2023-2024学年安徽省六安市皖西当代中学高一(下)期末数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若复数与其共轭复数满足,则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.若某群体中的成员只用现金支付的概率为,既用现金支付也用非现金支付的概率为,则不用现金支付的概率为( )
A. B. C. D.
3.的内角,,的对边分别为,,,已知,,,则( )
A. B. C. 或 D. 无解
4.已知两不同直线,与三不同平面,,,下列条件能推出的是( )
A. 且 B. ,,
C. 且 D. ,,,
5.若为的边的中点,则( )
A. B. C. D.
6.已知向量与的夹角为,,,则( )
A. B. C. D.
7.已知正四棱锥的体积为,底面边长为,则以为球心,为半径的球的体积为( )
A. B. C. D.
8.的内角,,的对边分别为,,,且,则( )
A.
B. 的外接圆半径为
C. 的面积的最大值为
D. 的周长的取值范围是
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知一组样本数据:,,,,,,,,,关于这组样本数据,结论正确的是( )
A. 平均数为 B. 众数为 C. 极差为 D. 中位数为
10.湖光岩玛珥湖,位于广东省湛江市麻章区湖光镇,是中国乃至世界最大的湿玛珥湖,是中国玛珥湖研究的始发点,也是世界玛玶湖研究的关键点某小组计划测量如图所示的湖光岩玛珥湖的东西方向的总湖长,即测量湖光岩玛珥湖湖岸的两个测量基点,之间的距离,现在湖光岩玛珥湖的湖岸取另外两个测量基点,,测得米,,,则( )
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
11.已知圆锥是底面圆的圆心,是圆锥的顶点的母线长为,高为若,为底面圆周上任意两点,则下列结论正确的是( )
A. 三角形面积的最大值为
B. 三棱锥体积的最大值
C. 四面体外接球表面积的最小值为
D. 直线与平面所成角的余弦值的最小值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.复数的虚部为______.
13.若一组数据,,,的方差为,则数据,,,的标准差为______.
14.如图,在中,是的中点,在边上,,与交于点若,则的值是 .
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知、、是同一平面内的三个向量,其中,,
若,求;
若与共线,求的值.
16.本小题分
如图,三棱柱的底面是边长为的正三角形,侧棱底面,,为的中点.
证明:平面;
求三棱锥的体积.
17.本小题分
某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作,现随机抽取了名候选者的面试成绩并分成五组:第一组,第二组,第三组,第四组,第五组,绘制成如图所示的频率分布直方图,已知第三、四、五组的频率之和为,第一组和第五组的频率相同.
求图中,的值;
估计这名候选者面试成绩的第百分位数和平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表;
从成绩在第四、五组的志愿者中,按比例分配的分层抽样方法随机抽取人,再从这人中选出两人,求选出的两人成绩来自同一组的概率.
18.本小题分
的内角,,的对边分别为,,,其面积为.
求角;
若的角平分线交于点,且,求的值.
19.本小题分
如图,在四棱锥中,四边形为菱形,,.
证明:平面平面;
求二面角的余弦值.
参考答案
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14.
15.解:
,
,
由已知:,,
因为,
所以:,
16.证明:连接交于点,连接,
由于为直棱柱,所以为矩形,
所以为的中点,
由于为的中点,所以,
由于伻面,平面,所以平面.
解:取中点,连接,
由于底面,所以底面,
由于为正边的中点,所以,
由于底面,所以,
由于,所以平面.
取的中点,连接,则,
所以平面,即为三棱锥的高,,
所以.
17.解:第三、四、五组的频率之和为,
,解得,
前两组的频率之和为,即,解得.
前三组频率之和为,第百分位数位于组内,
且,即估计第百分位数为;
估计平均数为.
成绩在第四、五两组志愿者分别有人、人,
按比例分层抽样抽得第四组志愿者人数为,分别设为,,,,
第五组志愿者人数为,设为,
这人选出人,所有情况有,,,,,
,,,,,共种,
其中选出的两人来自同一组的有,,,,,,共种,
选出的两人来自同一组的概率为.
18.解:由于,
所以,
由于,
所以.
由于,所以,即,
由可得,
解得,故.
在中,由余弦定理得,
解得.
19.证明:取的中点,连接,,则,
由已知可得,,,
平面,平面,,
平面,
平面,平面平面;
解:过点作,垂足为,连接,
由知平面,
又平面,
,又平面,平面,,
则平面,
平面,
,即为二面角的平面角,
在中,是边上的高,运用等面积法得:,
平面,平面,
,
则,,
二面角的余弦值为;
综上,二面角的余弦值为.
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