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专题11 电磁感应——2023和2024年高考真题汇编
一．选择题（共18小题）
1．（2024 北京）如图所示，线圈M和线圈P绕在同一个铁芯上，下列说法正确的是（ ）
A．闭合开关瞬间，线圈M和线圈P相互吸引
B．闭合开关，达到稳定后，电流表的示数为0
C．断开开关瞬间，流过电流表的电流方向由a到b
D．断开开关瞬间，线圈P中感应电流的磁场方向向左
2．（2024 甘肃）如图，相距为d的固定平行光滑金属导轨与阻值为R的电阻相连，处在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中。长度为L的导体棒ab（不计电阻）沿导轨向右做匀速直线运动，速度大小为v，则导体棒ab所受的安培力为（ ）
A．，方向向左 B．，方向向右
C．，方向向左 D．，方向向右
3．（2024 甘肃）工业上常利用感应电炉冶炼合金，装置如图所示。当线圈中通有交变电流时，下列说法正确的是（ ）
A．金属中产生恒定感应电流
B．金属中产生交变感应电流
C．若线圈匝数增加，则金属中感应电流减小
D．若线圈匝数增加，则金属中感应电流不变
4．（2024 广东）电磁俘能器可在汽车发动机振动时利用电磁感应发电实现能量回收，结构如图甲所示。两对永磁铁可随发动机一起上下振动，每对永磁铁间有水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。磁场中，边长为L的正方形线圈竖直固定在减震装置上。某时刻磁场分布与线圈位置如图乙所示，永磁铁振动时磁场分界线不会离开线圈。关于图乙中的线圈，下列说法正确的是（ ）
A．穿过线圈的磁通量为BL2
B．永磁铁相对线圈上升越高，线圈中感应电动势越大
C．永磁铁相对线圈上升越快，线圈中感应电动势越小
D．永磁铁相对线圈下降时，线圈中感应电流的方向为顺时针方向
5．（2024 山东）如图甲所示，在﹣d≤x≤d、﹣d≤y≤d的区域中存在垂直Oxy平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场（用阴影表示磁场的区域），边长为2d的正方形线圈与磁场边界重合。线圈以y轴为转轴匀速转动时，线圈中产生的交变电动势如图乙所示。若仅磁场的区域发生了变化，线圈中产生的电动势变为图丙所示实线部分，则变化后磁场的区域可能为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024 湖南）如图，有一硬质导线Oabc，其中是半径为R的半圆弧，b为圆弧的中点，直线段Oa长为R且垂直于直径ac。该导线在纸面内绕O点逆时针转动，导线始终在垂直纸面向里的匀强磁场中。则O、a、b、c各点电势关系为（ ）
A．φO＞φa＞φb＞φc B．φO＜φa＜φb＜φc
C．φO＞φa＞φb＝φc D．φO＜φa＜φb＝φc
7．（2024 湖北）《梦溪笔谈》中记录了一次罕见的雷击事件：房屋被雷击后，屋内的银饰、宝刀等金属熔化了，但是漆器、刀鞘等非金属却完好（原文为：有一木格，其中杂贮诸器，其漆器银扣者，银悉熔流在地，漆器曾不焦灼。有一宝刀，极坚钢，就刀室中熔为汁，而室亦俨然）。导致金属熔化而非金属完好的原因可能为（ ）
A．摩擦 B．声波 C．涡流 D．光照
8．（2024 江苏）如图所示，在绝缘的水平面上，有闭合的两个线圈a、b，线圈a处在匀强磁场中，现将线圈a从磁场中匀速拉出，线圈a、b中产生的感应电流方向分别是（ ）
A．顺时针，顺时针 B．顺时针，逆时针
C．逆时针，顺时针 D．逆时针，逆时针
9．（2024 福建）莫比乌斯环AB、CD为铜线，A接D，B接C形成莫比乌斯环，等同半径为R的圆筒，r内存在B＝kt的磁场，问环的感应电动势为（ ）
A．0 B．kπR2 C．2kπr2 D．2kπR3
10．（2024 浙江）若通以电流I的圆形线圈在线圈内产生的磁场近似为方向垂直线圈平面的匀强磁场，其大小B＝kI（k的数量级为10﹣4T/A）。现有横截面半径为1mm的导线构成半径为1cm的圆形线圈处于超导状态，其电阻率上限为10﹣26Ω m。开始时线圈通有100A的电流，则线圈的感应电动势大小的数量级和一年后电流减小量的数量级分别为（ ）
A．10﹣23V 10﹣7A B．10﹣20V 10﹣7A
C．10﹣23V 10﹣5A D．10﹣20V 10﹣5A
11．（2023 重庆）某小组设计了一种呼吸监测方案：在人身上缠绕弹性金属线圈，观察人呼吸时处于匀强磁场中的线圈面积变化产生的电压，了解人的呼吸状况。如图所示，线圈P的匝数为N，磁场的磁感应强度大小为B，方向与线圈轴线的夹角为θ。若某次吸气时，在t时间内每匝线圈面积增加了S，则线圈P在该时间内的平均感应电动势为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023 北京）如图所示，光滑水平面上的正方形导线框，以某一初速度进入竖直向下的匀强磁场并最终完全穿出，线框的边长小于磁场宽度。下列说法正确的是（ ）
A．线框进磁场的过程中电流方向为顺时针方向
B．线框出磁场的过程中做匀减速直线运动
C．线框在进和出的两过程中产生的焦耳热相等
D．线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等
13．（2023 浙江）如图所示，质量为M、电阻为R、长为L的导体棒，通过两根长均为l、质量不计的导电细杆连在等高的两固定点上，固定点间距也为L。细杆通过开关S可与直流电源E0或理想二极管串接。在导体棒所在空间存在磁感应强度方向竖直向上、大小为B的匀强磁场，不计空气阻力和其它电阻。开关S接1，当导体棒静止时，细杆与竖直方向的夹角；然后开关S接2，棒从右侧开始运动完成一次振动的过程中（ ）
A．电源电动势E0
B．棒消耗的焦耳热Mgl
C．从左向右运动时，最大摆角小于
D．棒两次过最低点时感应电动势大小相等
14．（2023 辽宁）如图，空间中存在水平向右的匀强磁场，一导体棒绕固定的竖直轴OP在磁场中匀速转动，且始终平行于OP。导体棒两端的电势差u随时间t变化的图像可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2023 重庆）如图所示，与水平面夹角为θ的绝缘斜面上固定有光滑U形金属导轨。质量为m、电阻不可忽略的导体杆MN沿导轨向下运动，以大小为v的速度进入方向垂直于导轨平面向下的匀强磁场区域，在磁场中运动一段时间t后，速度大小变为2v。运动过程中杆与导轨垂直并接触良好，导轨的电阻忽略不计，重力加速度为g。杆在磁场中运动的此段时间内（ ）
A．流过杆的感应电流方向从N到M
B．杆沿轨道下滑的距离为vt
C．流过杆感应电流的平均电功率等于重力的平均功率
D．杆所受安培力的冲量大小为mgtsinθ﹣mv
16．（2023 海南）汽车测速利用了电磁感应现象，汽车可简化为一个矩形线圈abcd，埋在地下的线圈分别为1、2，通上顺时针（俯视）方向电流，当汽车经过线圈时（ ）
A．线圈1、2产生的磁场方向竖直向上
B．汽车进入线圈1过程产生感应电流方向为abcd
C．汽车离开线圈1过程产生感应电流方向为abcd
D．汽车进入线圈2过程受到的安培力方向与速度方向相同
17．（2023 乙卷）一学生小组在探究电磁感应现象时，进行了如下比较实验。用图（a）所示的缠绕方式，将漆包线分别绕在几何尺寸相同的有机玻璃管和金属铝管上，漆包线的两端与电流传感器接通。两管皆竖直放置，将一很小的强磁体分别从管的上端由静止释放，在管内下落至管的下端。实验中电流传感器测得的两管上流过漆包线的电流I随时间t的变化分别如图（b）和图（c）所示，分析可知（ ）
A．图（c）是用玻璃管获得的图像
B．在铝管中下落，小磁体做匀变速运动
C．在玻璃管中下落，小磁体受到的电磁阻力始终保持不变
D．用铝管时测得的电流第一个峰到最后一个峰的时间间隔比用玻璃管时的短
18．（2023 浙江）如图甲所示，一导体杆用两条等长细导线悬挂于水平轴OO'，接入电阻R构成回路。导体杆处于竖直向上的匀强磁场中，将导体杆从竖直位置拉开小角度由静止释放，导体杆开始下摆。当R＝R0时，导体杆振动图像如图乙所示。若横纵坐标皆采用图乙标度，则当R＝2R0时，导体杆振动图像是（ ）
A． B．
C． D．
二．多选题（共9小题）
（多选）19．（2024 全国）使用感应电流大小以测量手掌张合速度的侦测器：在空心软橡胶直筒中间置1000圈半径为2.1cm的导电圆环回路，且在直筒两端各置一磁铁，产生4.0×10﹣2T的均匀磁场垂直通过导电圆环平面。当右手掌心朝上、手指紧握横放的橡胶筒时，磁场方向朝右，以右手压缩橡胶筒，如图所示（含条纹之箭头代表施力方向）。若在1.0s间使导电圆环半径收缩为1.9cm，则下列叙述哪些正确？（ ）
A．导电圆环未被压缩时每圈的初始磁通量为8.0π×10﹣6Tm2
B．导电圆环每圈的面积时变率为8.0π×10﹣5m2/s
C．导电圆环每圈的磁通量变化率为1.6π×10﹣6Tm2/s
D．导电圆环回路的感应电动势量值为3.2π×10﹣3V
E．导电圆环回路的感应电流方向与手抓握橡胶筒的四指弯曲方向相同
（多选）20．（2024 海南）两根足够长的导轨由上下段电阻不计，光滑的金属导轨组成，在M、N两点绝缘连接，M、N等高，间距L＝1m，连接处平滑。导轨平面与水平面夹角为30°，导轨两端分别连接一个阻值R＝0.02Ω的电阻和C＝1F的电容器，整个装置处于B＝0.2T的垂直导轨平面斜向上的匀强磁场中，两根导体棒ab、cd分别放在MN两侧，质量分为m1＝0.8kg，m2＝0.4kg，ab棒电阻为0.08Ω，cd棒的电阻不计，将ab由静止释放，同时cd从距离MN为x0＝4.32m处在一个大小F＝4.64N，方向沿导轨平面向上的力作用下由静止开始运动，两棒恰好在M、N处发生弹性碰撞，碰撞前瞬间撤去F，已知碰前瞬间ab的速度为4.5m/s，g＝10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．ab从释放到第一次碰撞前所用时间为1.44s
B．ab从释放到第一次碰撞前，R上消耗的焦耳热为0.78J
C．两棒第一次碰撞后瞬间，ab的速度大小为6.3m/s
D．两棒第一次碰撞后瞬间，cd的速度大小为8.4m/s
（多选）21．（2024 甲卷）如图，一绝缘细绳跨过两个在同一竖直面（纸面）内的光滑定滑轮，绳的一端连接一矩形金属线框，另一端连接一物块。线框与左侧滑轮之间的虚线区域内有方向垂直纸面的匀强磁场，磁场上下边界水平，在t＝0时刻线框的上边框以不同的初速度从磁场下方进入磁场。运动过程中，线框始终在纸面内且上下边框保持水平。以向上为速度的正方向，下列线框的速度v随时间t变化的图像中可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（多选）22．（2024 湖南）某电磁缓冲装置如图所示，两足够长的平行金属导轨置于同一水平面内，导轨左端与一阻值为R的定值电阻相连，导轨BC段与B1C1段粗糙，其余部分光滑，AA1右侧处于竖直向下的匀强磁场中，一质量为m的金属杆垂直导轨放置。现让金属杆以初速度v0沿导轨向右经过AA1进入磁场，最终恰好停在CC1处。已知金属杆接入导轨之间的阻值为R，与粗糙导轨间的摩擦因数为μ，AB＝BC＝d。导轨电阻不计，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．金属杆经过BB1的速度为
B．在整个过程中，定值电阻R产生的热量为
C．金属杆经过AA1B1B与BB1C1C区域，金属杆所受安培力的冲量相同
D．若将金属杆的初速度加倍，则金属杆在磁场中运动的距离大于原来的2倍
（多选）23．（2024 山东）如图所示，两条相同的半圆弧形光滑金属导轨固定在水平桌面上，其所在平面竖直且平行，导轨最高点到水平桌面的距离等于半径，最低点的连线OO'与导轨所在竖直面垂直。空间充满竖直向下的匀强磁场（图中未画出），导轨左端由导线连接。现将具有一定质量和电阻的金属棒MN平行OO'放置在导轨图示位置，由静止释放。MN运动过程中始终平行于OO'且与两导轨接触良好，不考虑自感影响，下列说法正确的是（ ）
