湖北黄冈中学高一年级基础知识过关检测题-2.2函数的表示法

2.2 函数的表示法
1．已知，当时，下列各式中与相等的一个是（C）
A． B． C． D．
提示：计算出与对应的项进行比较．
2．下面给出的是函数的部分数值对应表，
1
-2
3
2
4
-4
3
4
5
4
1
0
则与相对应的自变量的取值至少应该有（D）
A．-2 B．1 C．2 D．
提示：理解了列表法，即能直接从表中找到对应的关系．
3．已知，那么（A）
A． B． C． D．
提示：，∴．
4．下列图形可以作为某个函数的图象的是（B）
提示：用图象反映函数的概念，即定义域内的任意一个至多有一个的值与之对应．
5．已知函数的定义域为，值域为[-1，3]，则点对应下图中的（D）
A．点H（1，3）和点F（-1，1）
B．线段EF和线段GH
C．线段EH和线段FG
D．线段EF和线段EH
提示：令，解得或，所以，此时
，对应线段EF；或，此时，对应线段
EH，故选D．
6．已知是一次函数，且，，则有（C）
A．最大值5 B．最小值5 C．最小值 D．最大值
提示：已知即，，求得，∴，
求二次函数的最值即得．
7．已知，，则（B）
A． B． C． D．
提示：依题意，令，则，代入得，即，由函数的概念知．
8．已知，则的表达式为（C）
A． B．
C． D．
提示：已知即，令，此即，
∴，∴．
9．函数y=的值域是（B）
A．(－∞，－1 )∪(－1，＋∞) B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，0 )∪(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
提示：，所以函数y=的值域是(－∞，1)∪(1，＋∞)．
10．函数的定义域为（D）
A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≤－1或x≥1}
C．{x|0≤x≤1} D．{－1，1}
提示：．
11．已知函数f(x)的定义域为［0，1］，则f(x2)的定义域为（B）
A．(－1，0) B．[－1，1] C．(0，1) D．［0，1］
提示：．
12．已知函数f(＋1)=x＋1，则函数f(x)的解析式为 （C）
A．f(x)=x2 B．f(x)=x2＋1(x≥1)
C．f(x)=x2－2x＋2(x≥1) D．f(x)=x2－2x(x≥1)
提示：令，得，则．
13．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程，在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则其中的图形较符合该学生走法的是（C）
A． B． C． D．

提示：前一段时间，路程走得多，后一段时间路程走得少，开始时与家里的距离是0，只有C适合，故选C．
14．已知函数的定义域为A，函数的定义域是B，则集合A与集合B之间的关系是__________________．
[答案]BA
提示：，∴，且，即，且，故BA．
15．若函数的定义域是，则函数的定义域是______．
[答案]
提示：解不等式，且得．
16．已知函数的图象如下图所示，则这一函数的解析式是_______________．
[答案]
提示：设时，，
则解得
此时，同理可得时，，而在）时，
显然有，综合知
17．已知函数与两条坐标轴所围成的一个封闭图形的面积为5，则实数_____________．
[答案]
提示：如图所示，不难知道函数与两坐标轴
围成的封闭图形是一个直角三角形AOB，其面积
，由，得．
18．若函数满足，则的最小值是_______________．
[答案]
提示：令，则，∴，∴，
∴，故得最小值为（若强调仅当时原函数存在，则，这种认识下所求的最小值为0）．
19．函数y=2－的值域是__________________．
[答案][0，2]
提示：，且，∴．
20．若函数y=x2—3x—4的定义域为[0，m]，值域为[，- 4]，则m的取值范围是_______________．
[答案][ ，3]
提示：令，令，得，或
，故．
21．已知二次函数满足，，图象过原点，则=_________．
[答案]
提示：由题意设 ，∵，，且图象过原点，
∴ ∴，∴．
22．已知二次函数与轴的两交点为，，且，=_______．
[答案]
提示：由题意设 ，又∵，∴，得，
∴．
23．已知二次函数，其图象的顶点是，且经过原点，=_________．
[答案]
提示：由题意设 ，又∵图象经过原点，∴，∴
得，∴．
24．已知函数，，若，则实数的值为________________．
[答案]1
提示：∵，
由已知得，即恒成立，∴．
25．已知函数，则______________．
[答案]7
提示：．
26．已知二次函数过点（0，1），且满足条件，
（1）求函数的解析式，并作出函数的图象；
（2）若函数在区间[]上的最大值和最小值分别为3和，求正实数的值．
[解答]（1）设二次函数的解析式为），依题意即，
又，
∴对任意实数恒成立，
∴，
即所求的函数的解析式是，
图象如图所示；
（2）利用图象进行分析，
由于函数的对称轴为直线，
∴函数在一个关于原点对称的闭区间上的最大值和最小值
分别在左端点和顶点处取得，
即，且，由，得
，∴或，依题意，，∴．
27．（1）已知f ()=，求的解析式；
（2）已知是一次函数，且有，求此一次函数的解析式.
