1.4 充分条件与必要条件 分层训练（含解析）-高中数学人教A版（2019）

1.4 充分条件与必要条件 分层训练
一、基础巩固
1．“”是“”的（　　）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设，则“”是“”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．“”是“”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知实数a，b，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．以下选项中，p是q的充要条件的是（　　）
A．p：，q：
B．p：，q：
C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形
D．p：，q：关于x的方程有唯一解
6．已知，如果是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
8．设，则“”是“”的（　　）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分又不必要
9．关于x的方程，以下命题正确的个数为（　　）
（1）方程有二正根的充要条件是；（2）方程有二异号实根的充要条件是；（3）方程两根均大于1的充要条件是.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．是方程有实根且的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．“”是“”的是　 　条件．
12．“”是“”的　 　(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”).
13．已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是　 　．
14．设，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　 　.
15．若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中：
①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；
③集合为数域；④有理数集为数域；
真命题的个数为　 　
若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为　 　.
二、能力提升
17．使成立的充分条件是（　　）
A． B． C． D．
18．已知命题：关于x的不等式，命题：，若是的必要非充分条件，则实数的取值可以为（　　）
A． B． C． D．
19．若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（　　）
A． B． C． D．
20．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（　　）
A． B． C． D．2
21．下列命题正确的是（　　）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．若集合，，则
D．对任意表示不大于x的最大整数，例如，那么“”是“”的必要不充分条件
22．下列命题为假命题的是（　　）
A．若命题：某班所有男生都爱踢足球，则：某班至少有一个女生爱踢足球
B．“和都是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件
C．“”是“”的必要不充分条件
D．“”是“一次函数“的图象交轴于负半轴，交轴于正半轴”的既不充分也不必要条件
三、解答题
23．已知，，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
24．已知：关于的方程有实数根，：．
（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
已知或，为非空集合)，记，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
26．已知集合，，.
（1）若是“”的充分条件，求实数a的取值范围.
（2）若，求实数a的取值范围.
27．已知集合
（1）若写出的所有子集
（2）若是的必要条件，求实数的取值范围.
28．已知全集，集合，集合，其中.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的充分条件，求a的取值范围.
1．答案:A
解析：解：x＞0无法推出x≥3，充分性不成立；
x≥3可以推出x＞0，必要性成立；
所以“x＞0”是“x≥3”的必要不充分条件，
故答案为：A.
分析：利用充分条件、必要条件的定义判断.
2．答案:C
解析：解：因为，
所以 的充要条件是{x|x＞5或x＜0}，
又因为集合{x|x＞5}包含于集合{x|x＞5或x＜0}，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故答案为：C.
分析：先解不等式，求得的充要条件，再利用集合之间的关系证明充分性、必要性.
3．答案:B
解析：解：若b＞a＞0，则a(b+1)-a2=a(b+1-a)＞0，充分性成立；
若a(b+1)＞a2，即a(b+1)-a2=a(b+1-a)＞0，则，必要性不成立；
所以“b＞a＞0”是“a(b+1)＞a2”的充分不必要条件，
故答案为：B.
分析：利用充分条件、必要条件的定义判断即可.
4．答案:C
解析：解：因为，
，
所以“”是“”的充要条件，
故答案为：C.
分析：解不等式证明充分性、必要性即可.
5．答案:D
解析：解：A、由3x+2＞5得：x＞1，由-2x-3＞-5得：x＜1，所以p是q的既不充分也不必要条件，故不选A；
B、由a＞2，b＜2可得：a＞b，充分性成立；由令a=1，b=0，满足a＞b，但不满足a＞2，b＜2，必要性不成立，所以p是q的充分不必要条件，故不选B；
C、四边形的两条对角线互相垂直平分，这样的四边形不一定是正方形，充分性不成立；
正方形的两条对角线互相垂直平分，必要性成立；所以p是q的必要不充分条件，故不选C；
D、a≠0，则关于x的方程ax=1有唯一解：，充分性成立；关于x的方程ax=1有唯一解，则a≠0，必要性成立，所以p是q的充要条件，故选D；
故答案为：D.
分析：利用充分条件、必要条件的定义即可证明四个选项.
