2024年黑龙江省大庆市中考数学试卷（含答案）

2024年黑龙江省大庆市中考数学试卷
一、选择题：本题10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。
1．（3分）下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．|﹣2024|和﹣2024 B．2024和
C．|﹣2024|和2024 D．﹣2024和
2．（3分）人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（　　）
A．1.56×10﹣5 B．0.156×10﹣5
C．1.56×10﹣6 D．15.6×10﹣7
3．（3分）垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志中，文字上方的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．厨余垃圾 B．有害垃圾 C．其他垃圾 D．可回收物
4．（3分）下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”是大庆市四个有代表性的旅游景点．若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．若＞2，则b＞2a
B．一件衣服降价20%后又提价20%，这件衣服的价格不变
C．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等
D．若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是六边形
7．（3分）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿AB折叠，量得∠1＝∠2＝59°；小铁把纸带②沿GH折叠，发现GD与GC重合，HF与HE重合，且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（　　）
A．纸带①、②的边线都平行
B．纸带①、②的边线都不平行
C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行
D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k（k≠0）与y＝的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从1，2，3，4，5，6这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是（　　）
A．小庆选出四个数字的方差等于4.25
B．小铁选出四个数字的方差等于2.5
C．小娜选出四个数字的平均数等于3.5
D．小萌选出四个数字的极差等于4
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N′，则△MBN′周长的最小值为（　　）
A．15 B．5+5 C．10+5 D．18
二、填空题：本题8小题，每小题3分，共24分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
11．（3分）＝　 　．
12．（3分）若a+＝，则a2+＝　 　．
13．（3分）如图所示，一个球恰好放在一个圆柱形盘子里，记球的体枳为V1，图柱形盒子的容积为V2，则＝　 　（球体体积公式：V＝．其中r为球体半径）．
14．（3分）写出一个过点（1，1）且y的值随着x值增大而减小的函数表达式 　 　．
15．（3分）不等式组的整数解有 　 　个．
16．（3分）如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形ABC；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作，，．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为3π，则它的面积是 　 　．
17．（3分）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 　 　．
18．（3分）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”．该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”y＝3x+1，其“倍值点”为（﹣1，﹣2）．下列说法不正确的序号为 　 　．
①函数y＝2x+4是“倍值函数”；
②函数y＝的图象上的“倍值点”是（2，4）和（﹣2，﹣4）；
③若关于x的函数y＝（m﹣1）x2+mx+m的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是m＜；
④若关于x的函数y＝x2+（m﹣k+2）x+的图象上存在唯一的“倍值点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k，则k的值为．
三、解答题：本题10小题，共66分。请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程。
19．（4分）求值：|﹣2|﹣（2024+π）0+tan60°．
20．（4分）先化简，再求值：（1+）÷，其中x＝﹣2．
21．（5分）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00﹣23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00﹣次日7：00，峰时电价比谷时电价高0.2元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．
22．（6分）如图，CD是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路l上由北向南行驶，在A处测得桥头C在南偏东30°方向上，继续行驶1500米后到达B处，测得桥头C在南偏东60°方向上，桥头D在南偏东45°方向上，求大桥CD的长度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.73）
23．（7分）根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“x＜60”记为1分，“60≤x＜70”记为2分，“70≤x＜80”记为3分，“80≤x＜90”记为4分，“90≤x≤100”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：
平均数 中位数 众数
第1小组 3.9 4 a
第2小组 b 3.5 5
第3小组 3.25 c 3
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为 　 　度；
②请补全第1小组得分条形统计图；
（2）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（3）已知该校共有4200名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分？
