2023-2024学年河南省信阳市高一下学期7月期末数学试题（含解析）

2023-2024学年河南省信阳市高一下学期7月期末
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数为虚数单位在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知，是不同的平面，，是不同的直线，下列命题中不正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
3.已知向量，，若与共线且反向，则实数的值为( )
A. B. C. D. 或
4.甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶次，命中环数的频率分布条形图如下．设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5.已知函数的部分图像如图所示，若将函数的图像向右平移个单位后所得曲线关于轴对称，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.已知正三棱台的体积为，，，则与平面所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
8.已知边长为的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一个平面截正方体所得的截面图形可以是( )
A. 等边三角形 B. 正方形 C. 梯形 D. 正五边形
10.若，，则下列结论正确的 是( )
A. B. C. D.
11.在锐角中，设，，分别表示角，，对边，，，则下列选项正确的有( )
A.
B. 的取值范围是
C. 当时的外接圆半径为
D. 若当，变化时，存在最大值，则正数的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数在上为严格增函数，则实数的取值范围是 ．
13.已知函数是偶函数，对任意，均有，当时，，则函数的零点有 个
14.已知正方体的棱长均为以中点为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
求与的夹角；
若在方向上的投影向量为，求的值．
16.本小题分
在中，内角的对边分别为的面积为，已知，且．
求；
求的取值范围．
17.本小题分
为迎接冬季长跑比赛，重庆八中对全体高二学生举行了一次关于冬季长跑相关知识的测试，统计人员从高二学生中随机抽取名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间内，并制成如图所示的频率分布直方图．
估计这名学生的平均成绩；
若在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为和，在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为和，据此估计在内的所有学生测试成绩的平均数和方差．
18.本小题分
已知函数，求：
的最小正周期及最大值；
若且，求的值；
若，在有两个不等的实数根，求的取值范围．
19.本小题分
在直角梯形中，，如图，把沿翻折，使得平面，连接，，分别是和中点如图．
证明：平面平面；
记二面角的平面角为，当平面平面时，求的值；
若、分别为线段与上一点，使得如图，令与和所成的角分别为和，求的取值范围．
答案解析
1.
【解析】解：，
复数在复平面内对应的点的坐标是，位于第四象限．
故选D．
2.
【解析】解：对于，若，可知，又，则或与异面，故A不正确；
对于，根据两条平行线与同一个平面所成角相等，故若，，则，故B正确；
对于，根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行，可得若，，则，故C正确；
对于，如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直，即若，，则，故D正确．
故选：．
3.
【解析】由向量，共线，得，解得或，
当时，，，与同向，不符合题意，
当时，，，与反向，符合题意，
所以实数的值为．
故选：
4.
【解析】根据图表知，甲乙命中环数的众数均为环，则；
甲运动员命中的环数比较分散，乙运动员命中的环数比较集中，则．
故选：
5.
【解析】解：由图象可知，，，则，
，则
，，，
若将函数的图像向右平移个单位后，
得到，则，
即，
所以当时，取得最小值为，
故选A．
6.
【解析】解：由
，
得，
因为，，
所以，且，
，
当且仅当时取等号．
故选：．
7.
【解析】解：因为，，所以，，
而正三棱台的体积为，
因此若正三棱台的高为，则，解得．
若正、正的中心分别为、，则，，
因此若与平面所成角为，则．
8.
【解析】解：由，可得，
设，
则
，
所以，又，所以，
以与的交点为原点，分别以所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，
设，且，
则，，
所以，当时，．
故选：．
9.
【解析】解：对于，截面是正三角形，如图甲所示，故A正确；
对于，截面可能是正方形，如图乙所示，故B正确；
对于，截面可能为梯形，如图丙所示，故C正确；
对于，截面有可能是五边形，如图丁所示，但截面五边形不可能是正五边形，故D错误，
故选：．
10.
