1.1 集合的概念 同步练习（含解析）-高中数学人教A版（2019）必修一

1.1 集合的概念 同步练习
一、选择题
1．已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
2．当一个非空数集满足：如果，，则，，，且时，时，我们称就是一个数域.以下关于数域的说法：是任何数域的元素若数域有非零元素，则集合是一个数域．有理数集是一个数域.其中正确的选项是（　　）
A． B．
C． D．
3．定义集合运算：.设，，则集合中的所有元素之和为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知集合且，，，则（　　）
A． B． C． D．
5．下列所给对象能构成集合的是（　　）
A．2020年全国I卷数学试题的所有难题
B．比较接近2的全体正数
C．未来世界的高科技产品
D．所有整数
6．集合，用列举法可以表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．下列表述正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．已知，则下列判断正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．方程组的解集以下表示正确的为（　　）
A． B．
C． D．
10．下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
11．已知集合，则下列属于集合A的元素有（　　）
A． B．2 C．4 D．6
12．下列说法中，正确的是（　　）
A．的近似值的全体构成一个集合
B．自然数集中最小的元素是0
C．在整数集中，若，则
D．一个集合中不可以有两个相同的元素
三、填空题
13．设集合，．若，则实数a的值为　 　．
14．用列举法表示　 　．
15．已知，则a的所有可能取值为　 　．
16．非空有限数集满足：若，，则必有，，．则满足条件且含有两个元素的数集　 　．（写出一个即可）
17．设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2两个元素，Q中含有1，6两个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中，，则中元素的个数是　 　．
18．集合，用列举法表示是　 　.
19．已知集合，且，则m的值为　 　
20．若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为　 　.
21．已知集合M=，N=，定义集合A=，则A中元素的个数是　 　
22．定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有.若且，则用列举法表示的　 　.
四、解答题
23．已知集合，规定：集合中元素的个数为，且．若，则称集合是集合的衍生和集．
（1）当，时，分别写出集合，的衍生和集；
（2）当时，求集合的衍生和集的元素个数的最大值和最小值．
24．用描述法表示下列集合：
（1）所有被3整除的整数组成的集合；
（2）不等式的解集；
（3）方程的所有实数解组成的集合；
（4）抛物线上所有点组成的集合；
（5）集合.
1．答案:B
解析：因为，，
所以.
故答案为：B.
分析：根据集合的描述法及元素与集合的关系求解.
2．答案:A
解析：对于①，当且时，
所以是任何数域的元素，①正确；
对于②，当时，且时，由数域定义知，
所以1+1=2，1+2=3，...1+2018=2019，②正确；
对于③，当时，，③错误；
对于④，如果，，则则，，，且时，，所以有理数集是一个数域.
故答案为：A
分析：利用已知条件结合数域的定义和元素与集合的关系，进而找出正确的选项。
3．答案:A
解析：当时，；当时，；
当时，；当时，；
所以，所以中所有元素之和为0，
故答案为：A.
分析：利用已知条件结合集合运算的定义，进而得出集合中的所有元素，再结合求和法得出 集合中的所有元素之和 。
4．答案:C
解析：，， 且.
故答案为：C
分析：根据已知条件，结合集合M的定义，即可求出答案.
5．答案:D
解析：选项的对象都具有不确定性，所以它们的对象不能构成集合；而选项的对象具有确定性，能构成集合。
故答案为：D
分析：利用已知条件结合集合元素的确定性，进而找出构成集合的选项。
6．答案:C
解析：解：因为，可得；
所以.
故答案为：C
分析：利用已知条件，化简求解可得答案.
7．答案:A
解析：对于A，因为是整数集，所以，A符合题意；
对于B，因为是实数集，所以，B不符合题意；
对于C，因为是有理数集，所以，C不符合题意；
对于D，因为是自然数集，所以，D不符合题意.
故答案为：A.
分析：根据元素与集合的关系，逐项判定，即可求解.
8．答案:D
解析：对于A，令，得，则，A不符合题意，
对于B，令，得，则，B不符合题意，
对于C，令，得，则，C不符合题意，
对于D，令，得，则，D符合题意，
故答案为：D
分析：根据已知条件，结合元素与几何关系逐项进行判断，可得答案.
9．答案:A,B
解析：解方程组得，
所以此方程组的解集的表示正确的是A，B.
故答案为：AB.
