2023-2024学年河南省漯河市郾城区冀教版八年级（下）期末数学试卷（含答案版）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年河南省漯河市郾城区冀教版八年级（下）期末数学试卷（含答案版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 983.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 冀教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-20 10:35:05 | ||
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文档简介
2023-2024学年河南省漯河市郾城区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题有四个选项，其中只有一个选项是正确的。
1．（3分）下列式子为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列四个算式正确的是（ ）
A． B．
C．＝× D．
3．（3分）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A．2，2，2 B．2，3，4 C．3，5，6 D．1，，2
4．（3分）下列关于直线y＝x+2的说法中，正确的是（ ）
A．经过第一、三、四象限
B．与x轴交于（2，0）
C．与y轴交于（0，2）
D．将其图象向下平移2个单位得到y＝2x的图象
5．（3分）如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．（3分）如图，将一张平行四边形纸片ABCD以DE为折痕进行折叠，点C的对应点为C′，若∠1＝20°，∠2＝60°，则∠C的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
7．（3分）在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABD＝20°，则∠AEO的度数为（ ）
A．10° B．20° C．25° D．35°
8．（3分）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD、BC上的点，且CE＝BF，AF、BE相交于点G，下列结论不正确的是（ ）
A．AF＝BE B．AF⊥BE
C．AG＝GE D．S△ABG＝S四边形CEGF
9．（3分）物理课上小刚探究弹簧测力计的“弹簧的长度与受到的拉力之间的关系”，多次改变砝码的质量x（克），测量得到弹簧的长度y（厘米），其中0≤x≤250．通过实验获得下面的一组数据，在数据分析时，发现有一个弹簧的长度是错误的，则这个错误的数据是（ ）
砝码的质量x（克） 0 50 100 150 200 250
弹簧的长度y（厘米） 2 3 4 5 5.5 7
A．4 B．5 C．7 D．5.5
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P从B出发，在正方形的边上沿B→C→D的方向运动到D停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ABP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）如果式子有意义，那么x的取值范围是 ．
12．（3分）若一次函数y＝（2﹣m）x+b的图象经过点P（x1，y1）和点Q（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是 ．
13．（3分）某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、4元、3元、2元，某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是 ．
14．（3分）如图， ABCD的顶点A（0，4），B（﹣3，0），以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，分别以点A，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠ABE的内部相交于点F，画射线BF交AD于点G，则点G的坐标是 ．
15．（3分）矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（10分）计算：
（1）÷﹣+；
（2）．
17．（9分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．请根据下列要求分别画出图形（所画图形的顶点都在格点上）：
（1）在图①中，以线段AB为一边，画一个面积为4的菱形；
（2）在图②中，以线段AB为对角线，画一个面积为3的平行四边形；
（3）在图③中，以点A为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．
18．（9分）蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
a．配送速度得分（满分，10分）；
甲：6 6 7 7 7 8 9 9 9 10
乙：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10
b．服务质量得分统计图（满分10分）：
c．配送速度和服务质量得分统计表：
项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分
平均数 中位数 平均数 方差
甲 7.8 m 7 s甲2
乙 8 8 7 s乙2
