2023-2024学年黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中为偶函数且在区间上是增函数的是( )
A. B. C. D.
2.已知，则函数的最小值是( )
A. B. C. D.
3.已知幂函数在上为增函数，则实数的值是( )
A. B. C. 或 D. 或
4.已知，则等于( )
A. B. C. D.
5.为上的减函数，，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.已知是上的奇函数，且，当时，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数关于函数的结论正确的是( )
A. 的值域为 B.
C. 若，则的值是 D. 的解集为
10.已知是定义域为的函数，满足，，当时，，则下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线对称
C. 当时，函数的最大值为
D. 当时，函数的最小值为
11.已知函数对任意都有，若函数的图像关于对称，且对任意的，，且，都有，若，则下列结论正确的是( )
A. 是偶函数 B.
C. 的图像关于对称 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，，，则的最小值为___________．
13.函数的最小值为 ．
14.已知是常数，且，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数是指数函数．
求的解析式；
判断的奇偶性．
16.本小题分
已知函数是定义域为的奇函数，且它的图象关于直线对称．
求的值．
证明函数是周期函数．
17.本小题分
已知函数且在区间上的最大值是．
求实数的值；
假设函数的定义域是，求不等式的实数的取值范围．
18.本小题分
函数的定义域为，且对任意，都有，且，当时，有．
求，的值；
判断的单调性并加以证明；
求在上的值域．
19.本小题分
已知二次函数，且满足，．
Ⅰ求函数的解析式；
Ⅱ若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；
Ⅲ当时，求函数的最小值用表示．
答案解析
1.
【解析】解：对于选项A，函数在区间上是减函数，故选项A错误；
对于选项B，函数为偶函数且在区间上是增函数，故选项B正确；
对于选项C，函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故选项C错误；
对于选项D，函数为奇函数，故选项D错误．
故选B．
2.
【解析】解：时，，
当且仅当，即时取等号，此时函数取得最小值．
故选：．
3.
【解析】解：幂函数在上为增函数，
，且，求得，
故选：．
4.
【解析】解：，
则，，
故．
故选：．
5.
【解析】解：因为，所以与的大小关系不定，没法比较与的大小，故A错
而与 的大小关系也不定，与的大小，故B错；
又因为，
所以又为上的减函数，
故有故C对错．
故选C．
6.
【解析】解：时，，所以，即；
又，，，所以，即；
所以，，的大小关系为．
故选：．
7.
【解析】解：因为偶函数在上单调递减，且，
所以在上单调递增，且，
所以当时，；当时，，
不等式可化为，即，
所以或，
所以．
故选：．
8.
【解析】解：是上的奇函数，
，
由可得，
时，，
则．
故选：．
9.
【解析】解：当时，的取值范围是，
当时，的取值范围是，
因此的值域为，故A正确；
当时，，故B错误；
当时，由，解得舍去，
当时，由，解得或舍去，故C正确；
当时，由，解得，
当时，由，解得，
因此的解集为，故D错误．
故选：．
10.
【解析】解：对任意实数满足，
可得函数关于对称轴，
又，
即函数是周期函数，最小正周期为．
，
那么
函数是偶函数，
又当时，
函数在区间上单调递增．
函数在区间上单调递减．
当时，函数的最大值为．
函数的周期为，关于对称轴．
当时，函数，
当时，取得最小值，则选项错误．
故选：．
11.
【解析】解：因为的图像关于直线对称，
所以将的图像向右平移一个单位，得的图像，关于轴对称，
故是偶函数，故A正确；
因为函数对任意都有，
所以，
所以函数的周期为，
所以，故B正确；
因为，所以，
所以的图像关于对称，故C正确；
因为任意的，，且，都有，
故在上是单调增函数，根据周期为，
可知函数在上也是增函数，故，故D错误．
故选：．
12.
【解析】解：由，得，又，，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为．
故答案为．
13.
【解析】解：令，则，且，
所以原函数变为，．
配方得，对称轴为直线，所以函数在上单调递增，
所以，所以函数的最小值为．
故答案为：．
14.
【解析】解：已知，
则为奇函数，
则，
即，
即，
即，
故答案为：．
15.解：根据题意，函数是指数函数，
且，解得，，
故；
为奇函数，证明如下：
的定义域为，
且对，，
，
故F为奇函数．
【解析】由指数函数的定义知且，可解得，则；
可判断为奇函数，利用奇偶性的定义证明即可．
16.解：因为函数是定义域为的奇函数，所以，当时，，所以．
因为函数关于对称，所以，
即，
所以，即．
所以函数是以为周期的周期函数．
【解析】根据函数是奇函数得到，所以令得，，可得．
根据函数关于对称得到，然后利用函数的周期性的定义证明即可．
17.解：当时，函数在区间上是减函数，
因此当时，函数取得最大值，即，
因此；
当时，函数在区间上是增函数，
当时，函数取得最大值，即，
因此，
所以或．
因为的定义域是，
即恒成立．
则方程的判别式，即，
解得，
又因为或，因此，
代入不等式得，即，
解得，
因此实数的取值范围是．
【解析】当时，由函数在区间上是减函数求解；，当时，函数在区间上是增函数求解；
根据的定义域是，由恒成立求解．
18.解：可令时，；
令，可得，即；
函数在上为增函数．
理由：当时，有，
可令，即有，则，
可得，
则在递增；
由在上为增函数，
可得在递增，
可得为最小值，为最大值，
由，可得，
则的值域为．
【解析】可令，可得；令，，可得；
函数在上为增函数．可令，运用条件和单调性的定义，即可得证；
运用函数的单调性和赋值法，即可得到所求值域．
19.解：Ⅰ，
，
，解得，，
又，，
；
Ⅱ由得，方程在上有解，如图，
则，
的取值范围为；
Ⅲ，
时，的最小值为；
且，即时，的最小值为；
，即时，的最小值为，
综上得，时，的最小值为；时，的最小值为；时，的最小值为．
【解析】Ⅰ根据即可得出，从而可得出，，而根据可得出，从而得出；
Ⅱ根据题意可得出，方程在上有解，然后画出函数和即可得出得出的取值范围；
Ⅲ可讨论的取值情况，然后根据的图象即可求出的最小值．
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