24．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且点E，F分别在边BC，AD上．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若∠ADC＝60°，DF＝2AF＝2，求△GDF的面积．
25．（7分）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的30天中，第x天（1≤x≤30且x为整数）的售价为y（元/千克），当1≤x≤20时，y＝kx+b；当20＜x≤30时，y＝15．销量z（千克）与x的函数关系式为z＝x+10，已知该产品第10天的售价为20元/千克，第15天的售价为15元/千克，设第x天的销售额为M（元）．
（1）k＝　 　，b＝　 　；
（2）写出第x天的销售额M与x之间的函数关系式；
（3）求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元？
26．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上．点B，C在第一象限，四边形OABC是平行四边形，点C在反比例函数y＝的图象上，点C的横坐标为2．点B的纵坐标为3．
提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则P1P2中点坐标为（，）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图2，点D是AB边的中点，且在反比例函数y＝图象上，求平行四边形OABC的面积；
（3）如图3，将直线l1：y＝﹣x向上平移6个单位得到直线l2，直线l2与函数y＝（x＞0）图象交于M1，M2两点，点P为M1M2的中点，过点M1作M1N⊥l1于点N．请直接写出P点坐标和的值．
27．（9分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，点D在⊙O上．连接CD，交AB于点E，延长BD，CA，两线相交于点P，过点A作⊙O的切线交BP于点G．
（1）求证：AG∥CD；
（2）求证：PA2＝PG PB；
（3）若sin∠APD＝，PG＝6．求tan∠AGB的值．
28．（9分）如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），点M为抛物线顶点，点E为AB中点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在直线BC上方的抛物线上存在点Q．使得∠QCB＝2∠ABC，求点Q的坐标；
（3）已知D，F为抛物线上不与A，B重合的相异两点．
①若点F与点C重合，D（m，﹣12），且m＞1，求证：D，E，F三点共线；
②若直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，只要D，E，F三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
2024年黑龙江省大庆市中考数学试卷
参考答案
一、选择题：本题10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。
1．（3分）下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．|﹣2024|和﹣2024 B．2024和
C．|﹣2024|和2024 D．﹣2024和
选：A．
2．（3分）人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（　　）
A．1.56×10﹣5 B．0.156×10﹣5
C．1.56×10﹣6 D．15.6×10﹣7
选：C．
3．（3分）垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志中，文字上方的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．厨余垃圾 B．有害垃圾 C．其他垃圾 D．可回收物
选：B．
4．（3分）下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是（　　）
A． B． C． D．
选：B．
5．（3分）“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”是大庆市四个有代表性的旅游景点．若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率是（　　）
A． B． C． D．
选：D．
6．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．若＞2，则b＞2a
B．一件衣服降价20%后又提价20%，这件衣服的价格不变
C．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等
D．若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是六边形
选：D．
7．（3分）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿AB折叠，量得∠1＝∠2＝59°；小铁把纸带②沿GH折叠，发现GD与GC重合，HF与HE重合，且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（　　）
A．纸带①、②的边线都平行
B．纸带①、②的边线都不平行
C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行
D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行
选：D．
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k（k≠0）与y＝的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
选：C．
9．（3分）小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从1，2，3，4，5，6这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是（　　）
A．小庆选出四个数字的方差等于4.25
B．小铁选出四个数字的方差等于2.5
C．小娜选出四个数字的平均数等于3.5
D．小萌选出四个数字的极差等于4
选：A．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N′，则△MBN′周长的最小值为（　　）
A．15 B．5+5 C．10+5 D．18
选：B．
二、填空题：本题8小题，每小题3分，共24分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
11．（3分）＝　﹣2　．
12．（3分）若a+＝，则a2+＝　3　．
13．（3分）如图所示，一个球恰好放在一个圆柱形盘子里，记球的体枳为V1，图柱形盒子的容积为V2，则＝ （球体体积公式：V＝．其中r为球体半径）．
14．（3分）写出一个过点（1，1）且y的值随着x值增大而减小的函数表达式 　y＝﹣x+2
15．（3分）不等式组的整数解有 　4　个．