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的m＝ ；s甲2 s乙2（填“＞”“＝”或“＜”）．
（2）综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由．
（3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？
19．（9分）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH．
（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（2）若CB＝CE，∠BAE＝80°，∠DCE＝30°，求∠CBE的度数．
20．（9分）如图，在 ABCD中，点M为AC的中点，过点D作DF⊥BC，延长CB到点E使BE＝CF，连接AE，EM．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AD＝6，BF＝3，∠ADC＝120°，求EM的长．
21．（9分）暑假临近，某读书俱乐部推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲卡按照次数收费，乙卡收取办卡费用后每次打折收费．设消费的次数为x次，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题．
（1）分别求出选择这两种卡时，y与x的函数表达式；
（2）求消费多少次时，两者费用相差20元？
22．（10分）如图，已知直线AB：y1＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，在直线AB上方以AB为腰作等腰Rt△ABC，直线AC：y2＝kx+b交y轴于点D；
（1）求直线AC的解析式；
（2）填空：①当y1≥y2时，则x的取值范围为： ；
②点E是坐标平面上的一点，以A，B，D，E四点为顶点的四边形是平行四边形，则点E的坐标为 ．
23．（10分）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置；
操作二：将三角板ACD沿CA方向平移（两三角板始终接触）至图2位置．
根据以上操作，填空：
图2中AA'与CC'的数量关系是 ；四边形ABC′D′的形状是 ；
（2）迁移探究
小航将一副等腰直角三角板换成一副含30°角的直角三角板，继续探究，已知三角板AB边长为6cm，过程如下：
将三角板ACD按（1）中的方式操作，如图3，在平移过程中，四边形ABC'D'的形状能否是菱形，若不能，请说明理由，若能，请求出CC'的长；
（3）拓展应用
在（2）的探究过程中，当△BCC′为等腰三角形时，CC'的长是 cm．
2023-2024学年河南省漯河市郾城区八年级（下）期末数学试卷
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题有四个选项，其中只有一个选项是正确的。
1．（3分）下列式子为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
选：C．
2．（3分）下列四个算式正确的是（ ）
A． B．
C．＝× D．
选：B．
3．（3分）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A．2，2，2 B．2，3，4 C．3，5，6 D．1，，2
选：D．
4．（3分）下列关于直线y＝x+2的说法中，正确的是（ ）
A．经过第一、三、四象限
B．与x轴交于（2，0）
C．与y轴交于（0，2）
D．将其图象向下平移2个单位得到y＝2x的图象
选：C．
5．（3分）如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
选：C．
6．（3分）如图，将一张平行四边形纸片ABCD以DE为折痕进行折叠，点C的对应点为C′，若∠1＝20°，∠2＝60°，则∠C的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
选：A．
7．（3分）在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABD＝20°，则∠AEO的度数为（ ）
A．10° B．20° C．25° D．35°
选：B．
8．（3分）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD、BC上的点，且CE＝BF，AF、BE相交于点G，下列结论不正确的是（ ）
A．AF＝BE B．AF⊥BE
C．AG＝GE D．S△ABG＝S四边形CEGF
选：C．
9．（3分）物理课上小刚探究弹簧测力计的“弹簧的长度与受到的拉力之间的关系”，多次改变砝码的质量x（克），测量得到弹簧的长度y（厘米），其中0≤x≤250．通过实验获得下面的一组数据，在数据分析时，发现有一个弹簧的长度是错误的，则这个错误的数据是（ ）
砝码的质量x（克） 0 50 100 150 200 250
弹簧的长度y（厘米） 2 3 4 5 5.5 7
A．4 B．5 C．7 D．5.5
选：D．
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P从B出发，在正方形的边上沿B→C→D的方向运动到D停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ABP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）如果式子有意义，那么x的取值范围是 x≥4 ．
12．（3分）若一次函数y＝（2﹣m）x+b的图象经过点P（x1，y1）和点Q（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是 m＞2 ．