A．MN最终一定静止于OO'位置
B．MN运动过程中安培力始终做负功
C．从释放到第一次到达OO'位置过程中，MN的速率一直在增大
D．从释放到第一次到达OO'位置过程中，MN中电流方向由M到N
（多选）24．（2024 选择性）如图，两条“∧”形的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，间距为L，左、右两导轨面与水平面夹角均为30°，均处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小分别为2B和B。将有一定阻值的导体棒ab、cd放置在导轨上，同时由静止释放，两棒在下滑过程中始终与导轨垂直并接触良好。ab、cd的质量分别为2m和m，长度均为L。导轨足够长且电阻不计，重力加速度大小为g。两棒在下滑过程中（ ）
A．回路中的电流方向为abcda
B．ab中电流趋于
C．ab与cd加速度大小之比始终为2：1
D．两棒产生的电动势始终相等
（多选）25．（2023 河北）如图1，绝缘水平面上四根完全相同的光滑金属杆围成矩形，彼此接触良好，匀强磁场方向竖直向下。金属杆2、3固定不动，1、4同时沿图1箭头方向移动，移动过程中金属杆所围成的矩形周长保持不变。当金属杆移动到图2位置时，金属杆所围面积与初始时相同。在此过程中（ ）
A．金属杆所围回路中电流方向保持不变
B．通过金属杆截面的电荷量随时间均匀增加
C．金属杆1所受安培力方向与运动方向先相同后相反
D．金属杆4所受安培力方向与运动方向先相反后相同
（多选）26．（2023 山东）足够长U形导轨平置在光滑水平绝缘桌面上，宽为1m，电阻不计。质量为1kg、长为1m、电阻为1Ω的导体棒MN放置在导轨上，与导轨形成矩形回路并始终接触良好，Ⅰ和Ⅱ区域内分别存在竖直方向的匀强磁场，磁感应强度分别为B1和B2，其中B1＝2T，方向向下。用不可伸长的轻绳跨过固定轻滑轮将导轨CD段中点与质量为0.1kg的重物相连，绳与CD垂直且平行于桌面。如图所示，某时刻MN、CD同时分别进入磁场区域Ⅰ和Ⅱ并做匀速直线运动，MN、CD与磁场边界平行。MN的速度v1＝2m/s，CD的速度为v2且v2＞v1，MN和导轨间的动摩擦因数为0.2。重力加速度大小取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．B2的方向向上 B．B2的方向向下
C．v2＝5m/s D．v2＝3m/s
（多选）27．（2023 甲卷）一有机玻璃管竖直放在水平地面上，管上有漆包线绕成的线圈，线圈的两端与电流传感器相连，线圈在玻璃管上部的5匝均匀分布，下部的3匝也均匀分布，下部相邻两匝间的距离大于上部相邻两匝间的距离。如图（a）所示。现让一个很小的强磁体在玻璃管内沿轴线从上端口由静止下落，电流传感器测得线圈中电流I随时间t的变化如图（b）所示。则（ ）
A．小磁体在玻璃管内下降速度越来越快
B．下落过程中，小磁体的N极、S极上下颠倒了8次
C．下落过程中，小磁体受到的电磁阻力始终保持不变
D．与上部相比，小磁体通过线圈下部的过程中，磁通量变化率的最大值更大
三．解答题（共16小题）
28．（2024 浙江）某小组探究“法拉第圆盘发电机与电动机的功用”，设计了如图所示装置。飞轮由三根长a＝0.8m的辐条和金属圆环组成，可绕过其中心的水平固定轴转动，不可伸长细绳绕在圆环上，系着质量m＝1kg的物块，细绳与圆环无相对滑动。飞轮处在方向垂直环面的匀强磁场中，左侧电路通过电刷与转轴和圆环边缘良好接触，开关S可分别与图示中的电路连接。已知电源电动势E0＝12V、内阻r＝0.1Ω、限流电阻R1＝0.3Ω、飞轮每根辐条电阻R＝0.9Ω，电路中还有可调电阻R2（待求）和电感L，不计其他电阻和阻力损耗，不计飞轮转轴大小。
（1）开关S掷1，“电动机”提升物块匀速上升时，理想电压表示数U＝8V。
①判断磁场方向，并求流过电阻R1的电流I；
②求物块匀速上升的速度v。
（2）开关S掷2，物块从静止开始下落，经过一段时间后，物块匀速下降的速度与“电动机”匀速提升物块的速度大小相等：
①求可调电阻R2的阻值；
②求磁感应强度B的大小。
29．（2024 北京）如图甲所示为某种“电磁枪”的原理图，在竖直向下的匀强磁场中，两根相距L的平行长直金属导轨水平放置，左端接电容为C的电容器，一导体棒放置在导轨上，与导轨垂直且接触良好，不计导轨电阻及导体棒与导轨间的摩擦。已知磁场的磁感应强度大小为B，导体棒的质量为m、接入电路的电阻为R，开关闭合前电容器的电荷量为Q。
（1）求闭合开关瞬间通过导体棒的电流I；
（2）求闭合开关瞬间导体棒的加速度大小a；
（3）在图乙中定性画出闭合开关后导体棒的速度v随时间t的变化图线。
30．（2024 安徽）如图所示，一“U”型金属导轨固定在竖直平面内，一电阻不计，质量为m的金属棒ab垂直于导轨，并静置于绝缘固定支架上。边长为L的正方形cdef区域内，存在垂直于纸面向外的匀强磁场。支架上方的导轨间，存在竖直向下的匀强磁场。两磁场的磁感应强度大小B随时间的变化关系均为B＝kt（SI），k为常数（k＞0）。支架上方的导轨足够长，两边导轨单位长度的电阻均为r，下方导轨的总电阻为R。t＝0时，对ab施加竖直向上的拉力，恰使其向上做加速度大小为a的匀加速直线运动，整个运动过程中ab与两边导轨接触良好。已知ab与导轨间动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。不计空气阻力，两磁场互不影响。
（1）求通过面积Scdef的磁通量大小随时间t变化的关系式，以及感应电动势的大小，并写出ab中电流的方向；
（2）求ab所受安培力的大小随时间t变化的关系式；
（3）求经过多长时间，对ab所施加的拉力达到最大值，并求此最大值。
31．（2024 广西）某兴趣小组为研究非摩擦形式的阻力设计了如图甲的模型。模型由大齿轮、小齿轮、链条、阻力装置K及绝缘圆盘等组成。K由固定在绝缘圆盘上两个完全相同的环状扇形线圈M1、M2组成，小齿轮与绝缘圆盘固定于同一转轴上，转轴轴线位于磁场边界处，方向与磁场方向平行，匀强磁场磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，与K所在平面垂直。大、小齿轮半径比为n，通过链条连接。K的结构参数见图乙。其中r1＝r，r2＝4r，每个线圈的圆心角为π﹣β，圆心在转轴轴线上，电阻为R。不计摩擦，忽略磁场边界处的磁场，若大齿轮以ω的角速度保持匀速转动，以线圈M1的ab边某次进入磁场时为计时起点，求K转动一周：
（1）不同时间线圈M1受到的安培力大小；
（2）流过线圈M1的电流有效值；
（3）装置K消耗的平均电功率。
32．（2024 甲卷）两根平行长直光滑金属导轨距离为l，固定在同一水平面（纸面）内，导轨左端接有电容为C的电容器和阻值为R的电阻。开关S与电容器并联；导轨上有一长度略大于l的金属棒，如图所示。导轨所处区域有方向垂直于纸面、磁感应强度大小为B的匀强磁场。开关S闭合，金属棒在恒定的外力作用下由静止开始加速，最后将做速率为v0的匀速直线运动。金属棒始终与两导轨垂直且接触良好，导轨电阻和金属棒电阻忽略不计。
（1）在加速过程中，当外力做功的功率等于电阻R热功率的2倍时，金属棒的速度大小是多少？
（2）如果金属棒达到（1）中的速度时断开开关S，改变外力使金属棒保持此速度做匀速运动。之后某时刻，外力做功的功率等于电阻R热功率的2倍，求此时电容器两极间的电压及从断开S开始到此刻外力做的功。
33．（2024 江西）如图所示，绝缘水平面上固定一光滑平行金属导轨，导轨左右两端分别与两粗糙的倾斜平行金属导轨平滑连接，两侧导轨倾角分别为θ1、θ2，导轨间距均为l＝2m，水平导轨所在区域存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小B＝0.5T。现有两均匀金属细棒甲和乙，质量分别为m1＝6kg和m2＝2kg，接入导轨的电阻均为R＝1Ω。左、右两侧倾斜导轨与两棒的动摩擦因数分别为μ1、μ2。初始时刻，乙静止在水平导轨上，与水平导轨左端P1P2的距离为d，甲从左侧倾斜导轨高度h＝4m的位置静止滑下。水平导轨足够长，两棒运动过程中始终与导轨接触良好且保持垂直。若两棒发生碰撞，则为完全非弹性碰撞。不计空气阻力和导轨的电阻。（g取10m/s2，sinθ1＝0.6，sinθ2＝0.8）
（1）求甲刚进入磁场时乙的加速度大小和方向；
（2）为使乙第一次到达水平导轨右端Q1Q2之前甲和乙不相碰，求d的最小值；
（3）若乙前两次在右侧倾斜导轨上相对于水平导轨的竖直高度y随时间t的变化如图（b）所示（t1、t2、t3、t4、b均为未知量），乙第二次进入右侧倾斜导轨之前与甲发生碰撞，甲在0～t3时间内未进入右侧倾斜导轨，求d的取值范围。
34．（2024 河北）如图，边长为2L的正方形金属细框固定放置在绝缘水平面上，细框中心O处固定一竖直细导体轴OO'。间距为L、与水平面成θ角的平行导轨通过导线分别与细框及导体轴相连。导轨和细框分别处在与各自所在平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小均为B。足够长的细导体棒OA在水平面内绕O点以角速度ω匀速转动，水平放置在导轨上的导体棒CD始终静止。OA棒在转动过程中，CD棒在所受安培力达到最大和最小时均恰好能静止。已知CD棒在导轨间的电阻值为R，电路中其余部分的电阻均不计，CD棒始终与导轨垂直，各部分始终接触良好，不计空气阻力，重力加速度大小为g。
（1）求CD棒所受安培力的最大值和最小值。
（2）锁定OA棒，推动CD棒下滑，撤去推力瞬间，CD棒的加速度大小为a，所受安培力大小等于（1）问中安培力的最大值，求CD棒与导轨间的动摩擦因数。
35．（2024 湖北）如图所示，两足够长平行金属直导轨MN、PQ的间距为L，固定在同一水平面内，直导轨在左端M、P点分别与两条竖直固定、半径为L的圆弧导轨相切。MP连线与直导轨垂直，其左侧无磁场，右侧存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。长为L、质量为m、电阻为R的金属棒ab跨放在两圆弧导轨的最高点。质量为2m、电阻为6R的均匀金属丝制成一个半径为L的圆环，水平放置在两直导轨上，其圆心到两直导轨的距离相等。忽略导轨的电阻、所有摩擦以及金属环的可能形变，金属棒、金属环均与导轨始终接触良好，重力加速度大小为g。现将金属棒ab由静止释放，求：
（1）ab刚越过MP时产生的感应电动势大小。
（2）金属环刚开始运动时的加速度大小。
（3）为使ab在整个运动过程中不与金属环接触，金属环圆心初始位置到MP的最小距离。
36．（2024 浙江）如图1所示，扫描隧道显微镜减振装置由绝缘减振平台和磁阻尼减振器组成。平台通过三根关于O′O″轴对称分布的相同轻杆悬挂在轻质弹簧的下端O，弹簧上端固定悬挂在O′点，三个相同的关于O′O″轴对称放置的减振器位于平台下方。如图2所示，每个减振器由通过绝缘轻杆固定在平台下表面的线圈和固定在桌面上能产生辐向磁场的铁磁体组成，辐向磁场分布关于线圈中心竖直轴对称，线圈所在处磁感应强度大小均为B。处于静止状态的平台受到外界微小扰动，线圈在磁场中做竖直方向的阻尼运动，其位移随时间变化的图像如图3所示。已知t＝0时速度为v0，方向向下，t1、t2时刻的振幅分别为A1、A2。平台和三个线圈的总质量为m，弹簧的劲度系数为k，每个线圈半径为r、电阻为R。当弹簧形变量为Δx时，其弹性势能为。不计空气阻力，求：
（1）平台静止时弹簧的伸长量Δx0；
（2）t＝0时，每个线圈所受到安培力F的大小；
（3）在0～t1时间内，每个线圈产生的焦耳热Q；
（4）在t1～t2时间内，弹簧弹力冲量I弹的大小。