16．（3分）如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形ABC；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作，，．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为3π，则它的面积是 （ ﹣ ）
17．（3分）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 　48　．
18．（3分）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”．该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”y＝3x+1，其“倍值点”为（﹣1，﹣2）．下列说法不正确的序号为 　①③④　．
①函数y＝2x+4是“倍值函数”；
②函数y＝的图象上的“倍值点”是（2，4）和（﹣2，﹣4）；
③若关于x的函数y＝（m﹣1）x2+mx+m的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是m＜；
④若关于x的函数y＝x2+（m﹣k+2）x+的图象上存在唯一的“倍值点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k，则k的值为．
三、解答题：本题10小题，共66分。请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程。
19．（4分）求值：|﹣2|﹣（2024+π）0+tan60°．
【解答】解：原式＝2﹣﹣1+
＝1．
20．（4分）先化简，再求值：（1+）÷，其中x＝﹣2．
【解答】解：原式＝÷
＝×
＝，
当x＝﹣2时，
原式＝＝﹣2．
21．（5分）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00﹣23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00﹣次日7：00，峰时电价比谷时电价高0.2元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．
【解答】解：设该市谷时电价为x元/度，则该市峰时电价为（x+0.2）元/度，
根据题意得：＝，
解得：x＝0.3，
经检验，x＝0.3是所列方程的解，且符合题意．
答：该市谷时电价为0.3元/度．
22．（6分）如图，CD是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路l上由北向南行驶，在A处测得桥头C在南偏东30°方向上，继续行驶1500米后到达B处，测得桥头C在南偏东60°方向上，桥头D在南偏东45°方向上，求大桥CD的长度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.73）
【解答】解：分别过点C和点D作AB的垂线，垂足分别为M，N，
在Rt△CBM中，
tan∠CBM＝，
所以CM＝，
在Rt△ACM中，
tanA＝，
所以，
则BM＝750，
所以CM＝（米），
所以DN＝CM＝（米）．
在Rt△DBN中，
tan∠DBN＝，
所以BN＝DN＝，
所以MN＝BN﹣BM＝米，
则CD＝MN＝≈548（米），
故大桥CD的长为548米．
23．（7分）根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“x＜60”记为1分，“60≤x＜70”记为2分，“70≤x＜80”记为3分，“80≤x＜90”记为4分，“90≤x≤100”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：
平均数 中位数 众数
第1小组 3.9 4 a
第2小组 b 3.5 5
第3小组 3.25 c 3
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为 　18　度；
②请补全第1小组得分条形统计图；
（2）a＝　5　，b＝　3.5　，c＝　3　；
（3）已知该校共有4200名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分？
【解答】解：（1）①360°×（1﹣30%﹣15%﹣10%﹣40%）
＝360°×5%
＝18°，
故答案为：18；
②第一小组中，得分为4分的人数为20﹣1﹣2﹣3﹣8＝6（人），补全条形统计图如下：
（2）第一小组学生得分出现次数最多的是5分，共出现8次，因此第一小组学生成绩的众数是5分，即a＝5，
第二小组20名学生成绩的平均数为＝3.5（分），即b＝3.5，
将第三小组20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝3（分），所以中位数是3分，即c＝3，
故答案为：5，3.5，3；
（3）4200×＝1260（名），
答：该校4200名学生中大约有1260名学生竞赛成绩不低于90分．
24．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且点E，F分别在边BC，AD上．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若∠ADC＝60°，DF＝2AF＝2，求△GDF的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵AE，CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，
∴∠AEB＝∠DAE＝∠BAD，∠BCF＝∠BCD，
∴∠AEB＝∠BCF，
∴AE∥CF，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：如图，过点C作CH⊥AD于点H，
则∠CHD＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠ADC＝180°﹣60°＝120°，
∵CF是∠BCD的平分线，
∴∠DCF＝∠BCD＝×120°＝60°，
∴∠ADC＝∠DCF＝60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴CD＝DF＝2，DH＝DF＝1，
在Rt△CHD中，由勾股定理得：CH＝＝＝，
∴S△CDF＝DF CH＝×2×＝，
由（1）得：四边形AECF是平行四边形，
∴CE＝AF＝DF＝×2＝1，
∵AD∥BC，
∴△DGF∽△EGC，
∴＝＝，
∴FG＝CF，
∴S△GDF＝S△CDF＝．
25．（7分）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的30天中，第x天（1≤x≤30且x为整数）的售价为y（元/千克），当1≤x≤20时，y＝kx+b；当20＜x≤30时，y＝15．销量z（千克）与x的函数关系式为z＝x+10，已知该产品第10天的售价为20元/千克，第15天的售价为15元/千克，设第x天的销售额为M（元）．
（1）k＝　﹣1　，b＝　30　；
（2）写出第x天的销售额M与x之间的函数关系式；
（3）求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元？
【解答】解：（1）由题意得，，
