2023-2024学年福建省福州市格致中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省福州市格致中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.为抛物线上一点，点到抛物线准线和对称轴的距离分别为和，则( )
A. B. C. 或 D. 或
2.已知：，那么的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
3.已知集合，，集合，，则集合( )
A. B. C. D.
4.在边长为的菱形中，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.若实数，满足，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.的展开式中含项的系数为( )
A. B. C. D.
7.已知，，且，，则( )
A. B. C. D.
8.如图，在棱长为的正方体中，、、、、均为所在棱的中点，动点在正方体表面运动，则下列结论中正确的个数为( )
当点为中点时，平面平面
异面直线、所成角的余弦值为
点、、、、在同一个球面上
若，则点轨迹长度为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9. 某校名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示同一组中的数据用该组区间的中点值作代表分数不低于即为优秀，已知优秀学生有人，则( )
A. B.
C. 分以下的人数约为人 D. 本次考试的平均分约为
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 函数的一个周期为 B. 直线是的一条对称轴
C. 点是的一个对称中心 D. 在区间上单调递减
11.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于、两点，若，则( )
A.
B. 双曲线的离心率
C. 双曲线的渐近线方程为
D. 原点在以为圆心，为半径的圆上
12.已知数列满足，，若数列的前项和为，则( )
A. ，，，是常数列 B. ，，，是常数列
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
13.已知曲线在处的切线与在处的切线平行，则的值为______．
14.已知，且，则______．
15.如图，在中，，，与交于点，，，，则的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
如图，在平面四边形中，已知，，，，，于点将沿折起使得平面，如图，设．
若，求证：平面；
若直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
17.本小题分
已知三棱柱中，，，平面，，为的中点，为上一点．
求证：；
当为的中点时，求二面角的余弦值．
18.本小题分
在中，，，分别是角、、的对边，，，且．
求角的大小；
求的值域．
19.本小题分
如图所示，多面体中，，平面平面，，且，，．
证明：；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
20.本小题分
某网店经营的一种商品进价是每件元，根据一周的销售数据得出周销量件与单价元之间的关系如图折线所示，该网店与这种商品有关的周开支均为元．
Ⅰ根据周销量图写出周销量件与单价元之间的函数关系式；
Ⅱ写出周利润元与单价元之间的函数关系式；当该商品的销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润．
21.本小题分
已知函数，其中．
若，求曲线在点处的切线方程；
已知在区间上存在唯一的极小值点．
(ⅰ)求实数的取值范围；
(ⅱ)记在区间上的极小值为，讨论函数的单调性．
答案解析
1.
【解析】解：由抛物线可得准线的方程为：，
设点，，
点到准线及对称轴的距离分别为和，
，，，
解得，，或，，
即为或．
故选：．
2.
【解析】解：因为：，
所以只有选项是的一个必要不充分条件．
故选：．
3.
【解析】解：集合，，
集合，，
由，解得，其中；
集合．
故选：．
4.
【解析】解：已知在边长为的菱形中，，
则，
则，
又，
则当时，取最小值．
故选：．
5.
【解析】解：设，显然在上单调递增，
，
，
，
故充分性成立，
”，
，
，
故必要性成立，
故“”是“”的充要条件，
故选：．
6.
【解析】解：因为的展开式的通项为，，，，，．
所以的展开式中含项的系数为．
故选：．
7.
【解析】解：由，，可得，，
由，，可得，可得，
则
或，
由于，可得，则，
故选：．
8.
【解析】解：结论，取中点，连接，，在棱长为的正方体中，
E、、、、均为所在棱的中点，
易知，，平面，
又在面内，，
，平面，，
平面，又面，，
连接，是正方形，，
平面，平面，，
平面，平面，，
平面，平面，，
综上，，平面，又，
所以平面，又平面，
故平面平面，故正确；
结论，取中点，连接，，则，
是异面直线，所成的角，
又，则，故错误；
结论，记正方体的中心为点，则，
故点，，，，在以为球心，以为半径的球面上，故正确；
结论，，是的中点，
，故，
点轨迹是过点与平行的线段，且，
，故正确；
综上，正确结论有，共个．
故选：．
9.
【解析】解：对于，，A正确；
对于，因为第六组有人，第五组有人，
所以，B错误；
对于，分以下的人数为人，C错误；
对于，平均成绩，D正确，
故选：．
10.