37．（2023 天津）如图所示，一不可伸长的轻绳上端固定，下端系在单匝匀质正方形金属框上边中点O处，框处于静止状态。一个三角形区域的顶点与O点重合，框的下边完全处在该区域中，三角形区域内加有随时间变化的匀强磁场，磁感应强度大小B与时间t的关系为B＝kt（k为大于零的常数），磁场与框平面垂直，框的面积为框内磁场区域面积的2倍，金属框质量为m、电阻为R、边长为l，重力加速度为g。求：
（1）金属框中的感应电动势大小E；
（2）金属框开始向上运动的时刻t0。
38．（2023 广东）光滑绝缘的水平面上有垂直平面的匀强磁场，磁场被分成区域Ⅰ和Ⅱ，宽度均为h，其俯视图如图（a）所示，两磁场磁感应强度随时间t的变化如图（b）所示，0～τ时间内，两区域磁场恒定，方向相反，磁感应强度大小分别为2B0和B0，一电阻为R，边长为h的刚性正方形金属框abcd，平放在水平面上，ab、cd边与磁场边界平行。t＝0时，线框ab边刚好跨过区域Ⅰ的左边界以速度v向右运动。在τ时刻，ab边运动到距区域Ⅰ的左边界处，线框的速度近似为零，此时线框被固定，如图（a）中的虚线框所示。随后在τ～2τ时间内，Ⅰ区磁感应强度线性减小到0，Ⅱ区磁场保持不变；2τ～3τ时间内，Ⅱ区磁感应强度也线性减小到0。求：
（1）t＝0 时线框所受的安培力F；
（2）t＝1.2τ时穿过线框的磁通量Φ；
（3）2τ～3τ时间内，线框中产生的热量Q。
39．（2023 北京）2022年，我国阶段性建成并成功运行了“电磁撬”，创造了大质量电磁推进技术的世界最高速度纪录。
一种两级导轨式电磁推进的原理如图所示。两平行长直金属导轨固定在水平面，导轨间垂直安放金属棒。金属棒可沿导轨无摩擦滑行，且始终与导轨接触良好。电流从一导轨流入，经过金属棒，再从另一导轨流回，图中电源未画出。导轨电流在两导轨间产生的磁场可视为匀强磁场，磁感应强度B与电流i的关系式为B＝ki（k为常量）。金属棒被该磁场力推动。
当金属棒由第一级区域进入第二级区域时，回路中的电流由I变为2I。已知两导轨内侧间距为L，每一级区域中金属棒被推进的距离均为s，金属棒的质量为m。求：
（1）金属棒经过第一级区域时受到安培力的大小F；
（2）金属棒经过第一、二级区域的加速度大小之比a1：a2；
（3）金属棒从静止开始经过两级区域推进后的速度大小v。
40．（2023 浙江）某兴趣小组设计了一种火箭落停装置，简化原理如图所示，它由两根竖直导轨、承载火箭装置（简化为与火箭绝缘的导电杆MN）和装置A组成，并形成闭合回路。装置A能自动调节其输出电压确保回路电流I恒定，方向如图所示，导轨长度远大于导轨间距，不论导电杆运动到什么位置，电流I在导电杆以上空间产生的磁场近似为零；在导电杆所在处产生的磁场近似为匀强磁场，大小B1＝kI （其中k为常量），方向垂直导轨平面向里；在导电杆以下的两导轨间产生的磁场近似为匀强磁场，大小B2＝2kI，方向与B1相同。火箭无动力下降到导轨顶端时与导电杆粘接，以速度v0进入导轨，到达绝缘停靠平台时速度恰好为零，完成火箭落停。已知火箭与导电杆的总质量为M，导轨间距d，导电杆电阻为R。导电杆与导轨保持良好接触滑行，不计空气阻力和摩擦力，不计导轨电阻和装置A的内阻。在火箭落停过程中，
（1）求导电杆所受安培力的大小F和运动的距离L；
（2）求回路感应电动势E与运动时间t的关系；
（3）求装置A输出电压U与运动时间t的关系和输出的能量W；
（4）若R的阻值视为0，装置A用于回收能量，给出装置A可回收能量的来源和大小。
41．（2023 新课标）一边长为L、质量为m的正方形金属细框，每边电阻为R0，置于光滑的绝缘水平桌面（纸面）上。宽度为2L的区域内存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两虚线为磁场边界，如图（a）所示。
（1）使金属框以一定的初速度向右运动，进入磁场。运动过程中金属框的左、右边框始终与磁场边界平行，金属框完全穿过磁场区域后，速度大小降为它初速度的一半，求金属框的初速度大小。
（2）在桌面上固定两条光滑长直金属导轨，导轨与磁场边界垂直，左端连接电阻R1＝2R0，导轨电阻可忽略，金属框置于导轨上，如图（b）所示。让金属框以与（1）中相同的初速度运动，进入磁场。运动过程中金属框的上、下边框处处与导轨始终接触良好。求在金属框整个运动过程中，电阻R1产生的热量。
42．（2023 上海）如图（a），线框cdef位于倾斜角θ＝30°的斜面上，斜面上有一长度为D的矩形磁场区域，磁场方向垂直于斜面向上，大小为0.5T，已知线框边长cd＝D＝0.4m，m＝0.1kg，总电阻R＝0.25Ω，现对线框施加一沿斜面向上的力F使之运动，ed边离开磁场后撤去F。斜面上动摩擦因数μ，线框速度随时间变化如图（b）所示。（重力加速度g取9.8m/s2）；
（1）求外力F大小；
（2）求cf长度L；
（3）求回路产生的焦耳热Q。
43．（2023 浙江）如图1所示，刚性导体线框由长为L、质量均为m的两根竖杆，与长为2l的两轻质横杆组成，且L 2l。线框通有恒定电流I0，可以绕其中心竖直轴转动。以线框中心O为原点、转轴为z轴建立直角坐标系，在y轴上距离O为a处，固定放置半径远小于a，面积为S、电阻为R的小圆环，其平面垂直于y轴。在外力作用下，通电线框绕转轴以角速度ω匀速转动，当线框平面与xOz平面重合时为计时零点，圆环处的磁感应强度的y分量By与时间的近似关系如图2所示，图中B0已知。
（1）求0到时间内，流过圆环横截面的电荷量q；
（2）沿y轴正方向看以逆时针为电流正方向，在时间内，求圆环中的电流与时间的关系；
（3）求圆环中电流的有效值；
（4）当撤去外力，线框将缓慢减速，经时间角速度减小量为，设线框与圆环的能量转换效率为k，求Δω的值（当0＜x 1，有（1﹣x）2≈1﹣2x）。
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专题11 电磁感应——2023和2024年高考真题汇编
一．选择题（共18小题）
1．（2024 北京）如图所示，线圈M和线圈P绕在同一个铁芯上，下列说法正确的是（ ）
A．闭合开关瞬间，线圈M和线圈P相互吸引
B．闭合开关，达到稳定后，电流表的示数为0
C．断开开关瞬间，流过电流表的电流方向由a到b
D．断开开关瞬间，线圈P中感应电流的磁场方向向左
【解答】解：A.闭合开关瞬间，线圈M在右端产生的磁场方向向右，由楞次定律可知，线圈P中感应电流的磁场方向向左与线圈M中电流的磁场方向相反，故二者相互排斥，故A错误；
B.闭合开关，达到稳定后，通过线圈P的磁通量保持不变，感应电流为零，电流表的示数为零，故B正确；
CD.断开开关瞬间，通过线圈P的磁场方向向右，磁通量减小，由楞次定律可知感应电流的磁场方向向右，因此流过电流表的感应电流方向由b到a，故CD错误。
故选：B。
2．（2024 甘肃）如图，相距为d的固定平行光滑金属导轨与阻值为R的电阻相连，处在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中。长度为L的导体棒ab（不计电阻）沿导轨向右做匀速直线运动，速度大小为v，则导体棒ab所受的安培力为（ ）
A．，方向向左 B．，方向向右
C．，方向向左 D．，方向向右
【解答】解：根据法拉第电磁感应定律可得导体棒ab产生的电动势为：E＝Bdv
根据闭合电路欧姆定律可得回路中的电流为：I
根据安培力的计算公式可得导体棒ab所受的安培力大小为：F＝BId
联立解得：F
由右手定则判断可知回路中的电流方向为逆时针，由左手定则判断可知导体棒ab所受的安培力的方向为向左，故A正确，BCD错误。
故选：A。
3．（2024 甘肃）工业上常利用感应电炉冶炼合金，装置如图所示。当线圈中通有交变电流时，下列说法正确的是（ ）
A．金属中产生恒定感应电流
B．金属中产生交变感应电流
C．若线圈匝数增加，则金属中感应电流减小
D．若线圈匝数增加，则金属中感应电流不变
【解答】解：AB.工业上利用感应电炉冶炼合金，当线圈中通有交变电流时，穿过金属中的磁通量的大小和方向发生周期性变化，因此金属中产生的感应电流的大小和发生也发生周期性变化，因此金属中产生交变感应电流，故A错误，B正确；
CD.涡流的大小主要由磁场变化的快慢、导体的横截面积、导体材料的电阻率决定；根据法拉第电磁感应定律可知，增加线圈的匝数，金属中感应电流增大，故CD错误。
故选：B。
4．（2024 广东）电磁俘能器可在汽车发动机振动时利用电磁感应发电实现能量回收，结构如图甲所示。两对永磁铁可随发动机一起上下振动，每对永磁铁间有水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。磁场中，边长为L的正方形线圈竖直固定在减震装置上。某时刻磁场分布与线圈位置如图乙所示，永磁铁振动时磁场分界线不会离开线圈。关于图乙中的线圈，下列说法正确的是（ ）
A．穿过线圈的磁通量为BL2
B．永磁铁相对线圈上升越高，线圈中感应电动势越大
C．永磁铁相对线圈上升越快，线圈中感应电动势越小
D．永磁铁相对线圈下降时，线圈中感应电流的方向为顺时针方向
【解答】解：A、根据图乙可知此时穿过线圈的磁通量为零，故A错误；
BC、根据法拉第电磁感应定律可知，永磁铁相对线圈上升越快，则磁通量的变化率越大，线圈中感应电动势越大，与线圈的上升高度无关，故BC错误；
D、永磁铁相对线圈下降时，线圈中垂直于纸面向外的磁通量增大，根据楞次定律可知，线圈中感应电流的方向为顺时针方向，故D正确；
故选：D。
5．（2024 山东）如图甲所示，在﹣d≤x≤d、﹣d≤y≤d的区域中存在垂直Oxy平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场（用阴影表示磁场的区域），边长为2d的正方形线圈与磁场边界重合。线圈以y轴为转轴匀速转动时，线圈中产生的交变电动势如图乙所示。若仅磁场的区域发生了变化，线圈中产生的电动势变为图丙所示实线部分，则变化后磁场的区域可能为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：图乙中，线圈中产生的交变电流的电动势瞬时值的表达式
当时，线圈转动的时间为t1
因此有
解得
即线圈从中性面开始转过时，线圈中才产生感应电动势；
线圈中磁场覆盖的区域如图所示（俯视图）：
根据数学知识结合对称性，磁场区域为
综上分析，故ABD错误，C正确。
故选：C。
6．（2024 湖南）如图，有一硬质导线Oabc，其中是半径为R的半圆弧，b为圆弧的中点，直线段Oa长为R且垂直于直径ac。该导线在纸面内绕O点逆时针转动，导线始终在垂直纸面向里的匀强磁场中。则O、a、b、c各点电势关系为（ ）
A．φO＞φa＞φb＞φc B．φO＜φa＜φb＜φc
C．φO＞φa＞φb＝φc D．φO＜φa＜φb＝φc
【解答】解：a、b、c点绕O点逆时针转动时，相当于长为Oa、Ob、Oc的导体棒转动切割磁感线，由右手定则可知，O点电势最高。设导线转动角速度大小为ω，由转动切割磁感线产生感应电动势公式有E。又lc＝lb，la＝R，由于lc＝lb＞la，则UOc＝UOb＞UOa，则 φO﹣φc＝φO﹣φb＞φO﹣φa，所以φO＞φa＞φb＝φc，故ABD错误，C正确。
故选：C。
7．（2024 湖北）《梦溪笔谈》中记录了一次罕见的雷击事件：房屋被雷击后，屋内的银饰、宝刀等金属熔化了，但是漆器、刀鞘等非金属却完好（原文为：有一木格，其中杂贮诸器，其漆器银扣者，银悉熔流在地，漆器曾不焦灼。有一宝刀，极坚钢，就刀室中熔为汁，而室亦俨然）。导致金属熔化而非金属完好的原因可能为（ ）
A．摩擦 B．声波 C．涡流 D．光照
【解答】解：在雷击事件中金属和非金属都经历了摩擦，声波和光照的影响，而金属能够因电磁感应产生涡流非金属不能，因此可能原因为涡流，故C正确，ABD错误。
故选：C。
8．（2024 江苏）如图所示，在绝缘的水平面上，有闭合的两个线圈a、b，线圈a处在匀强磁场中，现将线圈a从磁场中匀速拉出，线圈a、b中产生的感应电流方向分别是（ ）
A．顺时针，顺时针 B．顺时针，逆时针
C．逆时针，顺时针 D．逆时针，逆时针
【解答】解：线圈a从磁场中匀速拉出的过程，a线圈的磁通量减小，根据楞次定律，可知线圈a中的感应电流方向为顺时针。
