2023-2024学年吉林省吉林市友好学校高二下学期期末联考数学试题（含解析）

2023-2024学年吉林省吉林市友好学校高二下学期期末联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.小五和小明两人从门课程中各选修门，则小五和小明所选的课程的选法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.下列两个变量中能够具有相关关系的是( )
A. 人的身高与受教育的程度 B. 人的体重与眼睛的近视程度
C. 企业员工的工号与工资 D. 儿子的身高与父亲的身高
3.下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则的极小值为( )
A. B. C. D.
5.掷一个均匀的骰子记为“掷得点数小于”，为“掷得点数为偶数”，则为( )
A. B. C. D.
6.张老师与甲乙等名学生毕业合照，要求照相时师生站成一排，则张老师必须站排头或排尾，且甲与乙站在一起的概率为( )
A. B. C. D.
7.若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.若函数存在零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是( )
A. 若任意选择三门课程，选法总数为
B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为
C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为
D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为
10.若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数，则( )
A. 当时，函数的最小值为
B. 当时，函数的极大值点为
C. 存在实数使得函数在定义域上单调递增
D. 若恒成立，则实数的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知在一次降雨过程中，某地降雨量单位：与时间单位：的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度某一时刻降雨量的瞬间变化率为 ．
13.“守得住经典，当得了网红”，这是时下人们对国货最高的评价，网络平台的发展让越来越多的消费者熟悉了国货品牌的优势，使得各大国货品牌都受到高度关注，销售额迅速增长，已知某国货品牌年月在网络平台的月销售额单位：百万元与月份具有线性相关关系，并根据这个月的月销售额，求得回归方程为，若该国货品牌年月在网络平台的总销售额为百万元，则的值为 ．
14.某初级中学初一、初二、初三的学生人数比例为，假设该中学初一、初二、初三的学生阅读完三国演义的概率分别为，，，若从该中学三个年级的学生中随机选取名学生，则这名学生阅读完红楼梦的概率不大于，已知该中学初三的学生阅读完三国演义的概率不低于初二的学生阅读完三国演义的概率，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求这个函数的导数；
求这个函数的图象在点处的切线方程．
16.本小题分
已知在的展开式中第二项的二项式系数是．
求的值；
求展开式中含的项．
17.本小题分
某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，，在实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗，为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图统计数据分组区间为，，，记综合评分为及以上的花苗为优质花苗．
求图中的值，并求综合评分的中位数；
填写下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析优质花苗与培育方法是否有关，请说明理由．
优质花苗 非优质花苗 合计
甲培育法
乙培育法
合计
附：，其中
18.本小题分
面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节，某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答个问题，第一题考查对公司的了解，答对得分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得分，答错不得分．
若一共有人应聘，他们的笔试得分服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少结果四舍五入保留整数；
某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩的数学期望．
附：若，则，，．
19.本小题分
设有甲、乙、丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的个球，其中甲箱有个蓝球和个黑球，乙箱有个红球和个白球，丙箱有个红球和个白球摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出个球，若从甲箱中摸出的个球颜色相同，则从乙箱中摸出个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出个球；若从甲箱中摸出的个球颜色不同，则从丙箱中摸出个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出个球．
若最后摸出的个球颜色相同，求这个球是从乙箱中摸出的概率；
若摸出每个红球记分，每个白球记分，用随机变量表示最后摸出的个球的分数之和，求的分布列及数学期望．
答案解析
1.
【解析】小五和小明两人从门课程中各选修门，
由乘法原理可得小五、小明所选的课程的选法有种．
故选：
2.
【解析】对于：人的身高与受教育的程度不具有相关关系，故A错误；
对于：人的体重与眼睛的近视程度不具有相关关系，故B错误；
对于：企业员工的工号与工资不具有相关关系，故C错误．
对于：儿子的身高与父亲的身高具有相关关系，故D正确．
故选：
3.
【解析】由已知得，解得或舍去．
故选：．
4.
【解析】函数的定义域为，
因为
所以，
令，则，解得或舍，
单调递减 极小值 单调递增
由此表可知，当时，的取得极小值为．
故选：．
5.
【解析】掷一个均匀的骰子，有共种结果，
事件包含点数为，共种结果，所以；
事件包含点数为共种结果，所以，
所以．
故选：
6.
【解析】根据题意可知共有种排法，
第一步，若甲与乙站在一起，可将甲、乙两人看成一个整体再与其他名同学进行排列，共有种排法，
第二步，又因为张老师必须站排头或排尾，共有种；
因此所求概率为．
故选：
7.