【解析】对于：，幂函数在上单调递增，
且，，故选项 A错误；
对于：，函数在上单调递减，
又，，
，即，故 B正确；
对于选项C：，则，幂函数在上单调递减，
且，，，故选项 C正确；
对于选项D：由选项B可知：，，
，
，，故 D错误．
故选：．
11.
【解析】解：对于，因为，，
由正弦定理知：，，
所以，
于是，
即，
所以或，
因为为三角形的内角，
所以由知，，，
而，不可能成立，故A正确；
对于，由上可知，在锐角中，
，又，
所以，
于是由，
得，故B错误；
对于，当时，由，
得：，，
设的外接圆半径为，
则由，
得：，故C正确；
对于，当，变化时，
，其中，
要使取得最大值，
则必须存在，使得：，成立，
这时，且，
所以，
又，则 ，
所以，于是，
即正数的取值范围为，故D正确．
故选ACD．
12.
【解析】在上为严格增函数，则，
由于，则，故，
因此，解得，
故答案为：
13.
【解析】解：函数的零点个数可转化为函数与的交点个数．
如图所示：
函数与共有个不同的交点，
即有个零点．
故答案为：．
14.
【解析】解： 取 中点 ， 中点 ，
中点 ， 中点 ，
由题意可得， ，
，
在平面 内取一点 ，使得 ，
则 ，
且 ，所以以 中点为球心， 为半径的球面与侧面 的交线是以 为圆心， 为半径的圆弧 ，且 ，
则 ，圆弧 的长为 ．
故答案为： ．
15.解：
，
，即，
，，
．
，
．
【解析】根据数量积的运算和性质计算可得；
先求投影向量，然后利用数量积有关性质计算即可．
16.解：
因为，所以，
在中，由余弦定理，得，
因为，所以，
所以，所以，因为，所以．
在中，由正弦定理，得，
所以
因为，所以，所以
所以，即的取值范围为．
【解析】利用三角形面积公式及余弦定理计算可得，再根据弦化切计算即可；
利用正弦定理结合化简得，再结合角的范围及三角函数的性质计算即可．
17.解：
由图表可知，这名学生的平均成绩为分
在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为和，
区间的学生频率为，
在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为和，
区间的学生频率为，
所以在内的所有学生测试成绩的平均数为，
方差为
【解析】根据频率分布直方图直接求平均数即可；
利用平均数和方差公式直接计算求解即可．
18.解：
，
的最小正周期为，最大值为．
因为，所以，
因为，所以 ，
所以，解得．
当时，，令，则．
由可得，即，即，
所以，直线与曲线在上的图象有两个交点，如下图所示：
由上图可知，当时，即当时，
直线与曲线在上的图象有两个交点，
因此，实数的取值范围是．
【解析】利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，利用正弦型函数的性质求出的最小正周期，利用正弦函数的有界性可求得函数的最大值
求出的取值范围，由可得出，可得出，进而求出结果；
令，由可求得，由可得出，问题转化为直线与函数在上的图象有两个交点，数形结合可得出关于实数的不等式，由此可得实数的取值范围．
19.解：因为，且点是的中点，
所以，
因为是等腰直角三角形，所以，，又，
则，
则，得，
因为点分别是的中点，所以，即，
，且平面，
所以平面，且平面，
所以平面平面．
取的中点，连结，
因为平面平面，且平面平面，
因为，所以平面，
又平面，平面，所以，
因为，则，，
所以，
，且平面，
所以面，且面，
所以，
所以为二面角的平面角，
；
在线段取点，使得，
从而易得且，，，
另一方面，，，从而，
所以，，，平面，
所以平面，平面，
所以，
因为，，
所以，
从而，
则．
【解析】利用垂足关系和平行关系，转化为证明平面；
首先利用的垂线，利用垂线构造二面角的平面角，再根据几何关系求解的值；
利用垂足关系和平行关系，得到，即可化简，并求取值范围．
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