根据安培定则，可知线圈a中的电流在线圈b所处位置产生磁场方向为垂直纸面向外，因线圈a逐渐靠近线圈b，故线圈b所处的磁场的磁感应强度增大，即线圈b的磁通量增大，根据楞次定律，可知线圈b中的感应电流方向为顺时针。故A正确，BCD错误。
故选：A。
9．（2024 福建）莫比乌斯环AB、CD为铜线，A接D，B接C形成莫比乌斯环，等同半径为R的圆筒，r内存在B＝kt的磁场，问环的感应电动势为（ ）
A．0 B．kπR2 C．2kπr2 D．2kπR3
【解答】解：根据法拉第电磁感应定律，铜线AB和CD产生的感应电动势均为：Ekπr2，由题意可知铜线AB和CD相当于两个电源串联，则环的感应电动势为2E＝2kπr2，故C正确，ABD错误。
故选：C。
10．（2024 浙江）若通以电流I的圆形线圈在线圈内产生的磁场近似为方向垂直线圈平面的匀强磁场，其大小B＝kI（k的数量级为10﹣4T/A）。现有横截面半径为1mm的导线构成半径为1cm的圆形线圈处于超导状态，其电阻率上限为10﹣26Ω m。开始时线圈通有100A的电流，则线圈的感应电动势大小的数量级和一年后电流减小量的数量级分别为（ ）
A．10﹣23V 10﹣7A B．10﹣20V 10﹣7A
C．10﹣23V 10﹣5A D．10﹣20V 10﹣5A
【解答】解：线圈中电流I（t）的减小将在线圈内产生自感电动势，故
其中L为线圈的自感系数
可得：L
在计算通过线圈的磁通量Φ时，以导线附近即r1处的B为最大，又可认为是无限长载流导线所产生的，
根据题意B＝kI，则：
根据电阻定律有：
联立解得：
ε＝2×10﹣20V，A。
则线圈的感应电动势大小的数量级为10﹣20V，一年后电流减小量的数量级为10﹣5A。
故选：D。
11．（2023 重庆）某小组设计了一种呼吸监测方案：在人身上缠绕弹性金属线圈，观察人呼吸时处于匀强磁场中的线圈面积变化产生的电压，了解人的呼吸状况。如图所示，线圈P的匝数为N，磁场的磁感应强度大小为B，方向与线圈轴线的夹角为θ。若某次吸气时，在t时间内每匝线圈面积增加了S，则线圈P在该时间内的平均感应电动势为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据法拉第电磁感应定律可知平均感应电动势E，故A正确，BCD错误；
故选：A。
12．（2023 北京）如图所示，光滑水平面上的正方形导线框，以某一初速度进入竖直向下的匀强磁场并最终完全穿出，线框的边长小于磁场宽度。下列说法正确的是（ ）
A．线框进磁场的过程中电流方向为顺时针方向
B．线框出磁场的过程中做匀减速直线运动
C．线框在进和出的两过程中产生的焦耳热相等
D．线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等
【解答】解：A、线框进磁场的过程中磁通量向里增加，根据楞次定律可知电流方向为逆时针方向，故A错误；
B、线框出磁场的过程中，根据牛顿第二定律可得：BIL＝ma，其中I，解得加速度大小为：a，由于速度减小，则加速度减小，线框做加速度减小的减速直线运动，故B错误；
C、根据功能关系可知，产生的热等于克服安培力做的功，由于进入磁场过程中平均安培力大、而进出磁场过程中通过的位移相同，则线框进入磁场过程中产生的热比出磁场过程中多，故C错误；
D、根据电荷量的计算公式可得：qt，由于进出磁场过程中，穿过线框的磁通量变化量相同，则通过导线横截面的电荷量相等，故D正确。
故选：D。
13．（2023 浙江）如图所示，质量为M、电阻为R、长为L的导体棒，通过两根长均为l、质量不计的导电细杆连在等高的两固定点上，固定点间距也为L。细杆通过开关S可与直流电源E0或理想二极管串接。在导体棒所在空间存在磁感应强度方向竖直向上、大小为B的匀强磁场，不计空气阻力和其它电阻。开关S接1，当导体棒静止时，细杆与竖直方向的夹角；然后开关S接2，棒从右侧开始运动完成一次振动的过程中（ ）
A．电源电动势E0
B．棒消耗的焦耳热Mgl
C．从左向右运动时，最大摆角小于
D．棒两次过最低点时感应电动势大小相等
【解答】解：A、以棒为研究对象，画出前视的受力图，如图所示：
根据平衡条件可得：F安＝Mgtanθ，其中：F安＝BIL
解得：I
电源电动势E0＝IR，故A错误；
B、假设棒从右侧开始运动完成一次振动的过程中，达到最低点时速度为零，则棒的重力势能减少：ΔEp＝Mgl（1﹣cosθ），解得：ΔEpMgl，根据能量守恒定律可知棒消耗的焦耳热Mgl；由于棒达到最低点时的速度不为零，则完成一次振动过程中，棒消耗的焦耳热小于Mgl，故B错误；
C、棒从右侧开始运动达到最左侧过程中，回路中有感应电流，导体棒上会产生焦耳热，所以达到左侧最高点时，棒的最大摆角小于；从左向右运动时，根据右手定则可知，电流反向通过二极管，由于二极管具有单向导电性，所以回路中没有电流，则棒从左向右运动时，最大摆角小于，故C正确；
D、棒第一次经过最低点向左摆动过程中，回路中有感应电流，棒的机械能有损失，所以第二次经过最低点时的速度小于第一次经过最低点的速度，根据E＝BLv可知，第二次经过最低点时感应电动势大小小于第一次经过最低点的感应电动势大小，故D错误。
故选：C。
14．（2023 辽宁）如图，空间中存在水平向右的匀强磁场，一导体棒绕固定的竖直轴OP在磁场中匀速转动，且始终平行于OP。导体棒两端的电势差u随时间t变化的图像可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：设导体棒长为L，匀速转动的角速度为ω，线速度大小为v，t时刻导体棒相对竖直轴OP转动的角度为θ，如图1所示：
在t时刻导体棒的线速度沿垂直磁场方向的分速度大小v1＝vcosθ，其中：θ＝ωt
由法拉第电磁感应定律可得：u＝BLv1＝BLvcosωt
可知导体棒两端的电势差u随时间t按余弦规律变化，故C正确，ABD错误。
故选：C。
15．（2023 重庆）如图所示，与水平面夹角为θ的绝缘斜面上固定有光滑U形金属导轨。质量为m、电阻不可忽略的导体杆MN沿导轨向下运动，以大小为v的速度进入方向垂直于导轨平面向下的匀强磁场区域，在磁场中运动一段时间t后，速度大小变为2v。运动过程中杆与导轨垂直并接触良好，导轨的电阻忽略不计，重力加速度为g。杆在磁场中运动的此段时间内（ ）
A．流过杆的感应电流方向从N到M
B．杆沿轨道下滑的距离为vt
C．流过杆感应电流的平均电功率等于重力的平均功率
D．杆所受安培力的冲量大小为mgtsinθ﹣mv
【解答】解：A、根据右手定则可知，流过杆的感应电流方向从M到N，故A错误；
B、因为杆在运动过程中的加速度逐渐减小，所以，则杆沿轨道下滑的距离不等于vt，故B错误；
C、因为过程中只有安培力和重力做功，而最终导体杆的速度增加，说明合外力做正功，也就是说运动过程中导体杆克服安培力做的功小于重力做的功，同时因为时间相等，所以流过杆感应电流的平均电功率小于重力的平均功率，故C错误；
D、选择沿斜面向下的方向为正方向，根据动量定理可得：
mgtsinθ﹣I安＝2mv﹣mv
解得：I安＝mgtsinθ﹣mv，故D正确；
故选：D。
16．（2023 海南）汽车测速利用了电磁感应现象，汽车可简化为一个矩形线圈abcd，埋在地下的线圈分别为1、2，通上顺时针（俯视）方向电流，当汽车经过线圈时（ ）
A．线圈1、2产生的磁场方向竖直向上
B．汽车进入线圈1过程产生感应电流方向为abcd
C．汽车离开线圈1过程产生感应电流方向为abcd
D．汽车进入线圈2过程受到的安培力方向与速度方向相同
【解答】解：A、根据安培定则可知，线圈1、2中的电流形成的磁场方向都是竖直向下的，故A错误；
BC、汽车进入磁场时，线圈abcd磁通量向下增大，根据楞次定律可知，感应电流方向是adcba，离开时磁通量向下减小，根据楞次定律可知感应电流方向是abcda，故B错误、C正确；
D、根据楞次定律的推广可知，安培力的方向总是与汽车相对于磁场的运动方向相反，在汽车离开线圈1进入线圈2时，汽车受到的安培力方向与速度方向相反，故D错误。
故选：C。
17．（2023 乙卷）一学生小组在探究电磁感应现象时，进行了如下比较实验。用图（a）所示的缠绕方式，将漆包线分别绕在几何尺寸相同的有机玻璃管和金属铝管上，漆包线的两端与电流传感器接通。两管皆竖直放置，将一很小的强磁体分别从管的上端由静止释放，在管内下落至管的下端。实验中电流传感器测得的两管上流过漆包线的电流I随时间t的变化分别如图（b）和图（c）所示，分析可知（ ）
A．图（c）是用玻璃管获得的图像
B．在铝管中下落，小磁体做匀变速运动
C．在玻璃管中下落，小磁体受到的电磁阻力始终保持不变
D．用铝管时测得的电流第一个峰到最后一个峰的时间间隔比用玻璃管时的短
【解答】解：AB、强磁体在铝管中下落时，铝管的磁通量变化，铝管中产生涡流，涡流对强磁体有向上的作用力，由图（b）可知感应电流的峰值保持不变，说明线圈磁通量的变化快慢不变，可得静止释放强磁体后，其在重力作用下先加速，很快达到平衡状态，穿过线圈时做匀速直线运动；
强磁体在玻璃管中下落时，玻璃管是绝缘体，不会产生涡流，强磁体一直做加速运动。由图像得，图（c）中电流的峰值一直在增大，说明强磁体的速度在增大，故图（c）是用玻璃管获得的图像，故B错误，A正确；
C、强磁体在玻璃管下落，由图像（c）得，电流的峰值一直在增大，导线所受安培力增大，强磁体受到的电磁阻力增大，故C错误；
D、强磁体在铝管中运动时产生的电流峰值比在玻璃管中运动时产生的电流峰值小，即在铝管中运动时的速度更小，用铝管时测得的电流第一个峰到最后一个峰的时间间隔比用玻璃管时的长，故D错误。
故选：A。
18．（2023 浙江）如图甲所示，一导体杆用两条等长细导线悬挂于水平轴OO'，接入电阻R构成回路。导体杆处于竖直向上的匀强磁场中，将导体杆从竖直位置拉开小角度由静止释放，导体杆开始下摆。当R＝R0时，导体杆振动图像如图乙所示。若横纵坐标皆采用图乙标度，则当R＝2R0时，导体杆振动图像是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：导体杆切割磁感线时，回路中产生感应电流，由楞次定律可得，导体杆受到的安培力总是阻碍导体棒的运动。
当电阻R从R0变为2R0时，回路中的电阻增大，则电流减小，导体杆所受安培力减小，即导体杆在摆动时所受的阻力减弱，所以杆从开始摆动到停止，运动的路程和经历的时间变长，故B正确，ACD错误。
故选：B。
二．多选题（共9小题）
（多选）19．（2024 全国）使用感应电流大小以测量手掌张合速度的侦测器：在空心软橡胶直筒中间置1000圈半径为2.1cm的导电圆环回路，且在直筒两端各置一磁铁，产生4.0×10﹣2T的均匀磁场垂直通过导电圆环平面。当右手掌心朝上、手指紧握横放的橡胶筒时，磁场方向朝右，以右手压缩橡胶筒，如图所示（含条纹之箭头代表施力方向）。若在1.0s间使导电圆环半径收缩为1.9cm，则下列叙述哪些正确？（ ）
A．导电圆环未被压缩时每圈的初始磁通量为8.0π×10﹣6Tm2
B．导电圆环每圈的面积时变率为8.0π×10﹣5m2/s
C．导电圆环每圈的磁通量变化率为1.6π×10﹣6Tm2/s
D．导电圆环回路的感应电动势量值为3.2π×10﹣3V
E．导电圆环回路的感应电流方向与手抓握橡胶筒的四指弯曲方向相同
【解答】解：A、导电圆环的初始磁通量8.0π×10﹣6Tm2，故A错误；
B、导电圆环每圈的面积时变率为8.0π×10﹣5m2/s，故B正确；
C、导电圆环每圈的磁通量时变率3.2π×10﹣6Tm2/s，故C错误；
D、导电圆环回路的感应电动势量E＝n，故D正确；
E、当右手压缩橡胶筒时，导电圆环的磁通量减小，根据楞次定律可知：感应电流的磁场方向与原磁场方向相同，由安培定则可知，感应电流的方向与手抓握橡胶筒的四指弯曲方向相同，故E正确。
故选：BDE。
