河北省名校联盟2023-2024学年高一下学期7月期末考试
数学试题
注意事项:
1. 答题前, 考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷主要考试内容: 人教 A 版必修第二册, 选择性必修第一册第一章 1.1- 1.3 。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 在 中,角 的对应边分别为 . 若 ,则
A. B. C. D.
2. 在复平面内对应的点在
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 若向量 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 必要不充分条件 B. 充要条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 某校为了了解学生的体能情况, 于 6 月中旬在全校进行体能测试,统计得到所有学生的体能测试成绩均在 内. 现将所有学生的体能测试成绩按 分成三组, 绘制成如图所示的频率分布直方图. 若根据体能测试成绩采用按比例分层随机抽样的方法抽取 20 名学生作为某项活动的志愿者,则体能测试成绩在 内的被抽取的学生人数为
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
5. 已知点 为坐标原点,且 ,则
A. 36 B. C. 6 D.
6. 已知圆台的上底面半径为 1,下底面半径为 5,侧面积为 ,则该圆台的体积
A. B. C. D.
7. 抛掷一枚质地均匀的骰子, 并记下每次抛掷后正面朝上的点数. 若第一次抛掷正面朝上的数字大于 4 , 则再抛掷一次, 若第一次抛掷正面朝上的数字不大于 4 , 则停止抛掷, 则抛掷骰子所得点数之和为奇数的概率为
A. B. C. D.
8. 在 中, 为线段 上 (不包含端点) 不同的两个动点. 若 ,则
A. 3 B. 4 C. 6 D. 7
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知甲组数据为 组数据为 ,将甲、乙两组数据混合后得到丙组数据,则
A. 丙组数据的中位数为 5
B. 甲组数据的 分位数是 2
C. 甲组数据的方差等于乙组数据的方差
D. 甲组数据的平均数小于乙组数据的平均数
10. 在 中,角 的对应边分别为 . 已知 ,则下列结论正确的是
A.
B. 外接圆的半径为
C. 面积的最大值为
D. 若 为 的中线,则 的最小值为
11. 若三棱锥 的体积是三棱锥 体积的 ,且 ,则 的值可能为
A. B. C. D.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知复数 满足 . 若 为纯虚数,则 , 的虚部 .
13. 已知 ,则 .
14. 如图,在正三棱锥 中, . 正三棱柱 的顶点 分别为 的中点, 在底面 内,则正三棱柱 外接球的表面积为 .
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知向量 与 的夹角为 ,且 .
(1) 求 ;
(2) 求 在 方向上的投影向量 (用 表示).
16. (15 分)
在长方体 中, 为 与 的交点.
(1) 用向量 表示 ;
(2) 以 为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,请写出 , 四点的坐标及向量 的坐标;
(3) 求异面直线 与 所成角的余弦值.
17. (15 分)
如图,在四棱锥 中, 平面 为 的中点, 为 的中点.
(1) 证明: 平面 .
(2) 证明: 平面 .
(3) 求直线 与平面 所成角的正弦值.
18. (17 分)
如图,甲船在点 处通过雷达发现在其南偏东 方向相距 20 海里的 处有一艘货船发出供油补给需求,该货船正以 15 海里/时的速度从 处向南偏西 的方向行驶. 甲船立即通知在其正西方向且相距 海里的 处的补给船,补给船立刻以 25 海里/时的速度与货船在 处会合.
(1) 求 的长;
（2）试问补给船至少应行驶几小时, 才能与货船会合
19. (17 分)
在信道内传输 0,1 信号,信号的传输相互独立. 发送 0 时,收到 1 的概率为 ,收到 0 的概率为 ; 发送 1 时,收到 0 的概率为 ,收到 1 的概率为 . 现有两种传输方案: 单次传输和三次传输. 单次传输是指每个信号只发送 1 次, 三次传输是指每个信号重复发送 3 次. 收到的信号需要译码, 译码规则如下: 单次传输时, 收到的信号即为译码 (例如, 若收到 1 , 则译码为 1 , 若收到 0 , 则译码为 0 ); 三次传输时, 收到的信号中出现次数多的即为译码 (例如,若依次收到 ,则译码为 1,若依次收到 ,则译码为 1 ).
(1) 已知 .
①若采用单次传输方案, 重复发送信号 0 两次, 求至少收到一次 0 的概率;
②若采用单次传输方案,依次发送 ,证明: 事件“第三次收到的信号为 1 ”与事件“三次收到的数字之和为 2 ”相互独立.
