2023-2024学年北京市通州区高一下学期期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年北京市通州区高一下学期期末
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复平面内点所对应复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.样本数据，，，，，的中位数是( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，那么向量可以是( )
A. B. C. D.
4.在三角形中，角所对的边分别为，已知，则( )
A. B. C. 或 D. 或
5.已知圆锥的底面半径是，高为，则圆锥的侧面积是( )
A. B. C. D.
6.如图，在正方体中，则与所成角为( )
A. B. C. D.
7.在下列关于直线与平面的命题中，真命题是( )
A. 若，且，则 B. 若，且，则
C. 若，，，则 D. 若，且，则
8.一个口袋内装有大小、形状相同的红色、黄色和绿色小球各个，不放回地逐个取出个小球，则与事件“个小球都为红色”互斥而不对立的事件有( )
A. 个小球恰有一个红球 B. 个小球至多有个红球
C. 个小球中没有绿球 D. 个小球至少有个红球
9.一个长为，宽为的长方形，取这个长方形的四条边的中点依次
为，，，，依次沿，，，，折叠，使得这个长方形
的四个顶点都重合而得到的四面体，称为“萨默维尔四面体”，如下图，
则这个四面体的体积为( )
A. B. C. D.
10.达芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，把六片这样的达芬奇方砖拼成下图的组合，这个组合再转换成几何体，则需要个正方体叠落而成，若一个小球从图中阴影小正方体出发，等概率向相邻小正方体具有接触面移动一步，则经过两步移动后小球又回到阴影小正方体的概率为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.设复数满足为虚数单位，则的模为 ．
12.从写有数字的张卡片中有放回的抽取两次，两次抽取的卡片数字和为的概率是 ．
13.已知分别是的角的对边，若，，，则 ，的面积为 ．
14.在正方形中，是边上一点，且，点为的延长线上一点，写出可以使得成立的，的一组数据为 ．
15.如图，正方体的棱长为，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是 ．
直线与直线相交；
当时，为四边形；
当为的中点时，平面截正方体所得的截面面积为；
当时，截面与，分别交于，则．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（12分）已知向量，．
求；
若，，，求证：，，三点共线．
17.（12分）在中小学生体质健康测试中，甲、乙两人各自测试通过的概率分别是和，且测试结果相互独立，求：
两人都通过体质健康测试的概率；
恰有一人通过体质健康测试的概率；
至少有一人通过体质健康测试的概率．
18.（12分）如图，在棱长为的正方体中，点，分别是棱的中点．求证：
平面；
平面；
求三棱锥的体积．
19.（13分）某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．为了解某校学生选科情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了名学生作为样本进行调查，调查数据如下表，用频率估计概率．
选考情况 第门 第门 第门 第门 第门 第门
物理 化学 生物 历史 地理 政治
高一选科人数
高二选科人数
高三选科人数
已知该校高一年级有人，估计该学校高一年级学生中选考历史的人数；
现采用分层抽样的方式从样本中随机抽取三个年级中选择历史学科的名学生组成兴趣小组，再从这人中随机抽取名同学参加知识问答比赛，求这名参赛同学来自不同年级的概率；
假设三个年级选择选考科目是相互独立的．为了解不同年级学生对各科目的选择倾向，现从高一、高二、高三样本中各随机选取名学生进行调查，设这名学生均选择了第门科目的概率为，当取得最大值时，写出的值．结论不要求证明
20.（13分）在中，角所对的边为，的面积为，且．
求角；
若，试判断的形状，并说明理由．
21.（13分）如图，七面体中，菱形所在平面与矩形交于，平面与平面交于直线．
求证：；
再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知条件，试求当为何值时，平面平面？并证明你的结论．
条件：；
条件：．
注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分．
答案解析
1.
【解析】复平面内点所对应复数为，其虚部为．
故选：
2.
【解析】解：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：，，，，，．
位于最中间的数是，，
所以这组数的中位数是．
故选：．
3.
【解析】因为，所以，
对于，若，则，所以 A正确，
对于，若，则，所以 B错误，
对于，若，则，所以 C错误，
对于，若，则，所以 D错误．
故选：
4.
【解析】由题意，，
因为，所以，
由正弦定理得，
即，
因为，
所以或．
故选：．
5.
【解析】因为圆锥的底面半径是，高为，
所以圆锥的母线长为，
所以圆锥的侧面积为．
故选：
6.
【解析】如图所示：连接，