（多选）20．（2024 海南）两根足够长的导轨由上下段电阻不计，光滑的金属导轨组成，在M、N两点绝缘连接，M、N等高，间距L＝1m，连接处平滑。导轨平面与水平面夹角为30°，导轨两端分别连接一个阻值R＝0.02Ω的电阻和C＝1F的电容器，整个装置处于B＝0.2T的垂直导轨平面斜向上的匀强磁场中，两根导体棒ab、cd分别放在MN两侧，质量分为m1＝0.8kg，m2＝0.4kg，ab棒电阻为0.08Ω，cd棒的电阻不计，将ab由静止释放，同时cd从距离MN为x0＝4.32m处在一个大小F＝4.64N，方向沿导轨平面向上的力作用下由静止开始运动，两棒恰好在M、N处发生弹性碰撞，碰撞前瞬间撤去F，已知碰前瞬间ab的速度为4.5m/s，g＝10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．ab从释放到第一次碰撞前所用时间为1.44s
B．ab从释放到第一次碰撞前，R上消耗的焦耳热为0.78J
C．两棒第一次碰撞后瞬间，ab的速度大小为6.3m/s
D．两棒第一次碰撞后瞬间，cd的速度大小为8.4m/s
【解答】解：A、由于金属棒ab、cd同时由静止释放，且恰好在M、N处发生弹性碰撞，则说明ab、cd在到达M、N处所用的时间是相同的。
对金属棒cd，取沿导轨向上为正方向，在很短时间Δt内，根据动量定理可得：FΔt﹣m2gΔtsinθ﹣BLΔt＝m2Δv，其中：θ＝30°
对金属棒cd和电容器组成的回路有：Δt＝Δq＝CΔU＝CBLΔv
所以有：FΔt﹣m2gΔtsinθ＝（m2+CB2L2）Δv
对cd根据加速度定义式，有：a
解得cd棒的加速度为：a
代入数据解：a＝6m/s2
则说明金属棒cd做匀加速直线运动，则有：x0，解得：t＝1.2s
所以ab从释放到第一次碰撞前所用时间为1.2s，故A错误；
B、由题知，知碰前瞬间ab的速度为v1＝4.5m/s，设此过程中金属棒下滑的距离为x，取沿导轨向下为正方向，根据动量定理有：
m1gtsinθ﹣BLt＝m1v1﹣0
即m1gtsinθm1v1﹣0
解得：x＝3m
对ab根据动能定理可得：m1gxsinθ﹣W安0
根据功能关系可得：Q＝W安
根据焦耳定律可得：QR
联立解得：QR＝0.78J，故B正确；
CD、由于两棒恰好在M、N处发生弹性碰撞，取沿斜面向下为正，根据动量守恒定律可得：
m1v1﹣m2v2＝m1v1'+m2v2'，其中：v2＝at＝6×1.2m/s＝7.2m/s
根据机械能守恒定律可得：m1m2m1v1'2m2v2'2
联立解得：v1'＝﹣3.3m/s，v2'＝8.4m/s，故C错误、D正确。
故选：BD。
（多选）21．（2024 甲卷）如图，一绝缘细绳跨过两个在同一竖直面（纸面）内的光滑定滑轮，绳的一端连接一矩形金属线框，另一端连接一物块。线框与左侧滑轮之间的虚线区域内有方向垂直纸面的匀强磁场，磁场上下边界水平，在t＝0时刻线框的上边框以不同的初速度从磁场下方进入磁场。运动过程中，线框始终在纸面内且上下边框保持水平。以向上为速度的正方向，下列线框的速度v随时间t变化的图像中可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：设线框的上边进入磁场时的速度为v，线框的总电阻为R；
线框上边框切割磁感线产生感应电动势，感应电动势E＝BLv
感应电流
线框上边框所受安培力
设线框的质量M，物块的质量m，图中线框的上边框进入磁场时线框的加速度向下；
根据牛顿第二定律，对线框Mg+Fa﹣T＝Ma
对滑块T﹣mg＝ma
联立解得
线框向上做减速运动，随速度的减小，向下的加速度减小；
当加速度为零时，线框匀速运动的速度为
A．若线框上边框进入磁场时的速度较小，则线框进入磁场时做加速度减小的减速运动，线框下边框还未完全进入磁场时，线框的速度和加速度都趋近于零；由于v﹣t图像的斜率表示加速度的大小，图线将接近于t轴，故A正确；
B．因从t＝0时刻线框的上边框就进入磁场，根据可知，线框上边框进入磁场时，线框向上不可能做匀减速运动，故B错误；
CD．若线框的质量等于物块的质量，且当线框上边框进入磁场时，速度大于v0，线圈进入磁场做加速度减小的减速运动；
线框完全进入磁场后，穿过线框的磁通量不发生变化，线框中不产生感应电动势，线框不受安培力作用，线框做匀速运动；
当线框上边框开始离开磁场时，线框的下边框切做割磁感线运动，产生感应电动势，线框下边框受向下的安培力，线框又做加速度减小的减速运动，线框完全离开磁场时做匀速直线运动，故C正确，D错误。
故选：AC。
（多选）22．（2024 湖南）某电磁缓冲装置如图所示，两足够长的平行金属导轨置于同一水平面内，导轨左端与一阻值为R的定值电阻相连，导轨BC段与B1C1段粗糙，其余部分光滑，AA1右侧处于竖直向下的匀强磁场中，一质量为m的金属杆垂直导轨放置。现让金属杆以初速度v0沿导轨向右经过AA1进入磁场，最终恰好停在CC1处。已知金属杆接入导轨之间的阻值为R，与粗糙导轨间的摩擦因数为μ，AB＝BC＝d。导轨电阻不计，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．金属杆经过BB1的速度为
B．在整个过程中，定值电阻R产生的热量为
C．金属杆经过AA1B1B与BB1C1C区域，金属杆所受安培力的冲量相同
D．若将金属杆的初速度加倍，则金属杆在磁场中运动的距离大于原来的2倍
【解答】解：A．设金属杆在AA1B1B区域运动时间为t，AA1的间距为L，规定向右的方向为正方向，对金属杆在AA1B1B区域运动的过程中根据动量定理有
﹣BL t＝mvBB1﹣mv0
金属杆在AA1B1B区域向右运动的过程中切割磁感线，根据导体棒切割磁感线产生感应电动势公式和闭合电路的欧姆定律有
E＝BLv，，qt
联立有
，
设金属杆在BB1C1C区域运动的时间为t0，规定向右的方向为正方向，对金属杆在BB1C1C区域运动的过程中根据动量定理有
﹣BL t0﹣μmgt0＝0﹣mvBB1
同理金属杆在BB1C1C区域向右运动的过程中切割磁感线有
联立解得
将求出的两个vBB1相加解得
所以金属杆经过BB1的速度大于，故A错误；
C．金属杆经过AA1B1B与BB1C1C区域，金属杆所受安培力的冲量为
I安＝BL t＝BLq
根据选项A可知金属杆经过AA1B1B与BB1C1C区域流过金属杆的电荷量相同，则金属杆经过AA1B1B与BB1C1C区域，金属杆所受安培力的冲量相同，故C正确；
B．在整个过程中，根据能量守恒有
则在整个过程中，定值电阻R产生的热量为
故B错误；
D．设整个过程中金属杆运动的时间为t总，金属杆通过BB1C1C区域的时间为t1，规定向右的方向为正方向，根据动量定理有
﹣BL t总﹣μmgt1＝0﹣mv0
且q t总
解得q
联立解得
根据选项A分析可知
而t1＜t0
可得：2d
可见若将金属杆的初速度加倍，则金属杆在磁场中运动的距离大于原来的2倍，故D正确。
故选：CD。
（多选）23．（2024 山东）如图所示，两条相同的半圆弧形光滑金属导轨固定在水平桌面上，其所在平面竖直且平行，导轨最高点到水平桌面的距离等于半径，最低点的连线OO'与导轨所在竖直面垂直。空间充满竖直向下的匀强磁场（图中未画出），导轨左端由导线连接。现将具有一定质量和电阻的金属棒MN平行OO'放置在导轨图示位置，由静止释放。MN运动过程中始终平行于OO'且与两导轨接触良好，不考虑自感影响，下列说法正确的是（ ）
A．MN最终一定静止于OO'位置
B．MN运动过程中安培力始终做负功
C．从释放到第一次到达OO'位置过程中，MN的速率一直在增大
D．从释放到第一次到达OO'位置过程中，MN中电流方向由M到N
【解答】解：AB.由楞次定律结合左手定则可知，安培力与MN的运动方向的夹角始终大于90°，则安培力始终做负功，电路中有电阻，运动过程中会产生感应电动势和感应电流，产生焦耳热，金属棒的机械能最终转化为内能，最终会停止在最低点，故AB正确；
D.根据楞次定律可知，从释放到第一次到达OO'位置过程中，MN中电流方向由M到N，故D正确；
C.从释放到第一次到达OO'位置过程中，在即将到达OO'位置的时刻，MN所受安培力水平向左，沿速度方向的分力一定大于MN所受重力沿速度方向的分力，处于减速状态，说明MN在OO′位置速率不是最大，故C错误。
故选：ABD。
（多选）24．（2024 选择性）如图，两条“∧”形的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，间距为L，左、右两导轨面与水平面夹角均为30°，均处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小分别为2B和B。将有一定阻值的导体棒ab、cd放置在导轨上，同时由静止释放，两棒在下滑过程中始终与导轨垂直并接触良好。ab、cd的质量分别为2m和m，长度均为L。导轨足够长且电阻不计，重力加速度大小为g。两棒在下滑过程中（ ）
A．回路中的电流方向为abcda
B．ab中电流趋于
C．ab与cd加速度大小之比始终为2：1
D．两棒产生的电动势始终相等
【解答】解：A、两棒沿各自所在的导轨下滑过程中，根据右手定则判断，可得回路中的电流方向为abcda，故A正确；
CD、两棒同时由静止开始沿各自所在的导轨加速下滑，对两棒的受力分析如下图所示：
在两棒加速过程的某一时刻，根据牛顿第二定律得：
对ab棒有：2mgsin30°﹣2BILcos30°＝2maab
对cd棒有：mgsin30°﹣BILcos30°＝macd
可得：aab＝acd，即在两棒加速过程的任意时刻它们的加速度大小始终相等，因两棒的初速度均为零，故任意时刻它们的速度大小始终相等。两棒的速度方向与磁场方向的夹角均为120°，可得同一时刻ab棒产生的电动势为Eab＝2BLvsin120°，cd棒产生的电动势为Ecd＝BLvsin120°，可知两棒产生的电动势不相等，故CD错误；
B、在两棒加速过程中，回路的感应电动势为E＝Eab+Ecd＝2BLvsin120°+BLvsin120°，随着速度增大，回路的电动势与感应电流均增大，两棒各自受到安培力增大，两棒做加速度减小的加速运动，因两棒的加速度大小始终相等，故当两棒的加速度同时减小到零之后均做匀速直线运动，达到稳定状态。
当两棒均做匀速直线运动时，对cd棒由平衡条件得：mgsin30°＝BImLcos30°，解得感应电流的最大值为：Im，故在两棒在下滑过程中ab中电流趋于，故B正确。
故选：AB。
（多选）25．（2023 河北）如图1，绝缘水平面上四根完全相同的光滑金属杆围成矩形，彼此接触良好，匀强磁场方向竖直向下。金属杆2、3固定不动，1、4同时沿图1箭头方向移动，移动过程中金属杆所围成的矩形周长保持不变。当金属杆移动到图2位置时，金属杆所围面积与初始时相同。在此过程中（ ）
A．金属杆所围回路中电流方向保持不变
B．通过金属杆截面的电荷量随时间均匀增加
C．金属杆1所受安培力方向与运动方向先相同后相反
D．金属杆4所受安培力方向与运动方向先相反后相同
【解答】解：A．由数学知识可知，金属杆所围回路的面积先增大后减小，根据Φ＝BS可知，金属杆所围回路内磁通量先增大后减小，根据楞次定律可知电流方向先沿逆时针方向，后沿顺时针方向，故A错误；
B．由于金属杆所围回路的面积随时间非均匀变化，故感应电动势大小不恒定，根据欧姆定律可知感应电流的大小不恒定，根据q＝It知通过金属杆截面的电荷量随时间不是均匀增加的，故B错误；
CD．由上述分析，再根据左手定则，可知金属杆1所受安培力方向与运动方向先相同后相反，金属杆4所受安培力方向与运动方向先相反后相同，故CD正确。
故选：CD。
（多选）26．（2023 山东）足够长U形导轨平置在光滑水平绝缘桌面上，宽为1m，电阻不计。质量为1kg、长为1m、电阻为1Ω的导体棒MN放置在导轨上，与导轨形成矩形回路并始终接触良好，Ⅰ和Ⅱ区域内分别存在竖直方向的匀强磁场，磁感应强度分别为B1和B2，其中B1＝2T，方向向下。用不可伸长的轻绳跨过固定轻滑轮将导轨CD段中点与质量为0.1kg的重物相连，绳与CD垂直且平行于桌面。如图所示，某时刻MN、CD同时分别进入磁场区域Ⅰ和Ⅱ并做匀速直线运动，MN、CD与磁场边界平行。MN的速度v1＝2m/s，CD的速度为v2且v2＞v1，MN和导轨间的动摩擦因数为0.2。重力加速度大小取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．B2的方向向上 B．B2的方向向下
