2023-2024学年北京市房山区高二下学期学业水平调研（二）数学试卷（含解析）

2023-2024学年北京市房山区高二下学期学业水平调研（二）
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列满足，且，则( )
A. B. C. D.
2.函数的图象如图所示，则( )
A. B. C. D.
3.如图、、、分别为不同样本数据的散点图，其对应的线性相关系数分别为，则中最大的是( )
A. B. C. D.
4.设等差数列的前项和为，若，，使最小的的值为( )
A. B. C. D. 或
5.要安排位同学表演文艺节目的顺序，要求甲同学既不能第一个出场，也不能最后一个出场，则不同的安排方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.在的展开式中，的系数是( )
A. B. C. D.
7.某地区气象台统计，夏季里，每天下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为则夏季的某一天里，已知刮风的条件下，也下雨的概率为( )
A. B. C. D.
8.为了研究儿子身高与父亲身高的关系，某机构调查了某所高校名男大学生的身高及其父亲的身高单位：，得到的数据如表所示．
编号
父亲身高
儿子身高
父亲身高的平均数记为，儿子身高的平均数记为，根据调查数据，得到儿子身高关于父亲身高的回归直线方程为则下列结论中正确的是( )
A. 与正相关，且相关系数为
B. 点不在回归直线上
C. 每增大一个单位，增大个单位
D. 当时，所以如果一位父亲的身高为，他儿子长大成人后的身高一定是
9.设随机变量的分布列如下表所示，则下列说法中错误的是( )
A.
B. 随机变量的数学期望可以等于
C. 当时，
D. 数列的通项公式可以为
10.已知数列：，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推．是数列的前项和，若，则的值可以等于( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.若，则 ．
12.若，则 ； ．
13.为了提高学生的科学素养，某市定期举办中学生科技知识竞赛．某次科技知识竞赛中，需回答个问题，记分规则是：每答对一题得分，答错一题扣分．从参加这次科技知识竞赛的学生中任意抽取名，设其答对的问题数量为，最后得分为分．当时，的值为 ；若，则 ．
14.设无穷数列的通项公式为若是单调递减数列，则的一个取值为 ．
15.已知函数，给出下列四个结论：
当时，在定义域上单调递增；
对任意，存在极值；
对任意，存在最值；
设有个零点，则的取值构成的集合是．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（12分）已知是等差数列，是等比数列，且，，，．
求和的通项公式；
设，求数列的前项和．
17.（12分）已知函数
求函数的极值点；
若的极小值为，求函数在上的最大值．
18.（12分）袋子中有个大小和质地相同的小球，其中个白球，个黑球从袋中随机摸出一个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出一个小球．
求第一次摸到白球的概率；
求第二次摸到白球的概率；
求两次摸到的小球颜色不同的概率．
19.（13分）人工智能简称的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业某公司推出的软件主要有四项功能：“视频创作”、“图像修复”、“语言翻译”、“智绘设计”为了解某地区大学生对这款软件的使用情况，从该地区随机抽取了名大学生，统计他们最喜爱使用的软件功能每人只能选一项，统计结果如下：
软件功能 视频创作 图像修复 语言翻译 智绘设计
大学生人数
假设大学生对软件的喜爱倾向互不影响．
从该地区的大学生中随机抽取人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率；
采用分层抽样的方式先从名大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，求的分布列和数学期望；
从该地区的大学生中随机抽取人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，的方差记作，中的方差记作，比较与的大小．
结论不要求证明
20.（13分）已知函数．
当时，求曲线在处的切线方程；
当时，求函数的单调区间；
若对于任意的，有，求的取值范围．
21.（13分）若数列满足：对任意，都有，则称是“数列”．
若，，判断，是否是“数列”；
已知是等差数列，，其前项和记为，若是“数列”，且恒成立，求公差的取值范围；
已知是各项均为正整数的等比数列，，记，若是“数列”，不是“数列”，是“数列”，求数列的通项公式．
答案解析
1.
【解析】由可得为定值，
又，所以是以为首项，公比的等比数列，
，
故选：
2.
【解析】根据函数的图象，应用导数的几何意义是函数的切线斜率，
在处的切线斜率小于在处的切线斜率，
所以，，选项错误；
又因为，所以，选项错误．
故选：．
3.
【解析】因图形比较分散，则；因相较接近于一条直线附近，则，
又为下降趋势，则，比更接近一条直线，且呈上升趋势，则．
综上，最大．
故选：
4.
【解析】设公差为，由，，
所以，解得，所以，
令，解得，则数列单调递增，且，
所以当或时取得最小值．
故选：
5.
【解析】第一步：先将甲同学排列除第一个、最后一个之外得个位置，共有种排法，
第二步：将剩余得个节目全排列，共有种排法，
所以共有种，
故选：
6.
【解析】由已知可得展开式的通项，
令，解得，
所以，系数为，
故选：．
7.
【解析】设事件为当天下雨，事件为当天刮风，
则，，
则已知刮风的条件下，也下雨的概率，
故选：．
8.
【解析】选项，因，则与正相关，但相关系数不是，故 A错误；
选项，回归方程过定点，故 B错误；
选项，由回归方程可知每增大一个单位，增大个单位，故 C正确；
选项，回归方程得到的为预测值，不一定满足实际情况，故 D错误．
故选：
9.
【解析】选项：由已知，则，选项正确；
选项：当时，期望为，选项正确；
选项：由，则，选项正确；
选项：由，则其前项和为，选项错误；
故选：．
10.
【解析】将数列分组，使每组第一项均为，即：
第一组：
第二组：
第三组：
第组：
根据等比例数列前项公式，得每组和分别为：，
每组含有的项数分别为．
所以
若，即，
将选项A代入，若，则，即为前组与第组的第个数的和，
此时，无解；
同理若，则，此时，即，符合题意；
同理若，则，此时，无解；
同理若，则，此时，无解；
综上可知，，
故选：
11.
【解析】由可得，
，
故答案为：
12.
【解析】由题意知，令可得，即，
由二项展开式的通项可得，
，即，
，即，
即，
故答案为：
13.
【解析】由题意知，说明答对道题，答错道题，
又答对得分，答错得分，
所以最后得分，
即当时，
若，即，可得，
，
，
故答案为：；
14.答案不唯一，即可
【解析】由可得，
又是单调递减数列，可得，
即，
整理得恒成立，
即恒成立，
，
又因为，所以，
即取值范围为，
故答案为：答案不唯一，即可
15.
【解析】对于，当时，错误；
对于，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在处取得极大值，因此对任意，存在极值，正确；
对于，当时，
当时，，由，得，由，得，
即函数在上单调递增，在上单调递减，此时，
因此，，正确；
对于，当时，函数在上单调递增，，在上无零点，
在上单调递增，，
，在有一个零点，；
当时，，在上单调递增，同理得，
当时，，在上单调递增，，；
当时，，在上有两个零点，
当时，，，
当趋近于正无穷大时，趋近于负无穷大，即在上有两个零点，；
当时，，在上有两个零点，，；
当时，，在上有两个零点，，，
因此的取值构成的集合是，正确，
所以所有正确结论的序号是．
故答案为：
【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：直接法：直接求出的解；图象法：作出函数的图象，观察与轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数．
16.设等差数列的公差为，，
所以
因为，
所以，即等比数列的公比．
所以，．
所以．
由Ⅰ知，，，
因此
从而数列的前项和
．
【解析】由是等差数列求出，即可求出；
找出，由分组求和得解．
17.，
令，得或
，的情况如下：
递减 递增 递减
所以是函数的极小值点；是函数的极大值点．
因为的极小值为，即
解得，
又， ．
所以当时，取得最大值．
【解析】先求导函数再根据导函数正负得出函数的极值；
先根据极小值求出，再根据极值及边界值求最大值即可．
18.设第一次摸到白球的事件为，则
，即第一次摸到白球的概率为．
设第二次摸到白球的事件为，则
，即第二次摸到白球的概率．
设两次摸到的小球颜色不同的事件为，则
，即两次摸到的小球颜色不同的概率为．
【解析】由古典概型计算可得结果；
由全概率公式计算可得；
根据条件概率公式计算可得．
19.设从该地区的大学生随机抽取人，此人选择“视频创作”的事件为，
则
因为抽取的人中喜欢“视频创作”的人数为，
所以的所有可能取值为，