由正方体的性质可得，，则即为与所成角，
又，所以．
故选：．
7.
【解析】对于，，当平面的交线为时，满足，此时， A错误；
对于，由，得存在过直线的平面，，由于，
则平面与平面必相交，令，于是，
显然，而，则，同理，又是平面内的两条相交直线，因此， B正确；
对于，，，，或异面， C错误；
对于，，令，当直线在平面内，且时，满足，此时不成立， D错误．
故选：
8.
【解析】个小球恰有一个红球包括个小球个红球个黄球和个小球个红球个绿球，与事件“个小球都为红色”互斥而不对立，符合题意，故A正确；
个小球至多有个红球包括个小球都不是红球和个小球恰有个红球，则个小球至多有个红球与事件“个小球都为红色”是对立事件，故B错误；
个小球中没有绿球包括个小球都为红色，个小球都为黄色和个小球个红球个黄球，则事件“个小球都为红色”是个小球中没有绿球的子事件，故C错误；
个小球至少有个红球包括个小球都是红球和个小球个红球个不是红球，则事件“个小球都为红色”是个小球至少有个红球的子事件，故D错误；
故选：
9.
【解析】
由题意可得，，，
取中点，连接，又，所以，
且，，
则，所以，且，平面，
所以平面，
则．
故选：
10.
【解析】由题意可得，一个小球从图中阴影小正方体出发，可以向上，向下或水平移动，
设小球向上移动为事件，小球水平移动为事件，小球向下移动为事件，
小球回到阴影为事件，
则，
则
．
故选：
11.
【解析】．
故答案为：．
12.
【解析】用中的表示第一次取到的卡片数字，表示第一次取到的卡片数字，
由题知，样本空间为
，共个，
记事件：两次抽取的卡片数字和为，事件包含的样本点为，共个，
所以两次抽取的卡片数字和为的概率是，
故答案为：．
13.
【解析】依题意，，在中，，
所以；的面积．
故答案为：；
14.答案不唯一
【解析】
由题意知，而，
故，
则，
又点为的延长线上一点，故，
可取，则，
故使得成立的的一组数据为，
故答案为：．
15.
【解析】，因为为线段上的动点，所以平面，由正方体可知平面，所以直线与直线不可能相交，故错误；
，当时，截面与正方体的另一个交点落在线段上，如图所示：
所以截面为四边形；
又面，故面，故正确；
，连接，如下所示：

因为为的中点，为的中点，
则，故面即为平面截正方体所得截面；
在和中，
又，故该截面为等腰梯形，
又，，
故截面面积，故正确；
，当时，延长至，使，
连接交于，连接交于连接，
取的中点，上一点，使，连接，
如图所示：
因为且，且，
所以且，所以四边形是平行四边形，则，
由，，所以，
则为中点，则，所以，
又，
可得，
所以，
则在中，故正确；
故答案为：．
16.解：，，
则，
故；
证明：，，
则；
，
所以，
所以，，三点共线．

【解析】结合向量的坐标运算，以及向量模公式，即可求解；
结合向量共线的性质，即可求解．
17.根据题意，记甲通过体能测试为事件，乙通过体能测试为事件，
且事件与事件相互独立，
则两人都通过体能测试的概率．
由事件与事件相互独立，则恰有一人通过体能测试的概率为
．
由事件与事件相互独立，则至少有一人通过体能测试的概率为
．
【解析】根据题意，由相互独立事件的概率乘法公式，代入计算，即可得到结果．
18.证明：，分别为，的中点，，，
且，
四边形为平行四边形，
，
又平面，不在平面，
平面；
证明：四边形为正方形，
，
，
，
平面，平面，
，
，，又，，平面，
平面；
到平面距离为三棱锥的高，
，
故三棱锥的体积．
【解析】先证明四边形为平行四边形，得出，再根据线面平行的判定定理即可得证；
根据线面垂直的判定与性质定理即可得证；
利用到平面距离为三棱锥的高，结合等体积法求解即可．
19.解：由题意知，样本中高一学生共有人，其中选择历史学科的学生有人，
故估计高一年级选历史学科的学生有人．
解：应从样本中三个年级选历史的学生中分别抽取人数为，，，
编号为，，，，，
从这名运动员中随机抽取名参加比赛，所有可能的结果为，
，，，，，，，，，共种，
设为事件“这名参赛同学来自不同年级”，
则为事件“这名参赛同学来自相同年级”有，共种，
所以事件发生的概率．
解：，
，
，
，
，
，
当取得最大值时，．
【解析】样本中高一学生共有人，其中选择历史学科的学生有人，由此能估计高一年级选历史学科的学生人数．
应从样本中三个年级选历史的学生中分别抽取人数为，，，编号为，，，，，从这名运动员中随机抽取名参加比赛，利用列举法能求出事件“这名参赛同学来自相同年级”的概率．
利用相互独立事件概率乘法公式求解．
20.在中，因为，则，
整理得，且，所以．
由正弦定理得，
，
，
，
于是，
又，故，所以或，因此舍去或，所以．
是等腰直角三角形．
【解析】应用面积公式及余弦定理得出正切进而得出角；
先应用正弦定理及两角和差的正弦公式化简得出，结合判断三角形形状即可．
21.菱形中，，
又平面，平面，平面，
又平面，平面平面．
；
若选
当时，平面平面，
设，取的中点，连结如图所示，
平面平面，平面平面，
矩形中，平面，
平面，，
同理可得：，
，
因为菱形中，矩形中，
，，是的中点，，
假设平面平面成立，
平面平面，且，
平面，平面，，
矩形中是的中点，菱形中是的中点，
，
平面，平面，，
又，是的中点，可知为等腰直角三角形，
，
，故当时，平面平面；
若选
当时，，矩形中，
，平面，平面，
矩形中，平面，
平面，，
同理可得：，
，
因为菱形中，矩形中，
，，是的中点，，
假设平面平面成立，
平面平面，且，
平面，平面，，
矩形中是的中点，菱形中是的中点，
，
平面，平面，，
又，是的中点，可知为等腰直角三角形，
，
，故当时，平面平面．
【解析】由于平面，由线面平行的性质定理可证；
若选，设，取的中点，连结如图所示，由平面平面，可得平面，从而，进一步由，得，假设平面平面，可得，，从而；若选，可得平面，可得平面，从而，进一步由，得，假设平面平面，可得，，从而．
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