1.1 集合的概念及其表示 分层训练（含解析）-高中数学人教A版（2019）

1.1 集合的概念及其表示 分层训练
一、基础巩固
1．下列各组对象的全体能构成集合的有（　　）
（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．下列各组对象不能构成集合的是（　　）
A．所有直角三角形
B．抛物线上的所有点
C．某中学高一年级开设的所有课程
D．充分接近的所有实数
3．下列对象能构成集合的是（　　）
A．2016年央视春节联欢晚会上的所有好看的节目
B．我国从1991~2016年发射的所有人造卫星
C．2015年夏季世界大学生运动会中的高个子女运动员
D．5，4，4，7
4．已知，，若且，则（　　）
A． B． C． D．
5．设集合，则下列元素属于A的是（　　）
A． B． C． D．0
6．若集合，则N中元素的个数为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．10
7．设集合，集合且，则（　　）
A． B． C． D．
8．方程组 的解集是（　　）
A． B．
C． D．
9．已知集合，若，则（　　）
A．3 B．4 C． D．
10．已知集合，，若，则等于（　　）
A．或3 B．0或 C．3 D．
11．由下列对象组成的集体属于集合的是　 　(填序号).
①不超过的所有正整数；②高一(6)班中成绩优秀的同学；③中央一套播出的好看的电视剧；④平方后不等于自身的数.
12．下列各种对象的全体，可以构成集合的是　 　(用题号填空).①某班比较聪明的学生；②高一数学课本中的难题；③心地善良的人；④身高超过1.70米的某中学高一(1)班学生.
13．数集中的元素a不能取的值是　 　.
14．已知集合A的所有元素为2，4，6，若，且有，则a的值是　 　.
15．用列举法表示集合 ＝　 　．
16．用列举法表示集合，　 　．
17．已知，.若，则　 　.
二、能力提升
18．已知集合S满足：若，则.请解答下列问题：
（1）若，则S中必有另外两个元素，求出这两个元素.
（2）证明：若，则.
（3）在集合S中，元素能否只有一个 若能，把它求出来；若不能，请说明理由.
19．集合A中的元素是实数，且满足条件①若，则，②，求：
（1）A中至少有几个元素？
（2）若条件②换成，A中至少含有的元素是什么？
（3）请你设计一个属于A的元素，求出A中至少含有的其他元素.
20．用列举法表示下列集合：
（1）{x|x是14的正约数}；
{(x，y)|x∈{1，2}，y∈{1，2}}；
{(x，y)|x＋y＝2，x－2y＝4}；
{x|x＝(－1)n，n∈N}；
（5）{(x，y)|3x＋2y＝16，x∈N，y∈N}.
21．用列举法表示下列集合：
（1）满足的x值组成的集合；
（2）方程x2＋x＋1＝0的根组成的集合；
（3）不大于15的正奇数组成的集合；
（4）不大于10的正偶数组成的集合．
22．用描述法表示下列集合，并思考能否用列举法表示该集合
（1）所有能被3整除的自然数
（2）不等式的解集
（3）的解集
23．用描述法表示下列集合：
（1）比1大又比10小的实数组成的集合；
（2）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；
（3）被3除余数等于1的正整数组成的集合．
三、高分冲刺
24．已知集合，，若.
（1）求实数的值；
（2）如果集合是集合的列举表示法，求实数的值.
25．已知集合A有三个元素：a－3，2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0，1，x.
（1）若－3∈A，求a的值；
（2）若x2∈B，求实数x的值；
（3）是否存在实数a，x，使A＝B．
1．答案:C
解析：解：(1)正方形的全体，对象是确定的，因此能构成集合；
（2）高一数学书中所有的难题 ，不同的人对难题的标准是不同的，因此对象是不确定的，不能构成集合；
（3）平方后等于负数的数 ，对象是确定的，因此能构成集合；
（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生 ，对象是确定的，因此能构成集合；
（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体 ，对象是确定的，因此能构成集合；
因此， 各组对象的全体能构成集合的有 4个.
故答案为：C.
分析：根据集合的确定性进行判断即可.
2．答案:D
解析：解：A. 所有直角三角形 ，对象是确定的，可以构成集合，故A不符合题意；
B. 抛物线上的所有点 ，对象是确定的，可以构成集合，故B不符合题意；
C. 某中学高一年级开设的所有课程 ，对象是确定的，可以构成集合，故C不符合题意；
D. 充分接近的所有实数 ，无法确定充分接近的标准，对象是不确定的，不可以构成集合，故D符合题意；
故答案为：D.
