2023-2024学年河南省周口恒大中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省周口恒大中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在数列中，，，则( )
A. B. C. D.
2.在等比数列中，，是方程的两个根，则( )
A. B. C. D.
3.我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”其中，如图，设点，，是相应椭圆的焦点，、和、是“果圆”与，轴的交点，若是边长为的等边三角形，则，的值分别为( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
4.函数在处的切线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
5.在棱长为的正方体中，是棱上一动点，点是面的中心，则的值为( )
A. B. C. D. 不确定
6.若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.函数在上的最小值是，则最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：，则下列选项中正确的有( )
A. 直线在轴上的截距是 B. 直线的斜率为
C. 直线不经过第三象限 D. 直线的一个方向向量为
10.将个数排成行列的一个数阵，如下所示，该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列其中已知，，记这个数的和为下列结论正确的有( )
A. B.
C. D.
11.在正方体中，若棱长为，点，分别为线段、上的动点，则下列结论正确结论的是( )
A. 面
B. 面面
C. 点到面的距离为定值
D. 直线与面所成角的正弦值为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是______．
13.已知数列的前项和为，则数列的通项公式为______．
14.在圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足，．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
已知光线经过已知直线：和：的交点，且射到轴上一点后被轴反射．
求反射光线所在的直线的方程；
求与距离为的直线方程．
17.本小题分
已知函数．
当时，讨论函数的单调性；
若在上恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
已知抛物线的顶点是双曲线：的中心，而焦点是双曲线的左顶点，
当时，求抛物线的方程；
若双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程和准线的方程．
19.本小题分
如图，点是圆：上任意点，点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时．
求点的轨迹的方程；
轴，交轨迹于点点在轴的右侧，直线：与交于，不过点两点，且与关于对称，则直线具备以下哪个性质？证明你的结论？
直线恒过定点；
为定值；
为定值．
答案解析
1.
【解析】解：，，，．
故选：．
2.
【解析】解：等比数列中，、是方程的两个根，
．
故选：．
3.
【解析】解：由题意可得，
，解得，
又，得，即，．
故选：．
4.
【解析】解：由题意可得：，
则，可得，
所以函数 在处的切线的斜率，倾斜角为．
故选：．
5.
【解析】解：建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
，，
．
故选：．
6.
【解析】解：，则函数的定义域为，
则，
时，，令，解得：，令，解得：，
此时函数在处取得极小值，符合题意；
时，令，解得：或，
当时，即，令，解得：，令，解得：，
此时函数在处取得极大值，不符合题意，舍去；
当时，即，则恒成立，此时函数单调递增，没有极值，不符合题意，舍去；
当时，即，令，解得：，令，解得：，
此时函数在处取得极小值，符合题意．
故选：．
7.
【解析】解：因为抛物线的焦点的坐标为，
易知直线的斜率存在，
设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
此时，
设，，
由韦达定理得，，
所以，
由抛物线定义得，，
所以
，
令，，
此时，
当且仅当，即时取得最小值，最小值为．
故选：．
8.
【解析】解：，
因为，
所以当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得最小值，根据题意有，
所以，
当时，，当时，，
所以其最大值是．
故选：．
9.
【解析】解：对于，直线方程可变为，截距是，故A正确；
对于，斜率，故B错误；
对于，由直线方程可知，故直线不经过第三象限，故C正确；
对于，该直线的一个方向向量为，与平行，故D正确．
故选：．
10.
【解析】解：由题意，该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列，且，，
对于，可得，所以，解得或舍去，所以选项A是正确的；
对于，又由，所以选项B不正确；
对于，由，所以选项C是正确的；
对于，由这个数的和为，则
，所以选项D是正确的．
故选：．
11.
【解析】解：对于，连接，可得，又，可得平面，
可得，同理可得，进而得到面，故A正确；
对于，由，平面，平面，
可得平面，
同理可得，平面，进而得到面面，故B正确；
对于，由平面，
可得到面的距离即为点到面的距离，
设为到面的距离，
由，即有，
解得，故C正确；
对于，由为动点，长不确定，到平面的距离为定值，
则与面所成角的正弦值不为定值，故D错误．
故选：．
12.
【解析】解：方程表示焦点在轴上的双曲线，
可得：，解得．
故答案为：．
13.
【解析】解：根据题意，数列的前项和，
则当时，，
可得：，
当时，，不符合，
故；
故答案为：
14.
【解析】解：圆的圆心坐标为，半径为．
圆心到直线的距离：，
圆上有且仅有两个点到直线的距离为，
可得即，
解得，
故答案为：．
15.解：由，得，
又，是以为首项，为公比的等比数列，
，，
即数列的通项公式为．
由知，，
则，
得，
得
，
故．
【解析】利用递推式得出是以为首项，为公比的等比数列，求出，进而求解即可．
利用错位相减法求解数列前项和即可．
16.解：由，解得，
所以点，又，
所以，
所以反射光线所在的直线的斜率为，
所以反射光线所在的直线的方程为，即；
由题可设所求直线方程为，则，
解得或，
所以与距离为的直线方程为或．
【解析】由题可得，可求得，然后结合条件及直线的点斜式即得；
根据平行线间距离公式即得．
17.解：．
令，，则，
所以在上单调递增，，即．
故在上，，单调递减；
在上，，单调递增．
，，
令，，，
故在上，，单调递减，易得．
当时，，函数在上单调递增，，
解得，故．
当时，，函数在上单调递减，，不符合题意．
当时，则存在，使得，
则函数在上单调递减，在上单调递增．
所以，
解得，即．
综上，．
【解析】求出导函数，构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性，然后转化推出的单调性即可．
求出导函数，令，求出导函数，，判断函数的单调性求解函数最小值，推出，得到的范围．当时，说明不符合题意；当时，推出的范围，然后得到结果．
18.解 ，可得：，
，
设抛物线的方程为，
则，，
．
由，
，
，
，
解得，
，
双曲线的渐近线方程为，
准线方程为．
【解析】把双曲线的方程化为标准方程可得左顶点，即可得到抛物线的基焦点及其，即可得出抛物线的方程；
由，，利用离心率计算公式可得，即可得出双曲线的标准方程、渐近线方程与准线方程．
19.解：如图，由方程，得，半径，
在的垂直平分线上，，
所以，
的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，
由，则，，，
点的轨迹的方程为．
直线与轨迹交于，两点，设，如图，
消得，
整理得，
，
因为与关于对称，轴，
所以，，，，
，即，
，，
则，
，
即，
即，
若，点满足：，即，，三点共线，不合题意，
，即，
直线中为定值．
【解析】根据题意得的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，进而根据椭圆的定义求解即可；
根据题意，再设，进而直线与椭圆联立方程，结合韦达定理得整理得，再根据，，三点不共线得．
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