6．答案:A
解析：解：因为 ，
所以""的充要条件是“x≥2或x≤-1”，
又因为p是q的充分不必要条件，
所以，
所以k≥2，故答案为：A.
分析：解不等式求得充要条件，再利用充分性、必要性与集合之间的关系求参数的取值范围.
7．答案:B
解析：由，，
故由可以推出，
∴“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
分析：根据已知条件化简结合条件的判断即得答案.
8．答案:A
解析：解：由得：
的充要条件是：，
又因为，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故答案为：A.
分析：解不等式求充要条件，再利用集合之间的关系证明充分性、必要性.
9．答案:B
解析：解：关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
（1）方程有二正根的充要条件是，故（1）错误；
（2）方程有二异号实根，设为x1，x2，则，充分性成立；
若，则ac＜0，则 =b2-4ac＞0恒成立，所以方程有二实根且异号，必要性成立；
所以方程有二异号实根的充要条件是，故（2）正确；
（3）令a=2，b=-7，c=3，则方程为2x2-7x+3=0，
满足 ，但是方程的两个根为，所以（3）错误；
三个命题中只有（2）是正确的，
故答案为：B.
分析：运用根的分布、特例法判断.
10．答案:A
解析：解：由方程有实根且得：，
解得：，
又因为，
所以 是方程有实根且的充分不必要条件，
故答案为：A.
分析：解不等式求充要条件，再利用集合间的关系判断充分性、必要性.
11．答案:充分不必要
解析：解：因为，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要.
分析：利用集合间的关系判断充分条件、必要条件.
12．答案:充分不必要条件
解析：解：由2x+3≤0得：，由2x-6≤0得：x≤3，
因为，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要条件.
分析：先求解不等式，再利用集合间的关系判断充分条件、必要条件.
13．答案:
解析：解：因为命题“”是命题“”的充分不必要条件，
所以，所以a＜3，
故答案为：a＜3.
分析：利用充分不必要条件得出集合之间的关系，再求参数的取值范围.
14．答案:
解析：解：由4x-3＜1得：x＜1，由x-ax-1＜0得：x＜2a+1，
因为p是q的充分不必要条件，所以，
所以2a+1＞1，所以a＞0，
故答案为：.
分析：利用充分不必要条件得出集合之间的关系，进而求得参数的取值范围.
15．答案:3
解析：解：①a=b时，a-b=0属于数域，故①正确；
②若数域F有非零元素，则当a=b时，a/b=1∈F，所以1+1，2+1，3+1，……2020+1都是F的元素，故②正确；
③若由集合P可知，x是3的倍数，当a=6，b=3时，a/b=2 F，故③错误；
④若F是有理数集，则当a，b∈F，都有a+b，a-b，ab∈F，且当b≠0时，a/b∈F，都成立，故④正确；
所以真命题的个数为3，
故答案为：3.
分析：根据已知的定义判断各个命题即可.
16．答案:
解析：解：由x-m＜1得：x＜m+1，
因为“不等式成立”的充要条件为“”，
所以m+1=2，所以m=1，
故答案为：1.
分析：利用充要条件与集合之间的关系求解.
17．答案:A,B
解析：解：因为x＞4，x＞5，可以推出x＞3，而x＞2，x＞1无法推出x＞3，
所以x＞3成立的充分条件是x＞4，x＞5故选：AB.
故答案为：AB.
分析：利用充分条件的定义判断即可.
18．答案:B,C,D
解析：解：由 得：x＞1，
因为p是q的必要非充分条件，所以{x∣a＜x＜a+1}{x∣x＞1}，
所以a≥1，
故答案为：BCD.
分析：先求得必要非充分条件对应的集合之间的关系，再判断选项即可.
19．答案:B,C
解析：解：关于的方程至多有一个实数根，
则 =(m-1)2-4≤0，解得：-1≤m≤3，
所以关于的方程至多有一个实数根的充要条件是-1≤m≤3，
设关于的方程至多有一个实数根的必要条件是a＜m＜b，
则，
所以选项中只有BC符合，
故答案为：BC.
