方法共有 种;
若上午值班有男教师, 则不同的安排方法共有种,
①当上午值班的男教师不下午值班时,则不同的安排方法共有 种;
②当上午值班的男教师也下午值班时, 则不同的安排方法共有 种;
则不同的安排方法共有种;
综上所述：不同的安排方法共有种.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）可化为
,
所以
所以,又
所以,
所以
（2）令
解得
又所以
故的单调递增区间为
所以
所以
16．答案：（1）
（2）
解析：方法1.（1）过点E作,交于M,连接,如图,
由平面,平面,
则平面且
又平面,,且,平面,
故平面平面
又平面平面,平面平面,
所以
从而.
故
方法2过点D作,可得,所以四点共面
四边形是平行四边形
所以
所以
（2）过D作,垂足为G,正三棱雉可得平面,
再过作,垂足为N,连接,
则即为二面角的平面角.
当E位于时此时
故二面角余弦值的最小值为.
方法2：取的中点O由正三棱锥得平面
如图建立空间直角坐标系
,,
,
设平面的法向量
令得
平面法向量
当时取到
17．答案：（1）
（2）时增区间为,当时单调递增区间为,单调递减区间为
（3）见解析
解析：（1）
令
又过点直线方程为可化为
（2）
当,在上恒成立,故在上单调递增;
当时,令得;
令得,
故在上单调递增,在上单调递减
综上所述：时增区间为
当时单调递增区间为,单调递减区间为
（3）证明：不等式可化为恒成立
由（2）知,当时,,
令,
则.
令
则.
因为,所以
所以在上单调递增.
所以,所以,
所以在上单调递减.
因为,所以,
所以,
即当时,.
18．答案：（1）620
（2）有的把握与性别有关
（3）1933
解析：（1）
（2）列联表如下
活跃客户 非活跃客户 总计
男 20 80 100
女 40 60 100
总计 60 140 200
因此有的把握与性别有关.
（3）可视作抽出消费900元8人,消费1100元4人
Y 1800 2000 2200
P
19．答案：（1）
（2）成立
（3）见解析
解析：（1）
（2）因为,有,即
所以有,即
由数学归纳法或递推法可知成立.
（3）根据相似函数不动点也相似,桥函数选取时可令不动点为一解,当,可选取桥函数（不唯一）,
易得
由（2）可知,
即有.
当,选取桥函数,
.易得
由（2）可知,,即有.