分析：根据集合的确定性进行判断即可.
3．答案:B
解析：解：A.每个人对于好看的定义不同，因此对象不确定，不能构成集合，故A错误；
B. 我国从1991~2016年发射的所有人造卫星 ，对象是确定的，可以构成集合，故B正确；
C.高个子没有明确的标准，因此对象不确定，不能构成集合，故C错误；
D.含有相同的元素4，不符合互异性，故D错误；
故答案为：B.
分析：根据集合的确定性和互异性进行判断即可.
4．答案:A
解析：解：.
故答案为：A.
分析：根据交集的定义即可得出答案.
5．答案:C
解析：解：∵，
∴下列元素属于A的是.
故答案为：C.
分析：先求出集合M，即可得出答案.
6．答案:C
解析：解：∵x可从0，1，2三个数中选择，y可从0，1，2三个数中选择，
∴共有9种可能，
故N中元素的个数为9个.
故答案为：C.
分析：由可知共有9种可能，即N中元素的个数为9个.
7．答案:C
解析：解：当x=-1时，2-x=3，，
当x=1时，2-x=1，，
当x=2时，2-x=0，，
则
故答案为：C.
分析：根据元素与集合的关系判断，即可得出答案.
8．答案:D
解析：解：由 解得 ，所以解集为D，注意集合的正确写法，
故答案为：D.
分析：先由已知求出方程组的解，再利用集合的表示法正确写出解集即可.
9．答案:D
解析：解：，
若M=N，则-a=4，即a=-4.
故答案为：D.
分析：根据集合相等的定义，即可求出答案.
10．答案:C
解析：解：一∵A=B，
∴，解得a=3或-1.
当a=-1时，，不满足互异性，应舍去.
故a=-3.
故答案为：C.
分析：根据集合相等的定义，可知，求出a的值，再将求得的值代入集合中检验是否满足互异性.
11．答案:①④
解析：解： ①不超过10的正整数，对象是确定的，因此能构成集合，故①正确；
②成绩优秀的定义是不确定的，因此不能构成集合，故②错误；
③好看的电视剧标准是不确定的，因此不能构成集合，故③错误；
④平方后不等于自身的数是除了0和1以外的数，对象是确定的，因此能构成集合，故④正确；
故答案为：①④．
分析：根据集合的确定性进行判断，即可得出答案.
12．答案:④
解析：解：①每个人对聪明的定义是不同的，因此对象不确定，不能构成集合，故①错误；
②难题的标准不确定，因此对象不确定，不能构成集合，故②错误；
③心地善良的标准不明确，因此对象不确定，不能构成集合，故③错误；
④身高超过1.70米的某中学高一(1)班学生 ，对象是确定的，故④正确.
故答案为：④.
分析：根据集合的确定性进行判断即可.
13．答案:0，1，2，
解析：解：∵集合需要满足互异性，
∴，，，
∴解得，，，.
故答案为：0，1，2，.
分析：根据集合的互异性可列出方程，求解即可得出答案.
14．答案:2或4
解析：解：当a=2时，，
当a=4时，，
当a=6时，，
则a的值是2或4.
故答案为：2或4.
分析： 根据a∈A时，6-a∈A，即可得出答案.
15．答案:{－11，－6，－3，－2，0，1，4，9}.
解析： ，
为 的因数
则 =1，2，5，10，-10，-5，-2，-1
0，1，4，9，-11，-6，-3，-2
则答案为{-11，-6，-3，-2，0，1，4，9}
分析：利用题目条件，依次代入，使 ，从而确定出 的值，即可得到答案
16．答案:
解析：解：∵，
∴且，解得，，
∵，
∴x可能为2，3，4，6，7，8
当x=2时，，
当x=3时，，
当x=4时，，
当x=6时，，
当x=7时，，
当x=8时，，
综上所述，x=2，4，6，8
故.
故答案为：.
分析：根据及可初步求出x的可能取值，再逐一进行验证，即可确定x的取值.
17．答案:2
解析：解：∵A=B，
∴或，
当时，解得a=2，
则，，符合要求，
当，无解.
故a=2.
故答案为：2.
分析：根据A=B。列出方程组，求解即可得到a的值.
18．答案:（1）解：因为，所以，
所以，所以，循环.
所以集合S中另外的两个元素为和.
（2）解：由题意，可知且，
由，得，
即，
所以若，则.
（3）解：集合S中的元素不可能只有一个.
理由如下：令，
即.
因为，所以此方程无实数解，所以.
因此集合S中不可能只有一个元素.
