【人教版数学八年级上册同步练习】 第13章轴对称综合检测题（含解析）
文档属性
| 名称 | 【人教版数学八年级上册同步练习】 第13章轴对称综合检测题（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 9.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-20 14:07:41 | ||
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文档简介
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【人教版数学八年级上册同步练习】
第13章轴对称综合检测题
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB=AC，AD∥BC，若∠BAD=110°，则∠BCA的大小为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
2．点 关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，连接DE.下面给出的四个结论，其中正确的个数是（ ）
① BD⊥AC； ②BD平分∠ABC； ③BD=DE； ④∠BDE=120°
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
二、判断题
6．长方形、正方形、平行四边形和圆都是轴对称图形。（ ）
7．梯形、长方形和圆都是轴对称图形．
8．长方形、正方形、平行四边形和圆都是轴对称图形．
9．判断题，填写“正确”或“错误”：角的平分线是角的对称轴．
三、填空题
10．如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A，B两点，若再以A点为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则∠BOC等于 ．
11．已知点O为△ABC三边垂直平分线的交点，点O到顶点A的距离为6cm，则OA+OB+OC= .
12．如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于 ．
13．如图，四边形ABCD，∠B＝∠C＝90°，边BC上一点E，连结AE、DE得等边△ADE，若＝，则＝
14．关于y轴对称的点的坐标是 .
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D、点E在直线BC上，点F为AE上一点，连接BF，分别交AD、AC于点G、点H，若∠BAD＝∠CAE，∠AGH＝∠E，AF+AD＝BF，AC＝3，则AE的长为 ．
四、计算题
16．如图，在中，，，平分交于点，．求的长．
17．如图，为了测量古塔的高度，小明先从与古塔底端B在同一水平线上的点A出发，沿斜坡（坡角为）行走50米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在点E测得古塔顶端C的仰角为，底端B的俯角为，点A、B、C、D、E在同一平面内．请据测量数据，计算古塔的高度．（参考数据，，）．
18．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过点，和，作直线，点为抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点M，交x轴于点N．
（1）直接写出抛物线和直线的解析式；
（2）如图2，连接，当为等腰三角形时，求m的值；
（3）当点在运动的过程中，在轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
五、解答题
19．如图，一艘船在海岛望灯塔在北偏西方向上，上午8时此船从海岛出发，以30海里/时的速度向正北航行，上午10时到达海岛，此时望灯塔在北偏西方向上．
（1）求从海岛到灯塔的距离；
（2）如果船到达海岛后，不停留，继续沿正北方向航行，请问船什么时候距离灯塔最近？
20．如图，的半径为5，是外一点，，，求的长．
21．如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，顶点为D，连接，P是第一象限内抛物线上的动点，连接，设点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，的面积最大？并求出最大面积；
（3）M为直线上一点，求的最小值；
（4）过P点作轴，交于E点．是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
六、综合题
22．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.
（1）求证：∠APO＝∠CPO；
（2）若⊙O的半径为3，OP＝6，∠C＝30°，求PC的长.
23．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2=BD CD，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”.
（1）如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出、（或在图中直接描出）AB边上的所有“好点”点D；
（2）中，，，，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长；
（3）如图3，是⊙O的内接三角形，点H在AB上，连结CH并延长交⊙O于点D.若点H是中CD边上的“好点”.
①求证：；
②若，⊙O的半径为r，且，求的值.