C．v2＝5m/s D．v2＝3m/s
【解答】解：AB．导轨的速度v2＞v1
对导体棒受力分析可知导体棒受到向右的摩擦力以及向左的安培力，摩擦力大小为
f＝μmg＝0.2×1×10N＝2N
MN、CD同时分别进入磁场区域Ⅰ和Ⅱ并做匀速直线运动，故导体棒MN的安培力大小为
F1＝f＝2N＝B1IL
由左手定则可知导体棒的电流方向为N→M→D→C→N，导体框受到向左的摩擦力，向右的拉力和安培力，安培力大小为
F2＝f﹣m0g＝2N﹣0.1×10＝1N
方向向右
由左手定则可知B2的方向为向下，故A错误，B正确；
CD．对导体棒分析
F1＝B1IL
对导体框分析
F2＝B2IL
电路中的电流为
I
其中L＝1m，F1＝B1IL＝2I×1N＝2N
解得I＝1A
代入F2＝B2IL＝1N中可得
B2＝1T
且r＝1Ω
代入数据联立解得
v2＝3m/s
故C错误，D正确；
故选：BD。
（多选）27．（2023 甲卷）一有机玻璃管竖直放在水平地面上，管上有漆包线绕成的线圈，线圈的两端与电流传感器相连，线圈在玻璃管上部的5匝均匀分布，下部的3匝也均匀分布，下部相邻两匝间的距离大于上部相邻两匝间的距离。如图（a）所示。现让一个很小的强磁体在玻璃管内沿轴线从上端口由静止下落，电流传感器测得线圈中电流I随时间t的变化如图（b）所示。则（ ）
A．小磁体在玻璃管内下降速度越来越快
B．下落过程中，小磁体的N极、S极上下颠倒了8次
C．下落过程中，小磁体受到的电磁阻力始终保持不变
D．与上部相比，小磁体通过线圈下部的过程中，磁通量变化率的最大值更大
【解答】解：A、从图（b）可知，线圈中电流的最大值随着时间的增加而越来越大，由闭合电路欧姆定律I（E为单匝线圈产生的瞬时电动势、R为电路总电阻）可知，线圈中感应电动势的最大值Emax越来越大，根据法拉第电磁感应定律E可知，S不变，则越来越大，可知小磁体在玻璃管内下降速度越来越快，故A正确；
B、从图（b）可知，电流的方向反复改变了8次，这是由于小磁体下落通过每一匝线圈过程中，对单匝线圈来说，其磁通量都是先增加后减小，由楞次定律可知，每一个单匝线圈中感应电动势、感应电流的方向也会由正方向变到负方向，而不是小磁体的N、S极上下颠倒，故B错误；
C、从图（b）可知，小磁体下落过程中，线圈中的电流，大小在变，方向会变，最大值也在变，所以线圈受到的安培力会一直在变、且最大值逐渐增大，由牛顿第三定律可知，线圈给小磁体的作用力也一直在变、且最大值逐渐增大，即小磁体受到的电磁阻力一直在变，故C错误；
D、从图（b）可知，小磁体通过线圈下部过程中线圈中电流最大值大于小磁体通过线圈上部过程中线圈中电流最大值，由闭合电路欧姆定律I可知，小磁体通过线圈下部过程中线圈中产生的感应电动势最大值要相对更大，根据法拉第电磁感应定律E可知，与上部相比，小磁体通过线圈下部的过程中，磁通量变化率的最大值更大，故D正确。
故选：AD。
三．解答题（共16小题）
28．（2024 浙江）某小组探究“法拉第圆盘发电机与电动机的功用”，设计了如图所示装置。飞轮由三根长a＝0.8m的辐条和金属圆环组成，可绕过其中心的水平固定轴转动，不可伸长细绳绕在圆环上，系着质量m＝1kg的物块，细绳与圆环无相对滑动。飞轮处在方向垂直环面的匀强磁场中，左侧电路通过电刷与转轴和圆环边缘良好接触，开关S可分别与图示中的电路连接。已知电源电动势E0＝12V、内阻r＝0.1Ω、限流电阻R1＝0.3Ω、飞轮每根辐条电阻R＝0.9Ω，电路中还有可调电阻R2（待求）和电感L，不计其他电阻和阻力损耗，不计飞轮转轴大小。
（1）开关S掷1，“电动机”提升物块匀速上升时，理想电压表示数U＝8V。
①判断磁场方向，并求流过电阻R1的电流I；
②求物块匀速上升的速度v。
（2）开关S掷2，物块从静止开始下落，经过一段时间后，物块匀速下降的速度与“电动机”匀速提升物块的速度大小相等：
①求可调电阻R2的阻值；
②求磁感应强度B的大小。
【解答】解：（1）开关S掷1，相当于电动机；
①物块上升，则金属轮沿逆时针方向转动，辐条受到的安培力指向逆时针方向，辐条中电流方向从圆周指向O点，由左手定则可知，磁场方向垂直纸面向外；
由闭合电路的欧姆定律E0＝U+I（R1+r）
代入数据解得流过电阻R1的电流为10A；
②三根辐条的并联电阻
根据能量守恒定律UI＝I2R并+mgv
代入数据解得v＝5m/s；
另解：辐条切割磁感线产生的电动势与电源电动势相反，设每根辐条产生的电动势为E1，等效电路图如图1所示：
则U＝E1+IR并
代入数据解得E1＝5V
此时金属轮可视为电动机P出＝E1I
当物块P匀速上升时P出＝mgv
解得v＝5m/s
（2）物块匀速下落时，相当于发电机；
①由能量关系可知mgv′＝（I′）2（R2+R并）
代入数据解得R2＝0.2Ω
另解：等效电路图如图2所示：
由受力分析可知，辐条受到的安培力与第（1）问相同，经过R2的电流I′＝I＝10A
由题意可知v′＝v＝5m/s
每根辐条切割磁感线产生的感应电动势E2＝E1＝5V
根据电阻串联、并联电路的特点R总＝R2+R并
代入数据解得R2＝0.2Ω
②根据导体棒切割磁感线产生感应电动势
而E2＝5V
代入数据解得B＝2.5T。
答：（1）①磁场方向垂直纸面向外；流过电阻R1的电流为10A；
②物块匀速上升的速度为5m/s；
（2）①可调电阻R2的阻值为0.2Ω；
②磁感应强度B的大小为2.5T。
29．（2024 北京）如图甲所示为某种“电磁枪”的原理图，在竖直向下的匀强磁场中，两根相距L的平行长直金属导轨水平放置，左端接电容为C的电容器，一导体棒放置在导轨上，与导轨垂直且接触良好，不计导轨电阻及导体棒与导轨间的摩擦。已知磁场的磁感应强度大小为B，导体棒的质量为m、接入电路的电阻为R，开关闭合前电容器的电荷量为Q。
（1）求闭合开关瞬间通过导体棒的电流I；
（2）求闭合开关瞬间导体棒的加速度大小a；
（3）在图乙中定性画出闭合开关后导体棒的速度v随时间t的变化图线。
【解答】解：（1）开关闭合前电容器的电荷量为Q，则电容器两极板间电压
开关闭合瞬间，通过导体棒的电流
解得
（2）开关闭合瞬间由牛顿第二定律有BIL＝ma
将电流I代入上式解得
（3）由（2）中结论可知，随着电容器放电，所带电荷量不断减少，所以导体棒的加速度不断减小，做加速度不断减小的加速运动，对应的v﹣t图线如图所示
答：（1）闭合开关瞬间通过导体棒的电流I为；
（2）闭合开关瞬间导体棒的加速度大小a为；
（3）在图乙中定性画出闭合开关后导体棒的速度v随时间t的变化图线如上图所示。
30．（2024 安徽）如图所示，一“U”型金属导轨固定在竖直平面内，一电阻不计，质量为m的金属棒ab垂直于导轨，并静置于绝缘固定支架上。边长为L的正方形cdef区域内，存在垂直于纸面向外的匀强磁场。支架上方的导轨间，存在竖直向下的匀强磁场。两磁场的磁感应强度大小B随时间的变化关系均为B＝kt（SI），k为常数（k＞0）。支架上方的导轨足够长，两边导轨单位长度的电阻均为r，下方导轨的总电阻为R。t＝0时，对ab施加竖直向上的拉力，恰使其向上做加速度大小为a的匀加速直线运动，整个运动过程中ab与两边导轨接触良好。已知ab与导轨间动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。不计空气阻力，两磁场互不影响。
（1）求通过面积Scdef的磁通量大小随时间t变化的关系式，以及感应电动势的大小，并写出ab中电流的方向；
（2）求ab所受安培力的大小随时间t变化的关系式；
（3）求经过多长时间，对ab所施加的拉力达到最大值，并求此最大值。
【解答】解：（1）根据磁通量的公式，通过面积Scdef的磁通量大小为Φ＝BS＝kt L2＝kL2t，感应电动势的大小EkL2，根据楞次定律，感应电流在图中的方向沿edcf方向，所以通过ab棒的电流方向由a向b；
（2）根据安培力的公式，则F安＝BIL，而B＝kt，I，R总＝2at2r+R＝art2+R，所以F安
（3）对加速向上运动的导体棒，平行于导轨向上的拉力为F，在垂直于导轨的方向上，轨道对棒的支持力大小FN等于安培力大小F安，根据牛顿第二定律有F﹣mg﹣μFN＝ma
代入解得F＝mg+ma，根据F的表达式可知，当art时，即t时，F有最大值，且最大值为F＝mg+ma
答：（1）通过面积Scdef的磁通量大小为Φ＝BS＝kt L2＝kL2t，感应电动势的大小EkL2，通过ab棒的电流方向由a→b；
（2）ab所受安培力的大小随时间t变化的关系式为F安；
（3）经过t时，对ab所施加的拉力达到最大值，此最大值为mg+ma。
31．（2024 广西）某兴趣小组为研究非摩擦形式的阻力设计了如图甲的模型。模型由大齿轮、小齿轮、链条、阻力装置K及绝缘圆盘等组成。K由固定在绝缘圆盘上两个完全相同的环状扇形线圈M1、M2组成，小齿轮与绝缘圆盘固定于同一转轴上，转轴轴线位于磁场边界处，方向与磁场方向平行，匀强磁场磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，与K所在平面垂直。大、小齿轮半径比为n，通过链条连接。K的结构参数见图乙。其中r1＝r，r2＝4r，每个线圈的圆心角为π﹣β，圆心在转轴轴线上，电阻为R。不计摩擦，忽略磁场边界处的磁场，若大齿轮以ω的角速度保持匀速转动，以线圈M1的ab边某次进入磁场时为计时起点，求K转动一周：
（1）不同时间线圈M1受到的安培力大小；
（2）流过线圈M1的电流有效值；
（3）装置K消耗的平均电功率。
【解答】解：（1）由题意知大齿轮以ω的角速度保持匀速转动，大小齿轮线速度相等，则，
可得小齿轮转动的角速度为ω1＝nω
转动周期为T，
以线圈M1的ab边某次进入磁场时为计时起点，到cd边进入磁场，经历的时间为
这段时间内线圈M1产生的电动势为
E1＝B（4r﹣r）B
电流为：I1
受到的安培力大小：F1＝BI1L＝B（4r﹣r）
当ab边和cd边均进入磁场后到ab边离开磁场，经历的时间为
t2
由于M1线圈磁通量不变，无感应电流，安培力大小为0；
当M1线圏ab边离开磁场到cd边离开磁场，经历的时间为
t3＝t1
此时的安培力大小由前面分析可知
F3＝F1
方向与进入时相反；
当M1线圏cd边离开磁场到ab边进入磁场，经历的时间为
t4＝t2
同理可知安培力为0。
（2）根据（1）可知，设流过线圈M1的电流有效值为I，则根据有效值定义有
其中I1＝I3，t1＝t3
联立解得：I
（3）根据题意可知流过线圈M1和M2的电流有效值相同，则在一个周期内装置K消耗的平均电功率为
P＝2I2R
答：（1）不同时间线圈M1受到的安培力大小见解析；
（2）流过线圈M1的电流有效值为；
（3）装置K消耗的平均电功率为。
32．（2024 甲卷）两根平行长直光滑金属导轨距离为l，固定在同一水平面（纸面）内，导轨左端接有电容为C的电容器和阻值为R的电阻。开关S与电容器并联；导轨上有一长度略大于l的金属棒，如图所示。导轨所处区域有方向垂直于纸面、磁感应强度大小为B的匀强磁场。开关S闭合，金属棒在恒定的外力作用下由静止开始加速，最后将做速率为v0的匀速直线运动。金属棒始终与两导轨垂直且接触良好，导轨电阻和金属棒电阻忽略不计。
（1）在加速过程中，当外力做功的功率等于电阻R热功率的2倍时，金属棒的速度大小是多少？
（2）如果金属棒达到（1）中的速度时断开开关S，改变外力使金属棒保持此速度做匀速运动。之后某时刻，外力做功的功率等于电阻R热功率的2倍，求此时电容器两极间的电压及从断开S开始到此刻外力做的功。
【解答】解：（1）开关S闭合时，当施加的恒力F与安培力相等时，金属棒的速度最大，则有：
F＝F安＝BIL
由闭合电路欧姆定律得：
金属棒切割磁感线产生的感应电动势为：E＝BLv0
联立解得恒定的外力为：
金属棒速度为v时，恒力F的功率为：
定值电阻的功率为：
已知：PF＝2PR
解得：
（2）断开开关S，电容器与定值电阻串联，电容器不断充电，设所求的电容器两端的电压为UC，根据闭合电路欧姆定律得：
E＝BLv＝IR+UC
金属棒以速度v匀速运动，水平外力F与安培力F安＝BIL等大反向，水平外力F的功率为：
PF＝Fv＝BILv
定值电阻功的率为：