分析：先求得充要条件，再利用必要条件对应的集合之间的关系判断各选项.
20．答案:A,B,C
解析：解：因为“”是“”的必要不充分条件，
所以，
所以m＜1，所以ABC选项符合条件，
故答案为：ABC.
分析：利用必要不充分条件对应的集合之间的关系判断.
21．答案:B,D
解析：解：
A、，充分性成立；当x=-5，y=3时，满足x2≥y2，此时，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误；
B、，充分性不成立；，必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确；
C、集合，x是2的倍数，，x是4的倍数，
所以，C错误；
D、若，令x=3.2，y=4.1，则，，充分性不成立；
若，则，必要性成立；
所以“”是“”的必要不充分条件，D正确；
故答案为：BD.
分析：利用充分条件、必要条件、充要条件的定义以及对应的集合之间的关系判断.
22．答案:A,B,D
解析：解：
A、若命题：某班所有男生都爱踢足球，则：某班至少有一个男生不爱踢足球，故A是假命题；
B、当都是无理数，x+y=0，是有理数，充分性不成立；
x=2，y=，x+y=2+，是无理数，必要性不成立；
所以“和都是无理数”是“是无理数”的既不充分也不必要条件，B是假命题；
C、当a=2，b=-2时，a2=b2，此时a≠b，充分性不成立；当a=b时，a2=b2，必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，故C是真命题；
D、一次函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为，
若k>4，b<5，则，b-5<0，即一次函数的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，充分性成立；
若一次函数的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，则b-5<0，，得：k>4，b<5，必要性成立；
所以“”是“一次函数“的图象交轴于负半轴，交轴于正半轴”的充要条件，D是假命题；
故答案为：ABD.
分析：利用命题的否定判断A选项，根据无理数的定义、采用特例法判断B选项，依据必要不充分条件的定义判断C选项，根据一次函数的性质判断D选项.
23．答案:解：因为p是q的必要不充分条件，
所以是的真子集，
故有或
解得.
又，所以实数m的取值范围为．
解析：利用必要不充分条件对应的集合之间的关系得到不等式组，进而求得参数的取值范围.
24．答案:（1）解：因为命题是真命题，则命题是假命题，即关于的方程无实数根，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）解：由（1）知，命题是真命题，即，
因为命题是命题的必要不充分条件，则，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
解析：（1）利用真命题的否定是假命题、假命题的否定是真命题，得到关于的方程无实数根，进而利用 求参数的取值范围；
（2）利用必要不充分条件对应的集合之间的关系得到不等式，解不等式求参数的取值范围.
25．答案:解：由题意知，或，为非空集合)，
因为是的必要不充分条件，所以是的非空真子集，
可得或，解得或，
所以实数的取值范围是.
解析：利用必要不充分条件对应的集合之间的关系得到不等式组，解不等式组求得参数的取值范围.
26．答案:（1）解：因为，所以.因为是的充分条件，
所以，解得，.
（2）解：因为，，所以，解得.故a的取值范围为.
解析：（1）利用充分条件对应的集合之间的关系得到不等式组，进而求得参数的取值范围；
（2）利用集合之间的关系得到不等式组，解不等式组求得参数的取值范围.
27．答案:（1）解：，
若，则，此时，
所以子集为.
（2）解：若是的必要条件，只需.
①若中没有元素即，
则，此时，满足；
②若中只有一个元素，则，此时．
则，此时满足；
③若中有两个元素，则，此时．
因为中也有两个元素，且，则必有，
由韦达定理得，则，矛盾，故舍去．
综上所述，当时，．
所以实数的取值范围：．
解析：（1）由已知求得集合B，再求A∪B，最后求A∪B的所有子集；
（2）由 是的必要条件，得到，再对集合B分含有0个元素、1个元素、2个元素三种情况进行讨论，进而求得参数m的取值范围.
28．答案:（1）解：，故，，
（2）解：“”是“”的充分条件，故，故，
解得，故a的取值范围是
解析：（1）由a=4，求得集合B，再求A∪B，最后求得CR(A∪B)；
（2）利用充分条件对应的集合之间的关系得到不等式组，解不等式组求得a的取值范围.