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，4)，点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC⊥AB，交x轴于点C， 点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD为直径作⊙Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF。
（1） 求线段AE的长；
（2）若AB-BO=2，求tan∠AFC的值；
（3）若△DEF与△AEB相似，求EF的值。
七、实践探究题
25．爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．
（1）【特例探究】
如图1，当tan∠PAB=1，c=4 时，a= ，b= ；
如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a= ，b= ；
（2）【归纳证明】
请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．
（3）【拓展证明】
如图4， ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3 ，AB=3，求AF的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
2．【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
3．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
4．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
5．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
6．【答案】错误
【知识点】轴对称图形
7．【答案】错误
【知识点】轴对称图形
8．【答案】
【知识点】轴对称图形
9．【答案】错误
【知识点】轴对称图形；角平分线的概念
10．【答案】30°
【知识点】等边三角形的判定与性质
11．【答案】18cm
【知识点】线段垂直平分线的性质
12．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；旋转的性质
13．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
14．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
15．【答案】
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
17．【答案】70米
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
18．【答案】（1）
（2）或或
（3），或，
或，或，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
19．【答案】（1）60海里
（2）11时
【知识点】含30°角的直角三角形；方位角
20．【答案】解：过点O作OE⊥PC，垂足为E，
∴CE=DE，
∵∠P=30°，PO=8，半径为5，
∴OE=4，OA=OD=5，PA=3，
∴PE==，DE==3，
∴CD=2DE=6，PD=PE-DE=．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
21．【答案】（1）解：由题意得：，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）当时，得或，
∴，
设直线的解析式为，
则，
解得
∴直线的解析式为．
如图，过点P作轴，交x轴于点F，交于点G．
设点，．
∴．
∴，
∴当时，的面积最大，最大面积为32；
（3）作O关于直线的对称点为，连接，如图，
∵，，
∴四边形为正方形，则，
则，
当A、M、三点共线时，最小，即为线段的长，
∴最小值为．
（4）∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
，
，
当时，，解得或，
∴；
当时，则，
∴，
解得（舍去）或，
∴；
当时，则，
∴，
解得或（舍去），
∴，
综上，P点的坐标为，，．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数-动态几何问题
22．【答案】（1）证明：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠APO＝∠CPO；
（2）解：∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAC＝90°，
∴AP＝ ，
在Rt△CAP中，∠C＝30°，
∴PC＝2AP＝6 .
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的性质；切线长定理
23．【答案】（1）解：如图，当CD⊥AB或点D是AB的中点时，CD2=AD BD；
（2）解：如图：
过A作AH⊥BC于H，
∵tanB=，tanC=1，
∴，，
设AH=3k，则BH=4k，CH=3k，
∵BC=7，
∴3k+4k=7，解得k=1，
∴BH=4，AH=CH=3，
设BD=x，则CD=7-x，DH=4-x，