解析：（1）由，可知，，即求出了集合S中另外的两个元素；
（2）由，可知，即可证；
（3）利用反证法证明，首先令，得到，方程无实数解，即可证明集合S中不可能只有一个元素.
19．答案:（1）解：因为，由①知，，而，则，而，则，
所以集合A中至少有3个元素.
（2）解：因为，由①知，，而，则，而，则，
所以集合A中至少含有的元素是.
（3）解：令，由①知，，而，则，而，则，
所以集合A中至少含有的其它元素是.
解析：（1）根据，则，以及，即可求出，，则集合A中至少有3个元素；
（2）根据，则，以及，即可求出，，则集合A中至少有3个元素；
（3）令，根据，则，将a=4代入，即可求出其他元素.
20．答案:（1）{1，2，7，14}
（2）{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}
（3）
（4）{－1，1}
（5）{(0，8)，(2，5)，(4，2)}
解析：根据列举法概念
(1)列举出14的所有正约数，再用集合表示；
(2)x和y都只能出1和2中选一个，再用集合列举出所有选取方案；
(3)联立方程x＋y＝2和x－2y＝4求出其交点，再用集合表示；
(4)分别计算n取奇数和偶数时的值，再用集合表示；
(5)列举出满足x∈N，y∈N方程3x＋2y＝16的解，再用集合表示.
21．答案:（1）解：因为满足的x值组成有1，2，3，4，5，6，7，
所以满足的x值组成的集合为{1，2，3，4，5，6，7}．
（2）解：因为方程x2＋x＋1＝0无解，所以方程x2＋x＋1＝0的根组成的集合为．
（3）解：因为不大于15的正奇数有，1，3，5，7，9，11，13，15，
所以不大于15的正奇数组成的集合为{1，3，5，7，9，11，13，15}．
（4）解：因为不大于10的正偶数有2，4，6，8，10，
所以不大于10的正偶数组成的集合为{2，4，6，8，10}．
解析：（1）根据，求出x的值，即可求出答案；
（2）根据方程x2＋x＋1＝0无解，可知方程x2＋x＋1＝0的根组成的集合为；
（3）列举出不大于15的正奇数即可；
（4）列举出不大于10的正偶数即可.
22．答案:（1）解：，集合中元素个数无穷，不能用列举法表示；
（2）解：，即，，
集合为，集合中元素有无数个，不能用列举法表示；
（3）解：集合可表示为，列举法表示为．
解析：根据描述法和列举法概念分别求解判断
(1)用x表示元素，再根据条件写出满足条件的关于x的关系式，满足条件的元素有无穷个无法用列举法表示；
(2)先解不等式，描述法元素用x表示，再写条件为不等式解，满足条件的元素有无穷个无法用列举法表示；
(3)描述法元素用x表示，再写条件，解出方程判断元素有限个故可以用列举法表示.
23．答案:（1）解：{xR|1（2）解：集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x，y)|x<0，且y>0}；
（3）解：{x|x＝3n＋1，nN}．
解析：根据描述法概念分别求解
(1)用x表示元素，再根据条件写出满足条件的关于x的不等式；
(2)元素用点坐标(x，y)表示，再写出x，y满足的条件；
(3)用x表示元素，再根据条件写出满足条件的关于x的关系式.
24．答案:（1）解：∵，∴或者
得或，
验证当时，集合，集合内两个元素相同，故舍去
∴
（2）解：由上得，故集合中，方程的两根为1、-3.
由一元二次方程根与系数的关系，得.
解析：（1）根据，可得或者，可求出a的值，再验证互异性即可；
（2） 根据条件知A=B，可知方程的两根为1、-3，即可求出p，q的值．
25．答案:（1）集合 中有三个元素： ， ， ， ，
或 ，
解得 或 ，
当 时， ，-1， ，成立；
当 时， ，-3， ，成立．
的值为0或-1．
（2）集合 中也有三个元素：0，1， ． ，
当 取0，1，-1时，都有 ，
集合中的元素都有互异性， ， ，
．
实数 的值为-1．
（3） ，
若 ，则 ， ，5， ，
若 ，则 ， ， ， ，
不存在实数 ， ，使 ．
解析：（1）利用已知条件结合元素与集合的关系，再利用元素的互异性，从而找出满足要求的实数a的值。
（2）利用已知条件结合元素与集合的关系，再利用元素的互异性，从而找出满足要求的实数x的值。
（3）利用已知条件结合分类讨论的方法和集合相等的判断方法，从而推出不存在实数 ， ，使 。