13．（3分）某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、4元、3元、2元，某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是 3.15元 ．
14．（3分）如图， ABCD的顶点A（0，4），B（﹣3，0），以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，分别以点A，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠ABE的内部相交于点F，画射线BF交AD于点G，则点G的坐标是 （5，4） ．
15．（3分）矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 2或1+ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（10分）计算：
（1）÷﹣+；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝﹣2+3
＝4﹣2+3
＝7﹣2；
（2）原式＝3+2+1+3﹣2+1﹣2（3﹣1）
＝4．
17．（9分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．请根据下列要求分别画出图形（所画图形的顶点都在格点上）：
（1）在图①中，以线段AB为一边，画一个面积为4的菱形；
（2）在图②中，以线段AB为对角线，画一个面积为3的平行四边形；
（3）在图③中，以点A为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．
【解答】解：（1）如图1，
∵菱形的面积＝对角线乘积的一半，
∴面积为4的菱形的对角线为4和2，
∴S菱形ABCD＝×4×2＝4，
∴菱形ABCD即为所求；
（2）如图，
∵CD＝3，AB的纵高为2，
∴S四边形ACBD＝×3×2＝3，
∴四边形ACBD即为满足条件的图形；
（3）如图，
当正方形的边长为三个方格的斜边时，
即＝的正方形ABCD的面积最大．
18．（9分）蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
a．配送速度得分（满分，10分）；
甲：6 6 7 7 7 8 9 9 9 10
乙：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10
b．服务质量得分统计图（满分10分）：
c．配送速度和服务质量得分统计表：
项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分
平均数 中位数 平均数 方差
甲 7.8 m 7 s甲2
乙 8 8 7 s乙2
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的m＝ 7.5 ；s甲2 ＜ s乙2（填“＞”“＝”或“＜”）．
（2）综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由．
（3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？
【解答】解：（1）甲公司配送速度得分从小到大排列为：6 6 7 7 7 8 9 9 9 10，
一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为7、8，
所以中位数m＝＝7.5．
＝×[3×（7﹣7）2+4×（8﹣7）2+2×（6﹣7）2+（5﹣7）2]＝1，
＝×[（4﹣7）2+（8﹣7）2+2×（10﹣7）2+2×（6﹣7）2+（9﹣7）2+2×（5﹣7）2+（7﹣7）2]＝4.2，
∴＜，
故答案为：7.5，＜；
（2）小丽应选择甲公司（答案不唯一），理由如下：
∵配送速度得分甲和乙的得分相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，
∴甲更稳定，
∴小丽应选择甲公司；
（3）还应收集甲、乙两家公司的收费情况．（答案不唯一，言之有理即可）
19．（9分）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH．
（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（2）若CB＝CE，∠BAE＝80°，∠DCE＝30°，求∠CBE的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，
∵BF＝BE，CG＝CE，
∴BC是△EFG的中位线，
∴BC∥FG，BC＝FG，
∵H为FG的中点，
∴FH＝FG，
∴BC∥FH，BC＝FH，
∴AD∥FH，AD＝FH，
∴四边形AFHD是平行四边形；
（2）解：∵∠BAE＝80°，
∴∠BCD＝80°，
∵∠DCE＝30°，
∴∠BCE＝80°﹣30°＝50°，
∵CB＝CE，
∴∠CBE＝∠CEB＝（180°﹣50°）＝65°．
20．（9分）如图，在 ABCD中，点M为AC的中点，过点D作DF⊥BC，延长CB到点E使BE＝CF，连接AE，EM．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AD＝6，BF＝3，∠ADC＝120°，求EM的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴AD∥EF，
∵BE＝CF，
∴BE+BF＝CF+BF，即EF＝BC，
∴AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
又∵DF⊥BC，
∴∠DFE＝90°，
∴四边形AEFD是矩形．