Rt△ADH中，AD2=AH2+DH2=32+（4-x）2，
而点D是BC边上的“好点”，有AD2=BD CD=x （7-x），
∴32+（4-x）2=x （7-x），
解得x=5或x=，
∴BD=5或BD=；
（3）解：①∵∠CAH=∠HDB，∠AHC=∠BHD，
∴△ACH∽△DBH，
∴，
∴AH BH=CH DH，
∵点H是△BCD中CD边上的“好点”，
∴BH2=CH DH，
∴AH=BH，
∴OH⊥AB；
②如图：连接AD，
∵OH⊥AB，OH∥BD，
∴AB⊥BD，
∴AD是直径，
∵r=3OH，
设OH=m，则OA=3m，BD=2m，
Rt△AOH中，AH=，
∴BH=2m，
Rt△BHD中，HD=，
∵点H是△BCD中CD边上的“好点”，
∴BH2=CH DH，
∴CH=，
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；定义新运算；直角三角形斜边上的中线
24．【答案】（1）解：∵AD是⊙Ｑ的直径，
∴∠AEB=∠AED=90°，
∴∠AEB=∠AOB=90°，
∵BA垂直平分CD，
∴BC=BD
∴∠ABO=∠ABE
∵BA=BA，
∴△ABE≌△ABO(A AS)
∴AE=AO=4；
（2）解：设BO=x，则AB=x+2，
在Rt△ABO中，由AO2+OB =AB 得4 +x =(x+2) ，解得：x=3，
∴OB=BE=3，AB=5，
∵∠EAB+∠ABE=90°，∠ACB+∠ABC=90°
∴∠EAB=∠ACB
∵∠BFA=∠AFC
∴△BFA∽△AFC
∴BF：AF=BE：AO=3：4，
设EF=x，则AF=4+x，BF= (4+x)
∵在Rt△BEF中，BE +EF =BF2
∴32+x =[ (4+x)]2
解得，x= ，即EF=
tan∠AFC=
（3）解：①如图1，
当△DEF∽△AEB时，有
∠BAE=∠FDE
∴∠ADE=∠FDE
∴BD垂直平分AF
∴EF=AE=4-
②如图2，
设⊙Q交y轴于点G，连接DG，作FH⊥DG于H，
当△DEF∽△BEA时，有∠ABE=∠FDE
∴∠DAE=∠DAG=∠FDE=∠FDH
∴AG=AE=4，EF=FH=OG=8
综上所述，EF=4或8
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
25．【答案】（1）4 ；4 ；；
（2）解：结论a2+b2=5c2．
证明：如图3中，连接MN．
∵AM、BN是中线，
∴MN∥AB，MN= AB，
∴△MPN∽△APB，
∴ = = ，
设MP=x，NP=y，则AP=2x，BP=2y，
∴a2=BC2=4BM2=4（MP2+BP2）=4x2+16y2，
b2=AC2=4AN2=4（PN2+AP2）=4y2+16x2，
c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2，
∴a2+b2=20x2+20y2=5（4x2+4y2）=5c2
（3）解：解：如图4中，在△AGE和△FGB中，
，
∴△AGE≌△FGB，
∴BG=FG，取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，
同理可证△APH≌△BFH，
∴AP=BF，PE=CF=2BF，
即PE∥CF，PE=CF，
∴四边形CEPF是平行四边形，
∴FP∥CE，
∵BE⊥CE，
∴FP⊥BE，即FH⊥BG，
∴△ABF是中垂三角形，
由（2）可知AB2+AF2=5BF2，
∵AB=3，BF= AD= ，
∴9+AF2=5×（ ）2，
∴AF=4．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；求特殊角的三角函数值；三角形的中位线定理
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【人教版数学八年级上册同步练习】
第13章轴对称综合检测题
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB=AC，AD∥BC，若∠BAD=110°，则∠BCA的大小为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
2．点 关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，连接DE.下面给出的四个结论，其中正确的个数是（ ）
① BD⊥AC； ②BD平分∠ABC； ③BD=DE； ④∠BDE=120°
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
二、判断题
6．长方形、正方形、平行四边形和圆都是轴对称图形。（ ）
7．梯形、长方形和圆都是轴对称图形．
8．长方形、正方形、平行四边形和圆都是轴对称图形．
9．判断题，填写“正确”或“错误”：角的平分线是角的对称轴．
三、填空题
10．如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A，B两点，若再以A点为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则∠BOC等于 ．
11．已知点O为△ABC三边垂直平分线的交点，点O到顶点A的距离为6cm，则OA+OB+OC= .
12．如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于 ．
13．如图，四边形ABCD，∠B＝∠C＝90°，边BC上一点E，连结AE、DE得等边△ADE，若＝，则＝
14．关于y轴对称的点的坐标是 .