当PF＝2PR时有：BILv＝2I2R
联立解得此时电容器两端电压为：
应用微元法，从开关断开到此刻外力所做的功为
W＝∑BIL（v Δt）＝BLv∑I Δt＝BLvq
由电容器定义式可得：
联立解得：
答：（1）金属棒速度v的大小为。
（2）电容器两端的电压为，从开关断开到此刻外力所做的功为。
33．（2024 江西）如图所示，绝缘水平面上固定一光滑平行金属导轨，导轨左右两端分别与两粗糙的倾斜平行金属导轨平滑连接，两侧导轨倾角分别为θ1、θ2，导轨间距均为l＝2m，水平导轨所在区域存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小B＝0.5T。现有两均匀金属细棒甲和乙，质量分别为m1＝6kg和m2＝2kg，接入导轨的电阻均为R＝1Ω。左、右两侧倾斜导轨与两棒的动摩擦因数分别为μ1、μ2。初始时刻，乙静止在水平导轨上，与水平导轨左端P1P2的距离为d，甲从左侧倾斜导轨高度h＝4m的位置静止滑下。水平导轨足够长，两棒运动过程中始终与导轨接触良好且保持垂直。若两棒发生碰撞，则为完全非弹性碰撞。不计空气阻力和导轨的电阻。（g取10m/s2，sinθ1＝0.6，sinθ2＝0.8）
（1）求甲刚进入磁场时乙的加速度大小和方向；
（2）为使乙第一次到达水平导轨右端Q1Q2之前甲和乙不相碰，求d的最小值；
（3）若乙前两次在右侧倾斜导轨上相对于水平导轨的竖直高度y随时间t的变化如图（b）所示（t1、t2、t3、t4、b均为未知量），乙第二次进入右侧倾斜导轨之前与甲发生碰撞，甲在0～t3时间内未进入右侧倾斜导轨，求d的取值范围。
【解答】解：以下解答对金属细棒甲和乙在水平导轨上运动时均以水平向右为正方向。
（1）对甲从静止到运动至P1P2处的过程，根据动能定理得：
甲刚进入磁场时，由法拉第电磁感应定律得：E0＝Blv0
根据闭合电路欧姆定律得：
对乙由牛顿第二定律得：BI0l＝m2a乙0
联立解得：
根据楞次定律可知，回路中的感应电流为逆时针方向（俯视），由左手定则可知，乙所受安培力方向水平向右，则其加速度方向水平向右。
（2）甲和乙在磁场中的运动过程，两者组成的系统不受外力作用，则此系统动量守恒，若两者共速时恰不相碰，则d的值最小（设为dm）。根据动量守恒定律得：
m1v0＝（m1+m2）v共，解得：v共＝6m/s
对乙根据动量定理得：
又有：
dm＝Δx
联立解得：dm＝24m
（3）根据（2）的解答可知，从甲刚进入磁场至甲、乙第一次在水平导轨运动稳定的过程，两者相对位移为Δx＝24m，且稳定时的速度均为v共＝6m/s。
乙第一次在右侧倾斜导轨上向上运动的过程中，根据牛顿第二定律得：
m2gsinθ2+μ2m2gcosθ2＝m2a上
根据运动学公式有：
乙第一次在右侧倾斜导轨上向下运动的过程中，同理可得：m2gsinθ2﹣μ2m2gcosθ2＝m2a下
根据运动学公式有：
又有：x上＝x下
联立解得乙第一次从右侧倾斜导轨上滑下经Q1Q2时的速度大小为：v1＝5m/s
设甲、乙碰撞后的速度大小为v。甲、乙结合体第一次在右侧倾斜导轨上向上运动的过程中，根据牛顿第二 定律得：
（m1+m2）gsinθ2+μ2（m1+m2）gcosθ2＝（m1+m2）a上′
根据运动学公式有：
由题图（b）可知：x上＝4.84x'上
解得：
设乙第一次从右侧倾斜导轨上滑下经Q1Q2时，甲的速度大小为v2，对乙第一次返回水平导轨后与甲碰撞后的过程，根据动量守恒定律得：
m1v2﹣m2v1＝（m1+m2）v
解得：
若乙第一次返回水平导轨时在Q1Q2处恰与甲发生碰撞，则对应d取最小值，设为dm1，乙第一次在右侧倾斜导轨上运动的过程，对甲根据动量定理得：
又有：
解得：
根据位移关系有：dm1﹣Δx＝Δx1
解得：
若乙第一次返回水平导轨后，当两者共速时恰好碰撞，则对应d取最大值，设为dm2，对乙从返回水平导轨到与甲恰好共速的过程，根据动量定理得：
又有：
解得：
根据位移关系有：dm2﹣Δx﹣Δx1＝Δx2
解得：
综上所述，d的取值范围为：
答：（1）甲刚进入磁场时乙的加速度大小为2m/s2和方向为水平向右；
（2）d的最小值为24m；
（3）d的取值范围为。
34．（2024 河北）如图，边长为2L的正方形金属细框固定放置在绝缘水平面上，细框中心O处固定一竖直细导体轴OO'。间距为L、与水平面成θ角的平行导轨通过导线分别与细框及导体轴相连。导轨和细框分别处在与各自所在平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小均为B。足够长的细导体棒OA在水平面内绕O点以角速度ω匀速转动，水平放置在导轨上的导体棒CD始终静止。OA棒在转动过程中，CD棒在所受安培力达到最大和最小时均恰好能静止。已知CD棒在导轨间的电阻值为R，电路中其余部分的电阻均不计，CD棒始终与导轨垂直，各部分始终接触良好，不计空气阻力，重力加速度大小为g。
（1）求CD棒所受安培力的最大值和最小值。
（2）锁定OA棒，推动CD棒下滑，撤去推力瞬间，CD棒的加速度大小为a，所受安培力大小等于（1）问中安培力的最大值，求CD棒与导轨间的动摩擦因数。
【解答】解：（1）OA棒切割磁感线产生感应电动势，当OA垂直正方形金属细框时，产生的感应电动势最小；
OA棒产生最小感应电动势
根据闭合电路的欧姆定律，电路中的最小电流
CD棒所受安培力的最小值Fmin＝BIminL
代入数据联立解得
当OA转动至正方形金属细框的对角线位置时，产生的感应电动势最大；
根据数学知识，OA棒的有效长度
OA棒产生最大感应电动势
电路中的最大电流
CD棒所受安培力的最大值Fm＝BImL
（2）CD棒在所受安培力达到最大时，CD棒有向上滑动的趋势，最大静摩擦力方向沿导轨向下
根据平衡条件Fm＝mgsinθ+fm
CD棒在所受安培力达到最小时，CD棒有向下滑动的趋势，最大静摩擦力方向沿导轨向上
根据平衡条件Fmin+fm＝mgsinθ
联立解得
锁定OA棒，推动CD棒下滑，撤去推力瞬间，CD棒的加速度大小为a，方向沿导轨向上
根据牛顿第二定律Fm+μmgcosθ﹣mgsinθ＝ma
联立解得。
答：（1）CD棒所受安培力的最大值为；最小值为；
（2）CD棒与导轨间的动摩擦因数为。
35．（2024 湖北）如图所示，两足够长平行金属直导轨MN、PQ的间距为L，固定在同一水平面内，直导轨在左端M、P点分别与两条竖直固定、半径为L的圆弧导轨相切。MP连线与直导轨垂直，其左侧无磁场，右侧存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。长为L、质量为m、电阻为R的金属棒ab跨放在两圆弧导轨的最高点。质量为2m、电阻为6R的均匀金属丝制成一个半径为L的圆环，水平放置在两直导轨上，其圆心到两直导轨的距离相等。忽略导轨的电阻、所有摩擦以及金属环的可能形变，金属棒、金属环均与导轨始终接触良好，重力加速度大小为g。现将金属棒ab由静止释放，求：
（1）ab刚越过MP时产生的感应电动势大小。
（2）金属环刚开始运动时的加速度大小。
（3）为使ab在整个运动过程中不与金属环接触，金属环圆心初始位置到MP的最小距离。
【解答】解：（1）设ab棒刚好进入磁场时的速度为v
根据动能定理
导体棒刚好进入磁场时产生的感应电动势E＝BLv
联立解得感应电动势
（2）导体棒刚好进入磁场时，电路图如图所示：
由于AO＝OC＝AC＝L，根据数学知识∠AOC＝60°
因此AC段导线对应的电阻
ab棒产生感应电动势与跨接导轨的两段圆弧构成回路，此时两段圆弧是并联关系；
根据并联电路的特点，并联电阻
根据闭合电路的欧姆定律
两段圆弧的有效长度均为L，圆环受到的安培力合力Fa＝BIL
根据牛顿第二定律定律Fa＝2ma
联立解得加速度
（3）由于ab棒与圆环构成的系统，受到合外力为零，以向右为正方向；
根据动量守恒定律mv＝（m+2m）v共
代入数据得
设经Δt时间金属棒和圆环达到共同速度，金属棒中的平均电流为，以向右为正方向
对金属棒，根据动量定理有
平均感应电动势
平均电流
金属棒与金属环的相对位移大小为Δx，则有：
联立解得
设金属环圆心初始位置到MP的最小距离为x，使ab在整个运动过程中金属棒不与金属环接触，应满足：
x＝Δx+L
解得：x
答：（1）ab刚越过MP时产生的感应电动势大小为。
（2）金属环刚开始运动时的加速度大小为。
（3）为使ab在整个运动过程中不与金属环接触，金属环圆心初始位置到MP的最小距离为。
36．（2024 浙江）如图1所示，扫描隧道显微镜减振装置由绝缘减振平台和磁阻尼减振器组成。平台通过三根关于O′O″轴对称分布的相同轻杆悬挂在轻质弹簧的下端O，弹簧上端固定悬挂在O′点，三个相同的关于O′O″轴对称放置的减振器位于平台下方。如图2所示，每个减振器由通过绝缘轻杆固定在平台下表面的线圈和固定在桌面上能产生辐向磁场的铁磁体组成，辐向磁场分布关于线圈中心竖直轴对称，线圈所在处磁感应强度大小均为B。处于静止状态的平台受到外界微小扰动，线圈在磁场中做竖直方向的阻尼运动，其位移随时间变化的图像如图3所示。已知t＝0时速度为v0，方向向下，t1、t2时刻的振幅分别为A1、A2。平台和三个线圈的总质量为m，弹簧的劲度系数为k，每个线圈半径为r、电阻为R。当弹簧形变量为Δx时，其弹性势能为。不计空气阻力，求：
（1）平台静止时弹簧的伸长量Δx0；
（2）t＝0时，每个线圈所受到安培力F的大小；
（3）在0～t1时间内，每个线圈产生的焦耳热Q；
（4）在t1～t2时间内，弹簧弹力冲量I弹的大小。
【解答】解：（1）平台静止时，穿过三个线圈的磁通量不变，线圈中不产生感应电流，线圈不受到安培力作用，O点受力平衡，因此由胡克定律可知此时弹簧的伸长量：
（2）在t＝0时速度为v0，设每个线圈的周长为L，由电磁感应定律可得线圈中产生的感应电流：
每个线圈所受到安培力F的大小：
（3）平台在0～t1时间内由能量守恒定律可得：
联立解得：
在0～t1时间内，振动时能量的减少转化为线圈的焦耳热，可知每个线圈产生的焦耳热：
（4）取向上为正方向，全程由动量定理可得：I弹+IA﹣IG＝0
其中，重力的冲量：IG＝mg（t2﹣t1）
安培力的冲量：IA＝3×2πrB Δq，而电荷量为：
联立解得弹簧弹力冲量I弹的大小为：
答：（1）平台静止时弹簧的伸长量Δx0为；
（2）t＝0时，每个线圈所受到安培力F的大小为；
（3）在0～t1时间内，每个线圈产生的焦耳热Q为；
（4）在t1～t2时间内，弹簧弹力冲量I弹的大小为[]。
37．（2023 天津）如图所示，一不可伸长的轻绳上端固定，下端系在单匝匀质正方形金属框上边中点O处，框处于静止状态。一个三角形区域的顶点与O点重合，框的下边完全处在该区域中，三角形区域内加有随时间变化的匀强磁场，磁感应强度大小B与时间t的关系为B＝kt（k为大于零的常数），磁场与框平面垂直，框的面积为框内磁场区域面积的2倍，金属框质量为m、电阻为R、边长为l，重力加速度为g。求：
（1）金属框中的感应电动势大小E；
（2）金属框开始向上运动的时刻t0。
【解答】解：（1）设Δt时间内，穿过金属框磁通量的变化量为ΔΦ
根据题意
根据法拉第电磁感应电律
联立解得感应电动势
（2）设金属中的电流为I，根据闭合电路的欧姆定律
t0时刻，金属框所受的安培力F＝BIl＝Ilkt0
金属框开始运动时，安培力与重力平衡，根据平衡条件F＝mg
联立解得。
答：（1）金属框中的感应电动势大小为；
（2）金属框开始向上运动的时刻。
38．（2023 广东）光滑绝缘的水平面上有垂直平面的匀强磁场，磁场被分成区域Ⅰ和Ⅱ，宽度均为h，其俯视图如图（a）所示，两磁场磁感应强度随时间t的变化如图（b）所示，0～τ时间内，两区域磁场恒定，方向相反，磁感应强度大小分别为2B0和B0，一电阻为R，边长为h的刚性正方形金属框abcd，平放在水平面上，ab、cd边与磁场边界平行。t＝0时，线框ab边刚好跨过区域Ⅰ的左边界以速度v向右运动。在τ时刻，ab边运动到距区域Ⅰ的左边界处，线框的速度近似为零，此时线框被固定，如图（a）中的虚线框所示。随后在τ～2τ时间内，Ⅰ区磁感应强度线性减小到0，Ⅱ区磁场保持不变；2τ～3τ时间内，Ⅱ区磁感应强度也线性减小到0。求：