（2）解：由（1）可知，∠DFE＝∠DFC＝90°，AD＝EF＝BC，
∵AD＝6，BF＝3，
∴EB＝CF＝3，EC＝9，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝120°，
∴∠DCF＝60°，∠CDF＝30°，
∴DC＝2CF＝6，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：DF2+CF2＝DC2，
∴，
∵四边形AEFD是矩形，
∴，∠AEC＝90°，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE2+EC2＝AC2，
∴，
∵M是AC的中点，∠AEC＝90°，
∴．
21．（9分）暑假临近，某读书俱乐部推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲卡按照次数收费，乙卡收取办卡费用后每次打折收费．设消费的次数为x次，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题．
（1）分别求出选择这两种卡时，y与x的函数表达式；
（2）求消费多少次时，两者费用相差20元？
【解答】解：（1）设y甲＝k1x，
把（4，80）代入解析式得4k1＝80，
解得k1＝20，
∴y甲＝20x；
设y乙＝k2x+80，
把（12，200）代入解析式得12k2+80＝200，
解得k2＝10，
∴y乙＝10x+80；
（2）根据题意得：|20x﹣（10x+80）|＝20，
解得x﹣6或x＝10，
答：当消费6次或10次时，两者费用相差20元．
22．（10分）如图，已知直线AB：y1＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，在直线AB上方以AB为腰作等腰Rt△ABC，直线AC：y2＝kx+b交y轴于点D；
（1）求直线AC的解析式；
（2）填空：①当y1≥y2时，则x的取值范围为： x≤2 ；
②点E是坐标平面上的一点，以A，B，D，E四点为顶点的四边形是平行四边形，则点E的坐标为 （2，5）或（2，﹣5）或（﹣2，3） ．
【解答】解：（1）当y＝0时，x＝2，
∴A（2，0），
当x＝0时，y＝4，
∴B（0，4），
过点C作CM⊥x轴交于M点，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAO+∠ABO＝90°，∠BAO+∠CAM＝90°，
∴∠CAM＝∠ABO，
∵AB＝AC，
∴△ABO≌△CAM（AAS），
∴AM＝BO＝4，CM＝AO＝2，
∴C（6，2），
将点A、C代入直线y＝kx+b中，
∴，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝x﹣1；
（2）①当x≤2时，y1≥y2，
故答案为：x≤2；
②当x＝0时，y＝﹣1，
∴D（0，﹣1），
设E（x，y），
当AB为平行四边形的对角线时，2＝x，y﹣1＝4，
∴E（2，5）；
当AD为平行四边形的对角线时，2＝x，y+4＝﹣1，
∴E（2，﹣5）；
当AE为平行四边形的对角线时，x+2＝0，y＝4﹣1，
∴E（﹣2，3）；
综上所述：E点坐标为（2，5）或（2，﹣5）或（﹣2，3），
故答案为：（2，5）或（2，﹣5）或（﹣2，3）．
23．（10分）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置；
操作二：将三角板ACD沿CA方向平移（两三角板始终接触）至图2位置．
根据以上操作，填空：
图2中AA'与CC'的数量关系是 AA′＝CC′ ；四边形ABC′D′的形状是 平行四边形 ；
（2）迁移探究
小航将一副等腰直角三角板换成一副含30°角的直角三角板，继续探究，已知三角板AB边长为6cm，过程如下：
将三角板ACD按（1）中的方式操作，如图3，在平移过程中，四边形ABC'D'的形状能否是菱形，若不能，请说明理由，若能，请求出CC'的长；
（3）拓展应用
在（2）的探究过程中，当△BCC′为等腰三角形时，CC'的长是 6或6 cm．
【解答】解：（1）∵△ABC，△ADC都是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是正方形；
根据平移的性质可得，AA′＝CC′，
如图所示，连接AD′，BC′，
∵△ABC，△ADC都是等腰直角三角形，
∴AB＝C′D′，
∵将三角板ACD沿CA方向平移（两个三角板始终接触），
∴AA′＝CC′，A′D′＝BC，且∠A′＝∠BCC′＝45°，
在△A′AD和△CC′B中，
，
∴△A′AD≌△CC′B（SAS），
∴AD′＝C′B，且AB＝C′D′，
∴四边形ABC′D′是平行四边形，
故答案为：AA′＝CC′，平行四边形．
（2）可以是菱形，理由如下：
如图所示，连接AD′，BC′，
∵AB＝6cm，∠ACB＝30°，∠ABC＝90°，
∴AC＝12cm，∠BAC＝60°，
∵将三角板ACD沿CA方向平移，
∴CD＝C′D′＝AB，CD∥C′D′∥AB，
∴四边形ABC′D′是平行四边形，
∴当BC′＝AB＝6cm时，四边形ABC′D′是菱形．
∵BC′＝AB＝6cm，∠BAC＝60°，
∴△ABC′是等边三角形，
∴AB＝AC′＝BC′＝6cm，
∴CC′＝AC﹣AC′＝12﹣6＝6cm．
（3）∵含30°角的直角三角板，即∠ACB＝30°，AB边长为6cm，
∴AC＝2AB＝2×6＝12，
①当BC′＝CC′时，△BCC′为等腰三角形，如图所示，
∵∠ACB＝30°，BC′＝CC′，
∴∠CBC′＝∠BCC′＝30°，
∴∠ABC′＝∠ABC﹣∠CBC′＝90°﹣30°＝60°，且∠BAC′＝60°，
∴BC′＝AC′，
∴点C′是AC的中点，
∴；
②当BC＝C′C时，△BCC′为等腰三角形，如图所示，