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D、点E在直线BC上，点F为AE上一点，连接BF，分别交AD、AC于点G、点H，若∠BAD＝∠CAE，∠AGH＝∠E，AF+AD＝BF，AC＝3，则AE的长为 ．
四、计算题
16．如图，在中，，，平分交于点，．求的长．
17．如图，为了测量古塔的高度，小明先从与古塔底端B在同一水平线上的点A出发，沿斜坡（坡角为）行走50米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在点E测得古塔顶端C的仰角为，底端B的俯角为，点A、B、C、D、E在同一平面内．请据测量数据，计算古塔的高度．（参考数据，，）．
18．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过点，和，作直线，点为抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点M，交x轴于点N．
（1）直接写出抛物线和直线的解析式；
（2）如图2，连接，当为等腰三角形时，求m的值；
（3）当点在运动的过程中，在轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
五、解答题
19．如图，一艘船在海岛望灯塔在北偏西方向上，上午8时此船从海岛出发，以30海里/时的速度向正北航行，上午10时到达海岛，此时望灯塔在北偏西方向上．
（1）求从海岛到灯塔的距离；
（2）如果船到达海岛后，不停留，继续沿正北方向航行，请问船什么时候距离灯塔最近？
20．如图，的半径为5，是外一点，，，求的长．
21．如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，顶点为D，连接，P是第一象限内抛物线上的动点，连接，设点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，的面积最大？并求出最大面积；
（3）M为直线上一点，求的最小值；
（4）过P点作轴，交于E点．是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
六、综合题
22．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.
（1）求证：∠APO＝∠CPO；
（2）若⊙O的半径为3，OP＝6，∠C＝30°，求PC的长.
23．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2=BD CD，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”.
（1）如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出、（或在图中直接描出）AB边上的所有“好点”点D；
（2）中，，，，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长；
（3）如图3，是⊙O的内接三角形，点H在AB上，连结CH并延长交⊙O于点D.若点H是中CD边上的“好点”.
①求证：；
②若，⊙O的半径为r，且，求的值.
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，4)，点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC⊥AB，交x轴于点C， 点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD为直径作⊙Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF。
（1） 求线段AE的长；
（2）若AB-BO=2，求tan∠AFC的值；
（3）若△DEF与△AEB相似，求EF的值。
七、实践探究题
25．爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．
（1）【特例探究】
如图1，当tan∠PAB=1，c=4 时，a= ，b= ；
如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a= ，b= ；
（2）【归纳证明】
请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．
（3）【拓展证明】
如图4， ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3 ，AB=3，求AF的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
2．【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
3．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
4．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
5．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
6．【答案】错误
【知识点】轴对称图形
7．【答案】错误
【知识点】轴对称图形
8．【答案】
【知识点】轴对称图形
9．【答案】错误
【知识点】轴对称图形；角平分线的概念
10．【答案】30°
【知识点】等边三角形的判定与性质
11．【答案】18cm
【知识点】线段垂直平分线的性质
12．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；旋转的性质
13．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
14．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
15．【答案】
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
17．【答案】70米
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
18．【答案】（1）
（2）或或
（3），或，
或，或，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
19．【答案】（1）60海里
（2）11时
【知识点】含30°角的直角三角形；方位角
20．【答案】解：过点O作OE⊥PC，垂足为E，
∴CE=DE，
∵∠P=30°，PO=8，半径为5，
∴OE=4，OA=OD=5，PA=3，
∴PE==，DE==3，
∴CD=2DE=6，PD=PE-DE=．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
21．【答案】（1）解：由题意得：，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）当时，得或，
∴，
设直线的解析式为，
则，
解得
∴直线的解析式为．
如图，过点P作轴，交x轴于点F，交于点G．
设点，．
∴．
∴，
∴当时，的面积最大，最大面积为32；
（3）作O关于直线的对称点为，连接，如图，
∵，，
∴四边形为正方形，则，
则，
当A、M、三点共线时，最小，即为线段的长，
∴最小值为．
（4）∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
，
，
当时，，解得或，
∴；
当时，则，
∴，
解得（舍去）或，
∴；
当时，则，
∴，
解得或（舍去），
∴，
综上，P点的坐标为，，．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数-动态几何问题
22．【答案】（1）证明：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠APO＝∠CPO；
（2）解：∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAC＝90°，
∴AP＝ ，
在Rt△CAP中，∠C＝30°，
∴PC＝2AP＝6 .