[解答]（1）设(x≠0且x≠1)；
（2）设，则
，
，或，
∴，或．
28．作出下列函数的图象：
（1）；
（2）．
[解答]（1）函数即
图象如右上图所示；
（2）函数即
图象如右下图所示．
29．已知，，求与的解析式．
[解答]当时，，∴；
当时，，∴；
故
当时，即，或时，，∴；
当时，即时，，∴；
∴
30．函数的图象如图所示，它与x轴仅有两个公共点与．
（1）用反证法证明常数
（2）求函数的解析式.
[解答]（1）假设c=0，
则
，
这与图象所给的：当时，矛盾，；
（2）由（1）知 图象与x轴仅有两个公共点，
∴方程有二等根.
由韦达定理．
31．某地区上年度电价为元/kW?h，年用电量为 kW?h．本年度计划将电价降低到0．55元/ kW?h到0．75元/ kW?h之间，而用户期望电价为0．40元/ kW?h．经测算，下调电价后新增用电量与实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为），该地区电力的成本价为0．30元/ kW?h．
（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益与实际电价之间的函数关系式；
（2）设=，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上一年至少增长20%？（注：收益=实际电量×（实际电价本价））
[解答]（1）依题意，本年度实际用电量为 kW?h，
∴（）；
（2）上年度电力部门实际收益为（元），
本年度电力部门预收益为，
依题意，知，
化简整理得，即，
又，故得，
即为保证电力部门的收益比上一年至少增长20%，电价至少定为0．6元/kW?h．
32．一动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D点再回到A点，设表示P点的行程，表示PA的长，求出关于的函数关系式，并求f()的值．
[解答]当P在AB边上运动时，|AP|=，此时，
而当P在BC边上运动时，
PA是以AB、PB为直角边的一个直角三角形的斜边长，
∴有|PA|=，此时，
同理可得另外两种情况下的解析式，
综合得
所以．
33．解答下列各题：
（1）已知求；
（2）已知是一次函数，且，求函数的解析式．
[解答]（1）由于与同号，∴
（2）设，由已知则有，而
=
∴，即且，解得，
∴所求的函数解析式为．
34．函数在闭区间上的图象如右图所示，
（1）此函数的解析式；
（2）求的值；
（3）若，求的值．
[解答]（1）；
（2）；
（3）由，所以，所以．
35．（1）已知，求；
（2）已知，求；
（3）已知是一次函数，且满足，求；
（4）已知满足，求．
[解答]（1）∵，
∴（或）．
（2）令（），则，∴，∴．
（3）设，
则，
∴，，∴．
（4） ①， 把①中的换成，
得 ②，
①②得，∴．
36．矩形的长，宽，动点、分别在、上，且，
（1）将的面积表示为的函数，求函数的解析式；
（2）求的最大值．
[解答]（1）
．
∵，∴，
∴函数的解析式为
；
（2）∵在上单调递增，∴，即的最大值为．
37．如图，在三角形ABC中，，一个边长为2的正方形由位置I沿AB边平行移动到位置II，若移动的距离为，正方形和三角形ABC的公共部分的面积为，试求的解析式，并求出的最大值．
[解答]当时公共部分为一个三角形，其面积为，
当时公共部分为两个梯形，其面积为，
当时公共部分为一个三角形，其面积为，
而当时没有公共部分，其面积为0，
综合知函数
当时，函数取得最大值3．
38．已知函数对于任意非零实数恒有成立，求．
[解答]由已知得将其中的看成两个未知量，
从中消去，解得即为所求的解析式．
39．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1．2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆投入成本增加的比例为（），则出厂价相应的提高比例为，同时预计销售量增加的比例为．（已知年利润=（出厂价入成本）×年销售量）
（1）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；
（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本的比例应在什么范围内？
[解答]（1）依题意，得
，
化简整理得；
（2）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当
即
解不等式组得，
即为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例应满足．