∵∠ACB＝30°，AB＝6，∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，，
∵△BCC′为等腰三角形，BC＝C′C，
∴；
③当BC＝BC′时，△BCC′为等腰三角形，如图所示，
与“将三角板ACD沿CA方向平移（两个三角板始终接触）”矛盾，
∴不存在；
综上所示，当△BCC′为等腰三角形时，CC′的长为6cm或．
故答案为：6或6．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题有四个选项，其中只有一个选项是正确的。
1．（3分）下列式子为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列四个算式正确的是（ ）
A． B．
C．＝× D．
3．（3分）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A．2，2，2 B．2，3，4 C．3，5，6 D．1，，2
4．（3分）下列关于直线y＝x+2的说法中，正确的是（ ）
A．经过第一、三、四象限
B．与x轴交于（2，0）
C．与y轴交于（0，2）
D．将其图象向下平移2个单位得到y＝2x的图象
5．（3分）如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．（3分）如图，将一张平行四边形纸片ABCD以DE为折痕进行折叠，点C的对应点为C′，若∠1＝20°，∠2＝60°，则∠C的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
7．（3分）在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABD＝20°，则∠AEO的度数为（ ）
A．10° B．20° C．25° D．35°
8．（3分）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD、BC上的点，且CE＝BF，AF、BE相交于点G，下列结论不正确的是（ ）
A．AF＝BE B．AF⊥BE
C．AG＝GE D．S△ABG＝S四边形CEGF
9．（3分）物理课上小刚探究弹簧测力计的“弹簧的长度与受到的拉力之间的关系”，多次改变砝码的质量x（克），测量得到弹簧的长度y（厘米），其中0≤x≤250．通过实验获得下面的一组数据，在数据分析时，发现有一个弹簧的长度是错误的，则这个错误的数据是（ ）
砝码的质量x（克） 0 50 100 150 200 250
弹簧的长度y（厘米） 2 3 4 5 5.5 7
A．4 B．5 C．7 D．5.5
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P从B出发，在正方形的边上沿B→C→D的方向运动到D停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ABP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）如果式子有意义，那么x的取值范围是 ．
12．（3分）若一次函数y＝（2﹣m）x+b的图象经过点P（x1，y1）和点Q（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是 ．
13．（3分）某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、4元、3元、2元，某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是 ．
14．（3分）如图， ABCD的顶点A（0，4），B（﹣3，0），以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，分别以点A，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠ABE的内部相交于点F，画射线BF交AD于点G，则点G的坐标是 ．
15．（3分）矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（10分）计算：
（1）÷﹣+；
（2）．
17．（9分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．请根据下列要求分别画出图形（所画图形的顶点都在格点上）：
（1）在图①中，以线段AB为一边，画一个面积为4的菱形；
（2）在图②中，以线段AB为对角线，画一个面积为3的平行四边形；
（3）在图③中，以点A为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．
18．（9分）蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
a．配送速度得分（满分，10分）；
甲：6 6 7 7 7 8 9 9 9 10
乙：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10
b．服务质量得分统计图（满分10分）：
c．配送速度和服务质量得分统计表：
项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分
平均数 中位数 平均数 方差
甲 7.8 m 7 s甲2
乙 8 8 7 s乙2
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的m＝ ；s甲2 s乙2（填“＞”“＝”或“＜”）．
（2）综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由．
（3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？
19．（9分）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH．