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的性质；切线长定理
23．【答案】（1）解：如图，当CD⊥AB或点D是AB的中点时，CD2=AD BD；
（2）解：如图：
过A作AH⊥BC于H，
∵tanB=，tanC=1，
∴，，
设AH=3k，则BH=4k，CH=3k，
∵BC=7，
∴3k+4k=7，解得k=1，
∴BH=4，AH=CH=3，
设BD=x，则CD=7-x，DH=4-x，
Rt△ADH中，AD2=AH2+DH2=32+（4-x）2，
而点D是BC边上的“好点”，有AD2=BD CD=x （7-x），
∴32+（4-x）2=x （7-x），
解得x=5或x=，
∴BD=5或BD=；
（3）解：①∵∠CAH=∠HDB，∠AHC=∠BHD，
∴△ACH∽△DBH，
∴，
∴AH BH=CH DH，
∵点H是△BCD中CD边上的“好点”，
∴BH2=CH DH，
∴AH=BH，
∴OH⊥AB；
②如图：连接AD，
∵OH⊥AB，OH∥BD，
∴AB⊥BD，
∴AD是直径，
∵r=3OH，
设OH=m，则OA=3m，BD=2m，
Rt△AOH中，AH=，
∴BH=2m，
Rt△BHD中，HD=，
∵点H是△BCD中CD边上的“好点”，
∴BH2=CH DH，
∴CH=，
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；定义新运算；直角三角形斜边上的中线
24．【答案】（1）解：∵AD是⊙Ｑ的直径，
∴∠AEB=∠AED=90°，
∴∠AEB=∠AOB=90°，
∵BA垂直平分CD，
∴BC=BD
∴∠ABO=∠ABE
∵BA=BA，
∴△ABE≌△ABO(A AS)
∴AE=AO=4；
（2）解：设BO=x，则AB=x+2，
在Rt△ABO中，由AO2+OB =AB 得4 +x =(x+2) ，解得：x=3，
∴OB=BE=3，AB=5，
∵∠EAB+∠ABE=90°，∠ACB+∠ABC=90°
∴∠EAB=∠ACB
∵∠BFA=∠AFC
∴△BFA∽△AFC
∴BF：AF=BE：AO=3：4，
设EF=x，则AF=4+x，BF= (4+x)
∵在Rt△BEF中，BE +EF =BF2
∴32+x =[ (4+x)]2
解得，x= ，即EF=
tan∠AFC=
（3）解：①如图1，
当△DEF∽△AEB时，有
∠BAE=∠FDE
∴∠ADE=∠FDE
∴BD垂直平分AF
∴EF=AE=4-
②如图2，
设⊙Q交y轴于点G，连接DG，作FH⊥DG于H，
当△DEF∽△BEA时，有∠ABE=∠FDE
∴∠DAE=∠DAG=∠FDE=∠FDH
∴AG=AE=4，EF=FH=OG=8
综上所述，EF=4或8
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
25．【答案】（1）4 ；4 ；；
（2）解：结论a2+b2=5c2．
证明：如图3中，连接MN．
∵AM、BN是中线，
∴MN∥AB，MN= AB，
∴△MPN∽△APB，
∴ = = ，
设MP=x，NP=y，则AP=2x，BP=2y，
∴a2=BC2=4BM2=4（MP2+BP2）=4x2+16y2，
b2=AC2=4AN2=4（PN2+AP2）=4y2+16x2，
c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2，
∴a2+b2=20x2+20y2=5（4x2+4y2）=5c2
（3）解：解：如图4中，在△AGE和△FGB中，
，
∴△AGE≌△FGB，
∴BG=FG，取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，
同理可证△APH≌△BFH，
∴AP=BF，PE=CF=2BF，
即PE∥CF，PE=CF，
∴四边形CEPF是平行四边形，
∴FP∥CE，
∵BE⊥CE，
∴FP⊥BE，即FH⊥BG，
∴△ABF是中垂三角形，
由（2）可知AB2+AF2=5BF2，
∵AB=3，BF= AD= ，
∴9+AF2=5×（ ）2，
∴AF=4．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；求特殊角的三角函数值；三角形的中位线定理
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