【解析】解：由 ，可得 ．
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以当 时，函数 在区间 内存在单调递减区间．
当 时，令 ，可得 ，
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增．
所以函数 的减区间为 ，增区间为 ，
若函数 在区间 内存在单调递减区间，
只需 ，得 ．
综上所述， ．
故选：
8.
【解析】由，则，
令，
则，
当得，单调递增，当得，单调递减，
所以，，
当趋向于正无穷大时，也趋向于正无穷大，
所以函数存在零点，则．
故选：．
9.
【解析】解：对于若任意选择三门课程，选法总数为种，故A错误；
对于若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的门中选门，有种选法
若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的门中选门，有种选法
由分步乘法计数原理知，总数为种选法，而，故B错误；
对于若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确；
对于若物理和化学至少选一门，有种情况，
只选物理，不选历史，有种选法，
只选化学，有种选法，
物理与化学都选，不选历史，有种选法，
故总数为种，而，故D错误．
故选：．
10.
【解析】对，因为随机变量服从两点分布，且，所以，
所以，所以，故 A正确；
对，，故 B不正确；
对，，故 C正确；
对，，故 D正确．
故选：．
11.
【解析】因为函数，则，其中，
当时，则，令，可得，
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
当时，有极小值，即最小值，故 A正确；
当时，则，令，可得，
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
当时，函数有极小值，则为极小值点，故 B错误；
假设存在实数使得函数在定义域上单调递增，
则在上恒成立，即在上恒成立，
所以在上恒成立，因为的值域为，
所以函数无最小值，
故不存在实数使得函数在定义域上单调递增，故 C错误；
若恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，令，则，
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
当时，有极小值，即最小值，所以，故 D正确；
故选：
12.
【解析】解：因为 ，
所以 ，
，
故在 时的瞬时降雨强度某一时刻降雨量的瞬间变化率为 ．
故答案为： ．
13.
【解析】由题意可知，，，
回归方程必过样本点中心，
则，解得：．
故答案为：
14.
【解析】若从该中学三个年级的学生中随机选取名学生，
则这名学生阅读完三国演义的概率为，解得，
因为该中学初三的学生阅读完三国演义的概率不低于初二的学生阅读完三国演义的概率，所以，
故的取值范围是．
故答案为：．
15.解：，
；
，
又当时，，所以切点为，
切线方程为，
即．
【解析】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
运用积函数的求导公式计算这个函数的导数即可．
欲求在点处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．
16.【小问详解】
二项式展开式的通项为其中且，
依题意可得，解得；
【小问详解】
二项式展开式的通项为其中且，
令，解得，
所以，即展开式中含的项为．
【解析】依题意可得，即可得解；
写出展开式的通项，令，解得，再代入计算可得．
17.【小问详解】
由频率分布直方图可得，
解得，
因为，，
所以中位数位于，令中位数为，则有，
解得，故综合评分的中位数为；
【小问详解】
由频率分布直方图可得优质花苗的频率为，
所以优质花苗共有株，则非优质花苗共有株，
所以列联表如下所示：
优质花苗 非优质花苗 合计
甲培育法
乙培育法
合计
零假设：优质花苗与培育方法无关，
，
根据小概率值的独立性检验，可以认为优质花苗与培育方法有关，该推断犯错误的概率不大于；
【解析】根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为得到方程，求出的值，再根据中位数计算规则计算可得；
首先求出优质花苗的频率，即可得到其数量，从而完善列联表，计算出卡方，即可得解．
18.【小问详解】
因为 服从正态分布，所以，，，
所以．
进入面试的人数，．
因此进入面试大约为人
【小问详解】
由题意可知，的可能取值为，，，，
则；
；
；
；
所以．
【解析】根据正态分布的性质求出，即可估计人数；
依题意可得的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可求出数学期望．
19.【小问详解】
依题意从甲箱中摸出的个球颜色相同的概率，
从甲箱中摸出的个球颜色不相同的概率，
记事件为“这个球是从乙箱中摸出的”，为“最后摸出的个球颜色相同”，则．
又因为．
，
所以．
【小问详解】
依题意可得的可能取值为、、，
所以
，
，
所以的分布列为：
所以．
【解析】首先求出从甲箱中摸出的个球颜色相同与不相同的概率，记事件为“这个球是从乙箱中摸出的”，为“最后摸出的个球颜色相同”，根据条件概率公式计算可得；
依题意的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望．
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