（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（2）若CB＝CE，∠BAE＝80°，∠DCE＝30°，求∠CBE的度数．
20．（9分）如图，在 ABCD中，点M为AC的中点，过点D作DF⊥BC，延长CB到点E使BE＝CF，连接AE，EM．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AD＝6，BF＝3，∠ADC＝120°，求EM的长．
21．（9分）暑假临近，某读书俱乐部推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲卡按照次数收费，乙卡收取办卡费用后每次打折收费．设消费的次数为x次，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题．
（1）分别求出选择这两种卡时，y与x的函数表达式；
（2）求消费多少次时，两者费用相差20元？
22．（10分）如图，已知直线AB：y1＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，在直线AB上方以AB为腰作等腰Rt△ABC，直线AC：y2＝kx+b交y轴于点D；
（1）求直线AC的解析式；
（2）填空：①当y1≥y2时，则x的取值范围为： ；
②点E是坐标平面上的一点，以A，B，D，E四点为顶点的四边形是平行四边形，则点E的坐标为 ．
23．（10分）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置；
操作二：将三角板ACD沿CA方向平移（两三角板始终接触）至图2位置．
根据以上操作，填空：
图2中AA'与CC'的数量关系是 ；四边形ABC′D′的形状是 ；
（2）迁移探究
小航将一副等腰直角三角板换成一副含30°角的直角三角板，继续探究，已知三角板AB边长为6cm，过程如下：
将三角板ACD按（1）中的方式操作，如图3，在平移过程中，四边形ABC'D'的形状能否是菱形，若不能，请说明理由，若能，请求出CC'的长；
（3）拓展应用
在（2）的探究过程中，当△BCC′为等腰三角形时，CC'的长是 cm．
2023-2024学年河南省漯河市郾城区八年级（下）期末数学试卷
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题有四个选项，其中只有一个选项是正确的。
1．（3分）下列式子为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
选：C．
2．（3分）下列四个算式正确的是（ ）
A． B．
C．＝× D．
选：B．
3．（3分）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A．2，2，2 B．2，3，4 C．3，5，6 D．1，，2
选：D．
4．（3分）下列关于直线y＝x+2的说法中，正确的是（ ）
A．经过第一、三、四象限
B．与x轴交于（2，0）
C．与y轴交于（0，2）
D．将其图象向下平移2个单位得到y＝2x的图象
选：C．
5．（3分）如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
选：C．
6．（3分）如图，将一张平行四边形纸片ABCD以DE为折痕进行折叠，点C的对应点为C′，若∠1＝20°，∠2＝60°，则∠C的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
选：A．
7．（3分）在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABD＝20°，则∠AEO的度数为（ ）
A．10° B．20° C．25° D．35°
选：B．
8．（3分）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD、BC上的点，且CE＝BF，AF、BE相交于点G，下列结论不正确的是（ ）
A．AF＝BE B．AF⊥BE
C．AG＝GE D．S△ABG＝S四边形CEGF
选：C．
9．（3分）物理课上小刚探究弹簧测力计的“弹簧的长度与受到的拉力之间的关系”，多次改变砝码的质量x（克），测量得到弹簧的长度y（厘米），其中0≤x≤250．通过实验获得下面的一组数据，在数据分析时，发现有一个弹簧的长度是错误的，则这个错误的数据是（ ）
砝码的质量x（克） 0 50 100 150 200 250
弹簧的长度y（厘米） 2 3 4 5 5.5 7
A．4 B．5 C．7 D．5.5
选：D．
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P从B出发，在正方形的边上沿B→C→D的方向运动到D停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ABP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）如果式子有意义，那么x的取值范围是 x≥4 ．
12．（3分）若一次函数y＝（2﹣m）x+b的图象经过点P（x1，y1）和点Q（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是 m＞2 ．
13．（3分）某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、4元、3元、2元，某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是 3.15元 ．