(2) 若发送 1 , 采用三次传输方案时译码为 0 的概率大于采用单次传输方案时译码为 0 的概率,求 的取值范围.数学参考答案
1.B
根据正弦定理可得⑧
=C,解得c=2.
sinsin
2.A因为2合书-18+=20时=十i所以在复平面内对应
4一2
5
的点(4,1)在第一象限
3.C若1=2，则4一λ2=0，即a⊥b.若a⊥b,则4-2=0，解得1=士2.
0.3
4.B根据题意可得体能测试成绩在[90,100]内的被抽取的学生人数为20×0.3+0.2+0.5=6.
5.C因为P(1,√11，-2)，Q(4,0,m),所以Op=(1,√1I,-2),O=(4,0,m).
又O泸.O0=4-2m=0,解得m=2,所以Q(4,0,2),则P0=(3,-√，4)，所以P1=
9+11+16=6.
6.B设该圆台的母线长为1，根据题意可得π(1十5)l=30π，解得1=5，所以该圆台的高为
√5-(5-1)=3，则V=×3×(12+1×5+5)=31元.
7.D根据题意可得抛掷一次的所有情况为(1)，(2)，(3)，(4)，共4种情况，抛掷两次的所有情
况为(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共
12种情况，故抛掷敬子所得点数之和为奇数的概率为号×导+号×是一
8.C设AM=aAB+(1-a)AC(a∈R),AN=bA克+(1-b)AC(b∈R),则Ai+AN=aAB
+(1-a)C+6a店+(1-b)AC=(a+b)B+(2-a-b)AC=2(a+b)A花+3(2-a
0A市，则2(a十b)=入，得2以十4=6.
3(2-a-b)=4
9ACD将丙组数据从小到大排列为2,34,67,8，可得丙组数据的中位数为生=5，A正
确.将甲组数据从小到大排列为2,3,4，因为3×70%=2.1，所以甲组数据的70%分位数是
4,B错误.易得甲组数据的方差等于乙组数据的方差，C正确.甲组数据的平均数为4十3十2
3
=3,乙组数据的平均数为6十7十8=7,3<7，D正确。
3
10.BCD因为(a+b)(sinA十sinB)=csin C+asin B,所以由正弦定理得(a+b)(a十b)=c2+
ab,即a+-2=一ab,由余弦定理得cosC-a。C-b--号，因为C∈(0，x),」
2ab
2ab
【高一数学·参考答案第1页（共4页）】
·25-03A·
所以C答A错误，设△ABC外接圆的半径为R,则C合48=2R,得R=23,B
2
正确.由a2十b-c2=-ab,得a2十b2十ab=36≥2ab十ab,即ab≤12，当且仅当a=b=2√3
时，等号成立，则Sa虹=siC≤<分×12×号-35，即△ABC面积的最大值为35，C
正确根据题意可得1C市=}(C+C市2=}(a2+-a6)=}(2-2a)=9-2ab>3,
则CD1≥√，D正确.
11.AC因为三棱锥M-ABC的体积是三棱锥P-ABC体积的3，所以在平面ABC内存在一
点Q,使得Pi=号P或PM=号P吃.当PM=号P时，则号P咬=xPi-2Pi+3P心，得
P0-名入P-3P3+号心.因为点Q在平面ABC内，所以根据空间向量基本定理可得
多入-3+号=1，解得入=一子当Pi=P夜时，则号P夜=入P-2P市+3P心，得P
子P-多P吨+号T心因为点Q在平面A少C内，所以根据空间向量基本定理可得X
多+是-1，解得入-子
12.-2;一1根据题意可得g=m十2十(m十3)i(m∈R),则m十2=0，得m=-2,则=i,=
一i,之的虚部为一1.
13.合由题意得PB)=号.由PAUB)=PA)+P(B)-PAnB),得P(AnB)=-}
14.21π取△DEF的中心O',连接PO,交平面DEF于点O,则点O为
△DEF的中心，PO⊥平面D'EF'.连接OE,设点M为正三棱柱
DEF-D'E'F'外接球的球心，连接ME,DE=3,则OE=√3.因为PO=
V48-(23)=6,所以O0=3,OM=号，则正三棱柱DEF-D'E'F'外
接球的半径ME=VO中OE=√？+3=牙，故正三棱柱20
DEF-D'E'F'外接球的表面积为4x×4-21x
a·b=|ab川cosT=6Xw2X号=6.
由a十b|2=a2十2a·b十b2=36+12+2=50,…5分
得a十b=5√2.…7分
【高一数学·参考答案第2页（共4页）】
·25-03A·