分析：利用已知条件结合解二元一次方程组的方法，再结合集合的表示方法，进而得出方程组的解集的正确表示。
10．答案:A,D
解析：根据常见数集的表示可知，，，，。
故答案为：AD
分析：利用已知条件结合元素与集合的关系，进而找出结论正确的选项。
11．答案:B,C,D
解析：由题意得：
的取值为，解得满足要求的为2，4，5，6，7，9，10，11，12，14，20 。
故答案为：BCD
分析：利用已知条件结合元素与集合的关系，进而得出属于集合A的元素。
12．答案:B,C,D
解析：因为“的近似值”不具有确定性，所以不能构成集合，A不符合题意：
因为自然数集中最小的元素是0，所以B符合题意；
若，则也是整数，即，C符合题意；
同一集合中的元素是互不相同的，D符合题意．
故答案为：BCD
分析： 由集合的含义及元素与集合的关系逐项进行判断，即可得答案.
13．答案:0
解析：由题可知：，且
所以，得或1
当时，，不符合集合中元素的互异性
所以
故答案为：0
分析：根据，得到，然后结合集合中元素的互异性可得结果.
14．答案:
解析：解：因为且，所以或或或，
解得或或或，
所以对应的分别为、、、，
即；
故答案为：
分析：由且，可得a的可能取值分别为2，3，4，7，由此可得对应的的值，可得答案.
15．答案:3或##-2或3
解析：分类讨论
①当，，集合为，满足集合的元素具有互异性；
②，可解得；当时，与己有元素2重复，不满足互异性；
当时，集合为，满足集合的元素具有互异性．
综上，或．
故答案为： 3或-2．
分析：根据元素与集合的关系分类讨论，结合集合中元素的性质可得答案.
16．答案:（或）
解析：不妨设，根据题意有，ab， 所以，，中必有两个是相等的，
若，则，故，又或，所以（舍去）或或，此时，
若，则，此时，故，此时．若，则，此时，故，此时，
综上所述，或。
故答案为：（或）。
分析：利用已知条件结合元素与集合的关系以及元素的互异性，进而得出满足条件且含有两个元素的数集S。
17．答案:4
解析：依题意，，
所以共有个元素.
故答案为：4
分析：根据新定义求出 中元素的个数 .
18．答案:
解析： 。
故答案为： 。
分析：利用已知条件结合一元一次不等式求解方法得出集合，再利用列举法表示集合。
19．答案:-1.1，3
解析：当，满足题意；
当，满足题意.
故答案为：-1.1，3
分析：分两种情况或，讨论即可得解.
20．答案:15
解析：因为，；，；
，；，；
这样所求集合即由，，“和” ，“和”这“四大”元素所组成的集合的非空子集．
所以满足条件的集合的个数为，
故答案为：15.
分析：根据伙伴关系集合的定义，得到由，，“和” ，“和”这四类元素所组成的集合的非空子集，进而得到答案.
21．答案:8
解析：由题意，集合M=，N=
故集合A=，有8个元素。
故答案为：8。
分析：利用已知条件结合集合A的定义，再利用元素与集合的关系和元素的互异性，进而求出集合A，从而得出集合A的元素个数。
22．答案:
解析：当时，；
当时，；
当，时，，
所以。
故答案为：。
分析： 利用定义两种新运算“”与“” 结合分类讨论的方法，进而用列举法表示集合A。
23．答案:（1）解：由衍生和集的定义知：集合的衍生和集；集合的衍生和集.
（2）解：当时，设集合，且；
，
集合的衍生和集的元素个数的最小值为；
若集合中任意两个元素的和不相等，则衍生和集的元素个数取得最大值，最大值为；
最大值为，最小值为.
解析：（1）利用已知条件结合衍生和集的定义，进而分别写出集合，的衍生和集。
（2）利用已知条件结合衍生和集的定义，再结合数列的单调性，从而得出集合的衍生和集的元素个数的最大值和最小值。
24．答案:（1）解：所有被3整除的整数组成的集合，用描述法可表示为：
（2）解：不等式的解集，用描述法可表示为：.
（3）解：方程的所有实数解组成的集合，
用描述法可表示为：.
（4）解：抛物线上所有点组成的集合，
用描述法可表示为：.
（5）解：集合，用描述法可表示为：且.
解析：（1）根据集合的表示方法，即可求解；
（2）由不等式，解得，进而求得不等式的解集；
（3）根据题意，利用集合的表示方法，即可求解；
（4）根据题意，利用集合的表示方法，即可求解；
（5）根据数字的特征，结合集合的标准方法，即可求解.