14．（3分）如图， ABCD的顶点A（0，4），B（﹣3，0），以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，分别以点A，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠ABE的内部相交于点F，画射线BF交AD于点G，则点G的坐标是 （5，4） ．
15．（3分）矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 2或1+ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（10分）计算：
（1）÷﹣+；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝﹣2+3
＝4﹣2+3
＝7﹣2；
（2）原式＝3+2+1+3﹣2+1﹣2（3﹣1）
＝4．
17．（9分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．请根据下列要求分别画出图形（所画图形的顶点都在格点上）：
（1）在图①中，以线段AB为一边，画一个面积为4的菱形；
（2）在图②中，以线段AB为对角线，画一个面积为3的平行四边形；
（3）在图③中，以点A为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．
【解答】解：（1）如图1，
∵菱形的面积＝对角线乘积的一半，
∴面积为4的菱形的对角线为4和2，
∴S菱形ABCD＝×4×2＝4，
∴菱形ABCD即为所求；
（2）如图，
∵CD＝3，AB的纵高为2，
∴S四边形ACBD＝×3×2＝3，
∴四边形ACBD即为满足条件的图形；
（3）如图，
当正方形的边长为三个方格的斜边时，
即＝的正方形ABCD的面积最大．
18．（9分）蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
a．配送速度得分（满分，10分）；
甲：6 6 7 7 7 8 9 9 9 10
乙：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10
b．服务质量得分统计图（满分10分）：
c．配送速度和服务质量得分统计表：
项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分
平均数 中位数 平均数 方差
甲 7.8 m 7 s甲2
乙 8 8 7 s乙2
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的m＝ 7.5 ；s甲2 ＜ s乙2（填“＞”“＝”或“＜”）．
（2）综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由．
（3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？
【解答】解：（1）甲公司配送速度得分从小到大排列为：6 6 7 7 7 8 9 9 9 10，
一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为7、8，
所以中位数m＝＝7.5．
＝×[3×（7﹣7）2+4×（8﹣7）2+2×（6﹣7）2+（5﹣7）2]＝1，
＝×[（4﹣7）2+（8﹣7）2+2×（10﹣7）2+2×（6﹣7）2+（9﹣7）2+2×（5﹣7）2+（7﹣7）2]＝4.2，
∴＜，
故答案为：7.5，＜；
（2）小丽应选择甲公司（答案不唯一），理由如下：
∵配送速度得分甲和乙的得分相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，
∴甲更稳定，
∴小丽应选择甲公司；
（3）还应收集甲、乙两家公司的收费情况．（答案不唯一，言之有理即可）
19．（9分）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH．
（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（2）若CB＝CE，∠BAE＝80°，∠DCE＝30°，求∠CBE的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，
∵BF＝BE，CG＝CE，
∴BC是△EFG的中位线，
∴BC∥FG，BC＝FG，
∵H为FG的中点，
∴FH＝FG，
∴BC∥FH，BC＝FH，
∴AD∥FH，AD＝FH，
∴四边形AFHD是平行四边形；
（2）解：∵∠BAE＝80°，
∴∠BCD＝80°，
∵∠DCE＝30°，
∴∠BCE＝80°﹣30°＝50°，
∵CB＝CE，
∴∠CBE＝∠CEB＝（180°﹣50°）＝65°．
20．（9分）如图，在 ABCD中，点M为AC的中点，过点D作DF⊥BC，延长CB到点E使BE＝CF，连接AE，EM．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AD＝6，BF＝3，∠ADC＝120°，求EM的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴AD∥EF，
∵BE＝CF，
∴BE+BF＝CF+BF，即EF＝BC，
∴AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
又∵DF⊥BC，
∴∠DFE＝90°，
∴四边形AEFD是矩形．
（2）解：由（1）可知，∠DFE＝∠DFC＝90°，AD＝EF＝BC，
∵AD＝6，BF＝3，
∴EB＝CF＝3，EC＝9，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝120°，
∴∠DCF＝60°，∠CDF＝30°，
∴DC＝2CF＝6，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：DF2+CF2＝DC2，
∴，
∵四边形AEFD是矩形，