所以的分布列为：


或则
由可得；
由频率估计概率可得地区的大学生中最喜欢“视频创作”的概率为，因此，
可得．
因此．
【解析】有古典概型计算可得结果；
利用抽样比可确定人中有人最喜欢“视频创作”，求得的所有可能取值及其对应概率可得分布列和期望值或利用超几何分布计算可得结果；
由可得，由频率估计概率可得地区的大学生中最喜欢“视频创作”的概率为，因此，可得．
20.由，知．
所以当时，有，．
故曲线在处的切线经过，且斜率为，所以其方程为，即．
当时，对有，对有，故在和上递减，在上递增；
当时，对有，故在上递增；
当时，对有，对有，故在和上递减，在上递增．
综上，当时，在和上递减，在上递增；
当时，在上递增；
当时，在和上递减，在上递增．
我们有．
当时，由于，，故根据的结果知在上递增．
故对任意的，都有，满足条件；
当时，由于，故．
所以原结论对不成立，不满足条件．
综上，的取值范围是．
【解析】直接计算导数，并利用导数的定义即可；
对分情况判断的正负，即可得到的单调区间；
对和两种情况分类讨论，即可得到的取值范围．
21.对于数列而言，若，则，
所以数列是“数列”；
对于数列而言，若，则，则数列不是“数列”；
因为等差数列是“数列”，所以其公差．
因为，所以，
由题意，得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立．
当时，恒成立，故；
当时，对任意的恒成立，即
对任意的恒成立，
因为，所以．
所以的取值范围是．
设等比数列的公比为，因为，所以，
因为“数列”的每一项均为正整数，由得，
所以且，
因为，
所以，所以单调递增，
所以在数列中，“”为最小项，
而，从而在数列中，“”为最小项．
因为是“数列”，则只需，所以，
因为数列不是“数列”，则，所以，
因为数列的每一项均为正整数，即，所以或，
当时，，则，
令，
又，
所以为递增数列，
又，
所以对于任意的，都有，即，
所以数列为“数列”，符合题意．
同理可知，当时，，则，
令，
又，
所以为递增数列，
又，
所以对于任意的，都有，即，
所以数列为“数列”，符合题意．
综上，或．
【解析】直接根据“数列”的定义进行判断即可；
由是等差数列结合是“数列”可知公差，结合等差数列求和公式用含的式子表示，进一步结合恒成立即可求解；
由“数列”的每一项均为正整数，可得且，进一步可得单调递增，故将任意性问题转换为与比较大小关系可得的范围，结合，或，注意此时我们还要分情况验证是否是“数列”，从而即可得解．
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