（1）t＝0 时线框所受的安培力F；
（2）t＝1.2τ时穿过线框的磁通量Φ；
（3）2τ～3τ时间内，线框中产生的热量Q。
【解答】解：（1）ab边、cd边切割磁感线，根据右手定则可知产生的感应电流都是沿线框顺时针方向，则根据切割情况下电动势的表达式得：电动势E＝2B0hv+B0hv＝3B0hv
根据闭合电路欧姆定律得：电流I，根据安培力表达式求解t＝0 时ab边的安培力F1＝2B0Ih，cd边的安培力F2＝B0Ih，根据左手定则判断这两个安培力方向都向左，根据对称判断bc、ad边安培力合力为0，ab、cd边所受安培力合成之后得出线框所受的安培力：
F＝F1+F2＝2B0Ih+B0Ih＝3B0Ih；
（2）根据图像得出t＝1.2τ时，Ⅰ区的磁感应强度B＝2B01.6B0，方向向下；Ⅱ区的磁感应强度为B0，方向向上，穿过线框的磁通量Φ＝1.6B0B00.3B0h2；
（3）2τ～3τ时间内，根据法拉第电磁感应定律得E1
根据闭合电路欧姆定律得：电流I1
根据焦耳定律得：线框中产生的热量Q。
答：（1）线框所受的安培力为；
（2）t＝1.2τ时穿过线框的磁通量为0.3B0h2；
（3）2τ～3τ时间内，线框中产生的热量Q为。
39．（2023 北京）2022年，我国阶段性建成并成功运行了“电磁撬”，创造了大质量电磁推进技术的世界最高速度纪录。
一种两级导轨式电磁推进的原理如图所示。两平行长直金属导轨固定在水平面，导轨间垂直安放金属棒。金属棒可沿导轨无摩擦滑行，且始终与导轨接触良好。电流从一导轨流入，经过金属棒，再从另一导轨流回，图中电源未画出。导轨电流在两导轨间产生的磁场可视为匀强磁场，磁感应强度B与电流i的关系式为B＝ki（k为常量）。金属棒被该磁场力推动。
当金属棒由第一级区域进入第二级区域时，回路中的电流由I变为2I。已知两导轨内侧间距为L，每一级区域中金属棒被推进的距离均为s，金属棒的质量为m。求：
（1）金属棒经过第一级区域时受到安培力的大小F；
（2）金属棒经过第一、二级区域的加速度大小之比a1：a2；
（3）金属棒从静止开始经过两级区域推进后的速度大小v。
【解答】解：（1）第一级区域的磁感应强度大小B1＝kI
金属棒在第一级区域受到的安培力大小：F1＝ILB1＝IL×kI＝kI2L
（2）第二级区域磁感应强度大小B2＝2kI
金属棒在第二级区域受到的安培力大小F1＝2ILB2＝2IL×2kI＝4kI2L
对金属棒，由牛顿第二定律得：F1＝ma1，F2＝ma2
解得：a1：a2＝1：4
（3）对金属棒，金属棒从静止开始经过两级区域过程，由动能定理得：F1s+F2s0
解得：v＝I
答：（1）金属棒经过第一级区域时受到安培力的大小是kI2L；
（2）金属棒经过第一、二级区域的加速度大小之比a1：a2是1：4；
（3）金属棒从静止开始经过两级区域推进后的速度大小是I。
40．（2023 浙江）某兴趣小组设计了一种火箭落停装置，简化原理如图所示，它由两根竖直导轨、承载火箭装置（简化为与火箭绝缘的导电杆MN）和装置A组成，并形成闭合回路。装置A能自动调节其输出电压确保回路电流I恒定，方向如图所示，导轨长度远大于导轨间距，不论导电杆运动到什么位置，电流I在导电杆以上空间产生的磁场近似为零；在导电杆所在处产生的磁场近似为匀强磁场，大小B1＝kI （其中k为常量），方向垂直导轨平面向里；在导电杆以下的两导轨间产生的磁场近似为匀强磁场，大小B2＝2kI，方向与B1相同。火箭无动力下降到导轨顶端时与导电杆粘接，以速度v0进入导轨，到达绝缘停靠平台时速度恰好为零，完成火箭落停。已知火箭与导电杆的总质量为M，导轨间距d，导电杆电阻为R。导电杆与导轨保持良好接触滑行，不计空气阻力和摩擦力，不计导轨电阻和装置A的内阻。在火箭落停过程中，
（1）求导电杆所受安培力的大小F和运动的距离L；
（2）求回路感应电动势E与运动时间t的关系；
（3）求装置A输出电压U与运动时间t的关系和输出的能量W；
（4）若R的阻值视为0，装置A用于回收能量，给出装置A可回收能量的来源和大小。
【解答】解：（1）导电杆所受安培力的大小为：F＝B1Id＝kI I 3Mg
在火箭落停过程中，导电杆做匀减速直线运动，设其加速度大小为a，对火箭与导电杆整体，由牛顿第二定律得：
F﹣Mg＝Ma
解得：a＝2g
由速度—位移关系公式可得：
2aL
解得：L
（2）由速度—时间关系公式可得运动时间为t时，导电杆的速度为：
v＝v0﹣at＝v0﹣2gt
回路中感应电动势为：
E＝B2dv＝2kI （v0﹣2gt）（v0﹣2gt）
（3）导电杆两端的电压恒为U0＝IR
根据楞次定律或右手定则可知感应电流方向为顺时针方向，与装置A提供的电流方向相同，为确保回路电流I恒定，需满足：
U+E＝U0
解得装置A输出电压U与运动时间t的关系为：
U＝IR（v0﹣2gt）
火箭落停过程经历的时间为t1
装置A输出的功率为：P＝UI＝I2R﹣6Mg（v0﹣2gt）
可见装置A输出的功率P与时间成线性关系，则可用功率的平均值计算输出的能量W，初始（t＝0）时功率P0＝I2R﹣6Mgv0，末状态（t＝t1）的功率为P1＝I2R，则有：
W（P0+P1）t1
（4）当R＝0时，由U＝IR（v0﹣2gt）（v0﹣2gt）
可知装置A回收能量的功率为P′＝|U|I＝6Mg（v0﹣2gt）
可见装置A回收能量的功率与时间成线性关系，同理用此功率的平均值计算回收的总能量W总，初始（t＝0）时功率P0′＝6Mgv0，末状态（t＝t1）的功率为P1′＝0，则有：
W总（P0′+P1′）t1
设在火箭落停过程中，火箭与导电杆整体减少的机械能为ΔE机，减少的磁场能为ΔE磁，则有：
ΔE机MgL
根据能量守恒定律得：
ΔE磁＝W总﹣ΔE机
故装置A可回收能量的来源和大小为火箭与导电杆整体减少的机械能，大小为；减少的磁场能，大小为。
答：（1）导电杆所受安培力的大小F为3Mg，运动的距离L为；
（2）回路感应电动势E与运动时间t的关系为E（v0﹣2gt）；
（3）装置A输出电压U与运动时间t的关系为U＝IR（v0﹣2gt），输出的能量W为；
（4）装置A可回收能量的来源和大小为火箭与导电杆整体减少的机械能，大小为；减少的磁场能，大小为。
41．（2023 新课标）一边长为L、质量为m的正方形金属细框，每边电阻为R0，置于光滑的绝缘水平桌面（纸面）上。宽度为2L的区域内存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两虚线为磁场边界，如图（a）所示。
（1）使金属框以一定的初速度向右运动，进入磁场。运动过程中金属框的左、右边框始终与磁场边界平行，金属框完全穿过磁场区域后，速度大小降为它初速度的一半，求金属框的初速度大小。
（2）在桌面上固定两条光滑长直金属导轨，导轨与磁场边界垂直，左端连接电阻R1＝2R0，导轨电阻可忽略，金属框置于导轨上，如图（b）所示。让金属框以与（1）中相同的初速度运动，进入磁场。运动过程中金属框的上、下边框处处与导轨始终接触良好。求在金属框整个运动过程中，电阻R1产生的热量。
【解答】解：（1）根据法拉第电磁感应定律可得，金属框进入磁场过程中，设运动的时间为t，感应电动势的平均值为：
其中，
根据电荷量的定义式可知，金属框进入磁场过程中流过金属框的电荷量为：
根据楞次定律可知，金属框进入磁场和离开磁场的过程中电流方向相反，但安培力始终水平向左，设两个过程中的电荷量的绝对值之和为q，则
对整个过程，选择水平向右的方向为正方向，设金属框的初速度为v0，对金属框根据动量定理可得：
联立解得：v0
（2）设金属框进入磁场的末速度为v1，因为导轨电阻忽略不计，此时金属框上下部分被短路，根据电路构造可知此时电路中的总电阻为：
R总
金属框进入磁场的过程中，以水平向右为正方向，则
解得：
根据能量守恒定律可得：
根据电阻的比值关系可得此过程中电阻R1产生的热量为：
联立解得：
金属框完全在磁场中过程，金属框的左右两边框同时切割磁感线，可等效为两个电源并联和R1构成回路，此时回路的为：
R总1＝R1
假设金属框的右边能够到达磁场右边界，且速度为v2，以水平向右为正方向，根据动量定理可得：
解得：v2＝0
可知金属框的右边恰好能到达磁场右边界，根据能量守恒定律可得此过程产生的总热量为：
此过程中电阻R1产生的热量为：
联立解得：
整个过程中电阻R1产生的热量为：
Q总＝QR1+QR1′
代入数据解得：Q总
答：（1）金属框的初速度大小为；
（2）金属框整个运动过程中，电阻R1产生的热量为。
42．（2023 上海）如图（a），线框cdef位于倾斜角θ＝30°的斜面上，斜面上有一长度为D的矩形磁场区域，磁场方向垂直于斜面向上，大小为0.5T，已知线框边长cd＝D＝0.4m，m＝0.1kg，总电阻R＝0.25Ω，现对线框施加一沿斜面向上的力F使之运动，ed边离开磁场后撤去F。斜面上动摩擦因数μ，线框速度随时间变化如图（b）所示。（重力加速度g取9.8m/s2）；
（1）求外力F大小；
（2）求cf长度L；
（3）求回路产生的焦耳热Q。
【解答】解：（1）由v﹣t图象可知，在0～0.4s时间内线框做匀加速直线运动，进入磁场时的速度为：v1＝2.0m/s
所以加速度大小为：am/s2＝5m/s2
根据牛顿第二定律有：F﹣mgsinθ﹣μmgcosθ＝ma
代入数据得：F＝1.48N；
（2）由v﹣t图象可知，线框进入磁场区域后一直做匀速直线运动，并以速度v1匀速穿出磁场。
线框产生的感应电动势为：E＝BLv1
线框产生的感应电流为：I
线框受到的安培力为：FA＝BIL
由平衡条件得：F＝FA+mgsinθ+μmgcosθ
联立解得：L＝0.5m
（3）因：mgsinθ＝μmgcosθ，所以线框在减速为零时不会下滑，设线框穿过磁场的时间为t，则：
ts＝0.4s
感应电流为：IA＝2A
根据焦耳定律可得：Q＝I2Rt＝22×0.25×0.4J＝0.4J
答：（1）外力F大小为1.48N；
（2）cf长度为0.5m；
（3）回路产生的焦耳热为0.4J。
43．（2023 浙江）如图1所示，刚性导体线框由长为L、质量均为m的两根竖杆，与长为2l的两轻质横杆组成，且L 2l。线框通有恒定电流I0，可以绕其中心竖直轴转动。以线框中心O为原点、转轴为z轴建立直角坐标系，在y轴上距离O为a处，固定放置半径远小于a，面积为S、电阻为R的小圆环，其平面垂直于y轴。在外力作用下，通电线框绕转轴以角速度ω匀速转动，当线框平面与xOz平面重合时为计时零点，圆环处的磁感应强度的y分量By与时间的近似关系如图2所示，图中B0已知。
（1）求0到时间内，流过圆环横截面的电荷量q；
（2）沿y轴正方向看以逆时针为电流正方向，在时间内，求圆环中的电流与时间的关系；
（3）求圆环中电流的有效值；
（4）当撤去外力，线框将缓慢减速，经时间角速度减小量为，设线框与圆环的能量转换效率为k，求Δω的值（当0＜x 1，有（1﹣x）2≈1﹣2x）。
【解答】解：（1）由电流定义式得：q
由闭合电路欧姆定律得：
由法拉第电磁感应定律得：
0到时间内圆环的磁通量变化量的绝对值为：ΔΦ＝B0S﹣（﹣B0S）＝2B0S
联立解得：q；
（2）在时间内，圆环的磁通量不变，故圆环中的感应电流为零；
在时间内，感应电动势为：E S
沿y轴正方向看，由楞次定律判断感应电流为顺时针方向，故为负值，则此时间内感应电流为：
I；
（3）由图（2）的对称性可知，圆环中电流的有效值可用半个周期时间内的热等效求得，则有
I2RI有2R
解得：I有；
（4）已知经时间角速度减小量为，则此时间内线框的动能减小量为：
ΔEk 2m（ωl）2 2m[（ω﹣Δω）l]2＝mω2l2[1﹣（1）2]＝mω2l2[1﹣（1）2]＝mω2l2 22mωl2Δω
此时间内圆环产生的焦耳热为：Q＝I有2R
已知线框与圆环的能量转换效率为k，则有：Q＝kΔEk
解得：Δω。
答：（1）0到时间内，流过圆环横截面的电荷量q为；
（2）在时间内，圆环中的电流与时间的关系为：时间内电流为零，时间内电流为；
（3）圆环中电流的有效值为；
（4）Δω的值为。
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