∴，∠AEC＝90°，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE2+EC2＝AC2，
∴，
∵M是AC的中点，∠AEC＝90°，
∴．
21．（9分）暑假临近，某读书俱乐部推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲卡按照次数收费，乙卡收取办卡费用后每次打折收费．设消费的次数为x次，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题．
（1）分别求出选择这两种卡时，y与x的函数表达式；
（2）求消费多少次时，两者费用相差20元？
【解答】解：（1）设y甲＝k1x，
把（4，80）代入解析式得4k1＝80，
解得k1＝20，
∴y甲＝20x；
设y乙＝k2x+80，
把（12，200）代入解析式得12k2+80＝200，
解得k2＝10，
∴y乙＝10x+80；
（2）根据题意得：|20x﹣（10x+80）|＝20，
解得x﹣6或x＝10，
答：当消费6次或10次时，两者费用相差20元．
22．（10分）如图，已知直线AB：y1＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，在直线AB上方以AB为腰作等腰Rt△ABC，直线AC：y2＝kx+b交y轴于点D；
（1）求直线AC的解析式；
（2）填空：①当y1≥y2时，则x的取值范围为： x≤2 ；
②点E是坐标平面上的一点，以A，B，D，E四点为顶点的四边形是平行四边形，则点E的坐标为 （2，5）或（2，﹣5）或（﹣2，3） ．
【解答】解：（1）当y＝0时，x＝2，
∴A（2，0），
当x＝0时，y＝4，
∴B（0，4），
过点C作CM⊥x轴交于M点，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAO+∠ABO＝90°，∠BAO+∠CAM＝90°，
∴∠CAM＝∠ABO，
∵AB＝AC，
∴△ABO≌△CAM（AAS），
∴AM＝BO＝4，CM＝AO＝2，
∴C（6，2），
将点A、C代入直线y＝kx+b中，
∴，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝x﹣1；
（2）①当x≤2时，y1≥y2，
故答案为：x≤2；
②当x＝0时，y＝﹣1，
∴D（0，﹣1），
设E（x，y），
当AB为平行四边形的对角线时，2＝x，y﹣1＝4，
∴E（2，5）；
当AD为平行四边形的对角线时，2＝x，y+4＝﹣1，
∴E（2，﹣5）；
当AE为平行四边形的对角线时，x+2＝0，y＝4﹣1，
∴E（﹣2，3）；
综上所述：E点坐标为（2，5）或（2，﹣5）或（﹣2，3），
故答案为：（2，5）或（2，﹣5）或（﹣2，3）．
23．（10分）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置；
操作二：将三角板ACD沿CA方向平移（两三角板始终接触）至图2位置．
根据以上操作，填空：
图2中AA'与CC'的数量关系是 AA′＝CC′ ；四边形ABC′D′的形状是 平行四边形 ；
（2）迁移探究
小航将一副等腰直角三角板换成一副含30°角的直角三角板，继续探究，已知三角板AB边长为6cm，过程如下：
将三角板ACD按（1）中的方式操作，如图3，在平移过程中，四边形ABC'D'的形状能否是菱形，若不能，请说明理由，若能，请求出CC'的长；
（3）拓展应用
在（2）的探究过程中，当△BCC′为等腰三角形时，CC'的长是 6或6 cm．
【解答】解：（1）∵△ABC，△ADC都是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是正方形；
根据平移的性质可得，AA′＝CC′，
如图所示，连接AD′，BC′，
∵△ABC，△ADC都是等腰直角三角形，
∴AB＝C′D′，
∵将三角板ACD沿CA方向平移（两个三角板始终接触），
∴AA′＝CC′，A′D′＝BC，且∠A′＝∠BCC′＝45°，
在△A′AD和△CC′B中，
，
∴△A′AD≌△CC′B（SAS），
∴AD′＝C′B，且AB＝C′D′，
∴四边形ABC′D′是平行四边形，
故答案为：AA′＝CC′，平行四边形．
（2）可以是菱形，理由如下：
如图所示，连接AD′，BC′，
∵AB＝6cm，∠ACB＝30°，∠ABC＝90°，
∴AC＝12cm，∠BAC＝60°，
∵将三角板ACD沿CA方向平移，
∴CD＝C′D′＝AB，CD∥C′D′∥AB，
∴四边形ABC′D′是平行四边形，
∴当BC′＝AB＝6cm时，四边形ABC′D′是菱形．
∵BC′＝AB＝6cm，∠BAC＝60°，
∴△ABC′是等边三角形，
∴AB＝AC′＝BC′＝6cm，
∴CC′＝AC﹣AC′＝12﹣6＝6cm．
（3）∵含30°角的直角三角板，即∠ACB＝30°，AB边长为6cm，
∴AC＝2AB＝2×6＝12，
①当BC′＝CC′时，△BCC′为等腰三角形，如图所示，
∵∠ACB＝30°，BC′＝CC′，
∴∠CBC′＝∠BCC′＝30°，
∴∠ABC′＝∠ABC﹣∠CBC′＝90°﹣30°＝60°，且∠BAC′＝60°，
∴BC′＝AC′，
∴点C′是AC的中点，
∴；
②当BC＝C′C时，△BCC′为等腰三角形，如图所示，
∵∠ACB＝30°，AB＝6，∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，，
∵△BCC′为等腰三角形，BC＝C′C，
∴；
③当BC＝BC′时，△BCC′为等腰三角形，如图所示，
与“将三角板ACD沿CA方向平移（两个三角板始终接触）”矛盾，
∴不存在；
综上所示，当△BCC′为等腰三角形时，CC′的长为6cm或．
故答案为：6或6．
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