2023-2024学年江西省宜春三中高一（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年江西省宜春三中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，分别为正交单位向量，则( )
A. B. C. D.
3.某班同学利用课外实践课，测量，两地之间的距离，在处测得，两地之间的距离是千米，，两地之间的距离是千米，且，则，两地之间的距离是( )
A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米
4.设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是( )
A. 若，，，则 B. 若，，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
5.已知中，角，，的对边分别是，，，若，则是( )
A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形
6.如图，平行四边形中，，，点是的三等分点，则( )
A.
B.
C.
D.
7.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
8.在中，内角，，所对边分别为，，，若，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象
B. 直线是图象的一条对称轴
C. 在上单调递减
D. 的图象关于点对称
10.已知向量，，，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 设函数，则的最大值为
C. 的最大值为
D. 若，且在上的投影向量为，则与的夹角为
11.在长方体中，，点为线段上一动点，则下列说法正确的是( )
A. 直线平面
B. 直线与是异面直线
C. 三棱锥的体积为定值
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知角的终边与单位圆交于点，则 ______．
13.已知圆锥的侧面积单位：为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径单位：是 ．
14.设向量满足，，与的夹角为，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知角，且．
求的值；
求的值．
16.本小题分
已知向量，，向量满足，且．
求的坐标；
若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
17.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，满足．
求；
的角平分线与交于点，求的最小值．
18.本小题分
已知四边形为直角梯形，，，为等腰直角三角形，平面平面，为的中点，，．
求证：平面；
求证：平面平面．
求异面直线与所成角的余弦值；
19.本小题分
设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：．
试求解下列问题：
已知向量满足，求的值；
在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值；
已知向量，求的最小值．
参考答案
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15.解：，且．
则，
；
．
16.解：设，因为，，
所以，
又因为，且，
所以，解得，所以；
因为，，
所以，
因为与的夹角为钝角，
所以，解得且，
所以实数的取值范围为．
17.解：由得，
由正弦定理得，即，
由，所以，化简得，
所以，所以．
由，
得，
即，得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为．

18.证明：设是的中点，连接，，
由于是的中点，
所以，且，而，且，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，
所以，由于平面，平面，
所以平面；
证明：因为，，，
所以，所以，
由于平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
由于，，平面，
所以，
又因为，，，平面，
所以平面，
由于平面，
所以平面平面；
解：由于，所以是异面直线与所成角或其补角，
因为，，
，，
所以，即，
所以．
19.解：由已知，得，
所以，即，
又，所以，
所以；
设，则，，
所以，
从而，
所以，
又，
所以；
由可得：，
因为
，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值的最小值是．
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