∴．
故答案为：﹣1；30．
（2）由题意，当1≤x≤20时，由（1）得y＝﹣x+30，
∴M＝（x+10）（﹣x+30）＝﹣x2+20x+300．
当20≤x≤30时，M＝15（x+10）＝15x+150．
∴M＝．
（3）由题意，当1≤x≤20时，M＝﹣x2+20x+300＝﹣（x﹣10）2+400．
∵﹣1＜0，
∴当x＝10时，M取最大值为400．
∴此时销售额不超过500元．
当20＜x≤30时，令M＝15x+150＞500，
∴x＞23．
∴共有7天销售额超过500元．
26．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上．点B，C在第一象限，四边形OABC是平行四边形，点C在反比例函数y＝的图象上，点C的横坐标为2．点B的纵坐标为3．
提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则P1P2中点坐标为（，）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图2，点D是AB边的中点，且在反比例函数y＝图象上，求平行四边形OABC的面积；
（3）如图3，将直线l1：y＝﹣x向上平移6个单位得到直线l2，直线l2与函数y＝（x＞0）图象交于M1，M2两点，点P为M1M2的中点，过点M1作M1N⊥l1于点N．请直接写出P点坐标和的值．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是平行四边形，点C在反比例函数y＝的图象上，点C的横坐标为2．点B的纵坐标为3．
∴C（2，3），
∵点C（2，3）在反比例函数y＝图象上，
∴k＝6，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）设点A坐标为（m，0），
∵C（2，3），
∴OC＝＝，
∵OABC是平行四边形，
∴AB＝OC＝，
∵点D是AB边的中点，点A的纵坐标为3，
∴点D的纵坐标为，
∵点D在反比例函数y＝图象上，
∴D（4，），
由中点坐标公式可得点B坐标为（8﹣m，3）
∴AB2＝（8﹣m﹣m）2+32＝13，
解得m＝3或m＝5（舍去），
∴S OABC＝3×3＝9．
（3）∵将直线l1：y＝﹣x向上平移6个单位得到直线l2，
∴l2解析式为y＝﹣+6，
设直线l2与y轴交于点E，则E（0，6），
如图3，作OF⊥l1交l2于点F，
∵M1N⊥l1，
∴M1N＝OF，
在函数y＝﹣+6中，当y＝0时，x＝8，
∴G（8，0），
∴OE＝6，OG＝8，
在Rt△EOG中，由勾股定理得EG＝＝＝10，
由三角形面积公式可得：OE OG＝OF EG，
∴OF＝＝＝，
∴M1N＝OF＝，
列函数联立方程组得，解得，，
∴M1（4﹣2，），M2（4+2，），
∵点P为M1M2的中点，
∴P（4，3），
∴OP＝＝5，
∴＝＝．
27．（9分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，点D在⊙O上．连接CD，交AB于点E，延长BD，CA，两线相交于点P，过点A作⊙O的切线交BP于点G．
（1）求证：AG∥CD；
（2）求证：PA2＝PG PB；
（3）若sin∠APD＝，PG＝6．求tan∠AGB的值．
【解答】（1）证明：∵将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，
∴AB⊥CD，
∵AB为⊙O的直径，AG是切线，
∴AG⊥AB，
∴AG∥CD；
（2）证明：∵AG是切线，
∴AG⊥AB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝∠GAD，
∵由折叠可得∠ABD＝∠ABC，
∴∠CBD＝2∠ABD，
∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，
∴∠PAD＝180°﹣∠CAD＝∠DBC＝2∠ABD，
∴∠PAG＝∠PAD﹣∠GAD＝2∠ABD﹣∠ABD＝∠ABD，
又∵∠APG＝∠BPA，
∴△APG∽△BPA，
∵，即PA2＝PG PB；
（3）解：∵sin∠，
设AD＝a，则AP＝3a，
∴，
∴，
∵由折叠可得AC＝AD＝a，
∴PC＝PA+AC＝3a+a＝4a，
∵在Rt△PCB中，，
∴，
∵AD⊥BD，GA⊥AB，
∴∠AGB＝90°﹣∠GAD＝∠DAB，
∴．
28．（9分）如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），点M为抛物线顶点，点E为AB中点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在直线BC上方的抛物线上存在点Q．使得∠QCB＝2∠ABC，求点Q的坐标；
（3）已知D，F为抛物线上不与A，B重合的相异两点．
①若点F与点C重合，D（m，﹣12），且m＞1，求证：D，E，F三点共线；
②若直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，只要D，E，F三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
【解答】（1）解：将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c，
得：，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）解：对于y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，
﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∵∠QCB＝2∠ABC，
∴∠QCB＝90°，
如图所示，过点C作CQ⊥BC交抛物线于点Q，过点Q作QG⊥y轴于点G，
∴∠GCQ＝90°﹣∠ABC＝45°，
∴△GCQ是等腰直角三角形，
∵CQ＝QG，
设Q（q，﹣q2+2q+3），则G（0，﹣q2+2q+3），
∴CG＝﹣q2+2q，GQ＝q，
∴﹣q2+2q＝q，
解得：q＝0（舍去）或q＝1，
∴Q（1，4）；
（3）①证明：点F与点C重合，则F（0，3），
∵点E为AB中点，A（﹣1，0），B（3，0），
∴E（1，0），
设直线EF的解析式为y＝kx+b（k≠0），代入E（1，0），F（0，3），
∴，
解得：，
∴y＝﹣3x+3，
联立，
解得：或，
∴D（5，﹣12），在直线EF上，即D，E，F三点共线；
②解：设D（x1，y1），F（x2，y2），
∵D，E，F三点共线，E（1，0）
∴设DF的解析式y＝k（x﹣1），
联立，
消去y得，﹣x2+（2﹣k）x+（3+k）＝0，
∴x1+x2＝2﹣k，x1x3＝﹣3﹣k，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
设直线AD解析式为y＝k1（x+1），直线BF的解析式为y＝k2（x﹣3），
联立，
解得：，
∴，
∵，，
∴，，
∴＝＝＝＝8，
而＝＝＝不为定值，
∴P在直线y＝8上运动，
∴P到x轴的距离为定值8，
∵直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，只要D，E，F三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形，P到AM，EM的距离是变化的，
∴△ABP的面积为是定值．