2023-2024学年河北省衡水市深州中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年河北省衡水市深州中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过点且斜率为的直线方程为( )
A. B. C. D.
2.中国好声音报名即将开始，选手们可通过拨打热线电话或登陆官网两种方式之一来报名现有甲、乙、丙三人均要报名参加，则不同的报名方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.下列说法中正确是( )
A. 相关系数越大，则两变量的相关性就越强
B. 经验回归方程不一定过样本中心点
C. 对于经验回归方程，当变量增加个单位时，平均增加个单位
D. 对于经验回归方程，变量与变量负相关
4.已知椭圆：的上顶点为，左、右两焦点分别为，，若为等边三角形，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线：的左、右焦点分别是，，焦距为，以线段为直径的圆在第一象限交双曲线于点，，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
7.已知随机变量，，，，且，又，则实数的值为( )
A. 或 B. C. 或 D.
8.已知数列满足，数列的前项和为，若的最大值仅为，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于的展开式，下列说法正确的是( )
A. 各项的系数之和为 B. 二项式系数的和为
C. 展开式中无常数项 D. 第项的系数最大
10.已知正方体的边长为，、、、分别为、、、的中点，则下列结论正确的是( )
A.
B. 平面
C. 点到平面的距离为
D. 二面角的大小为
11.已知抛物线：的焦点在直线：上，直线与抛物线交于点，，为坐标原点，则下列说法中正确的是( )
A. B. 准线方程为
C. 以线段为直径的圆与的准线相切 D. 直线、的斜率之积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列，，且，则数列的公差为______．
13.有台车床加工同一类型的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第台车床加工的概率为______．
14.已知函数在上存在极值点，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共4小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等比数列满足，．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用，两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过的大集团和个人数低于的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取个集团，全是大集团的概率为．
在取出的个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率；
若一次抽取个集团，假设取出大集团的个数为，求的分布列和数学期望．
17.本小题分
已知椭圆的右焦点为，上顶点为，，离心率为．
求椭圆的标准方程；
若直线：与椭圆相交于，两点，且点，当的面积最大时，求直线的方程．
18.本小题分
已知函数．
求函数的最小值；
求证：．
参考答案
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15.解：由题意，设等比数列的公比为，
则，
解得，
，
，．
由可得，，
则，
，
两式相减，
可得
，
．
16.解：由题意知共有个集团，取出个集团的方法总数是，其中全是大集团的情况有，
故全是大集团的概率是，
整理得到，解得，
若个全是大集团，共有种情况，
若个全是小集团，共有种情况，
故全为小集团的概率为；
由题意知，随机变量的可能取值为，，，，
计算，，
，，
故的分布列为：
数学期望为．
17.解：由题意可知，解得，，
所以椭圆的方程为：；
设，，
联立，整理可得：，
，可得，
且，，
所以，
直线过点，所以，
所以，当时，符合，的条件，
最大，且最大值为：．
18.解：，，
设，，
在上为单调递增函数，
，，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
时，取得最小值，；
证明：要证，只需证，
即证，令，则，
当时，令，则，在上单调递增，
即在上为增函数，
又，
存在，使得，
由，
得，即，即，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，
令，
则，
在上单调递增，，
，，
即．
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