【解析】解：对于选项A，，所以最小正周期，故选项A正确；
对于选项B，将代入函数解析式得：，
所以是一条对称轴，故选项B正确；
对于选项C，因为可以看作是函数向上平移个单位后的函数，所以对称中心的纵坐标不可能是，故选项C错误；
对于选项D，当时，，刚好是函数的一个周期，不可能是单调的函数，故选项D错误．
故选：．
11.
【解析】解：如图，
设，则，
由双曲线的定义知，，即；，即，
，，故选项A正确；
由余弦定理知，在中，，
在中，，
化简整理得，，
离心率，故选项B正确；
双曲线的渐近线方程为，故选项C正确；
若原点在以为圆心，为半径的圆上，则，与不符，故选项D错误．
故选：．
12.
【解析】解：由，，
得，
则，，，是各项均为的常数列，A正确；
由，得，
又，
所以，
则，，是以为首项，为公差的等差数列，B错误；
数列的前项和为
，
所以，C正确；
在中，
令，得，又，
所以，，
在中，
令，得，
所以，D正确．
故选：．
13.
【解析】解：，
由题意可知，，即，解得．
故答案为：．
14.
【解析】解：，且，
，
又，解得：，解得：，
．
故答案为：．
15.
【解析】解：令，，
则，
，
则，解得，
则
，即，
解得．
故答案为：．
16.解：证明：在平面四边形中，，，，
，，又，，
，，，
，．
在中，易得．
，，．
在四棱锥中，连接，设，连接，
，，又，
，又平面，平面，
平面．
由题意易知，，两两垂直，故建系如图：
则，，，，
，．
设平面的法向量为，
则，即，取，
由，得，
，．
由直线与平面所成角的正弦值为，
得，解得．
【解析】利用线面平行的判定定理即可证明；
利用空间向量的坐标表示，表示出线面夹角的余弦值即可求解．
17.证明：因为，为的中点，
所以因为平面，平面，
所以因为，
所以平面．
因为平面，所以．
解：以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设，则，，，．
所以，．
易知平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，
则即亦即
令，则平面的一个法向量为．
所以．
故二面角的余弦值为．
【解析】证明推出平面即可证明．
以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．求出平面的一个法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可．
18.解：由得，
由正弦定理得，，
，
，
，．
，
由得，
．
答：角的大小；函数的值域为
【解析】用向量的共线的充要条件及三角形中的正弦定理求得角．
用三角函数的二倍角公式化简函数，再利用正弦函数的图象求出范围．
19.证明：且，
四边形为平行四边形，
，
又，，
，
平面平面，且平面平面，平面，
平面，
又平面，
．
解：连接，
在中，由余弦定理知，，
，即，
，且，
平面，
，平面，
由知平面，
平面，，
故FD，，两两垂直，
，，，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
取，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】先证四边形为平行四边形，可得，结合，，可得，再利用面面垂直的性质定理，推出平面，从而得证；
先证，，两两垂直，再以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求直线与平面所成角即可．
20.解：Ⅰ当时，，代入点，，
得，，；
同理时，，
周销量件与单价元之间的函数关系式；
Ⅱ
当时，，时，；
时，，函数单调递减，，
综上所述，时，．
【解析】Ⅰ根据函数图象，求出解析式，即可写出周销量件与单价元之间的函数关系式；
Ⅱ分段求出函数的最值，即可得出结论．
21.解：当时，，
，
，，
所以曲线在点处的切线方程为．
，
当时，，在区间上单调递减，不存在极值点，
当时，在时，，，
由函数的图象及性质，可得存在，使得，即，
所以当时，，则，
当时，，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上不存在极小值点．
当时，则当时，，则，
由函数的图象和性质，存在，使得，即，
所以当时，，则，
当时，，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
此时为在区间上的唯一的极小值点，
综上所述，实数的取值范围为．
(ⅱ)由(ⅰ)，，在上的唯一的极小值点满足且，
由此，
令，，
则，且，
所以在区间上单调递减，
下面证明函数在区间上单调递减，
对于任意的，设当和时，在上的极小值点分别为，，
则，，且，，
由即函数在上单调递增，有，
又由在区间上单调递减，
所以，
综上所述，对于任意的，均有，即在区间上单调递减．
【解析】当时，，求导得，由导数的几何意义可得切线的斜率，则切线的方程为，化简即可得出答案．
求导得，分三种情况：当时，当时，当时，分析的单调性，极值，即可得出答案．
(ⅱ)由(ⅰ)，，在上的唯一的极小值点满足且，则，求导分析的单调性，即可得出答案．
第1页，共1页