2023-2024学年福建省福州第一中学高二下学期期末考试数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省福州第一中学高二下学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“，且”是“，且”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.校和校进行排球决赛，决赛规则为“局胜”，已知每局比赛校获胜的概率为，各局比赛相互间没有影响，则校在先失一局的情况下，战胜校的概率为( )
A. B. C. D.
5.新型冠状病毒引起的肺炎疫情暴发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示：
周数
治愈人数
由表格可得关于的非线性回归方程为，则此回归模型第周的残差为( )
A. B. C. D.
6.已知关于的不等式恰有四个整数解，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.设，则有( )
A. B. C. D.
8.已知实数，满足，且，为自然对数的底数，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列函数的最小值为的有( )
A. B.
C. D.
10.甲盒中装有个蓝球、个黄球，乙盒中装有个蓝球、个黄球，同时从甲、乙两盒中取出个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中蓝球个数的数学期望为，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知定义在上的函数，满足，，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量服从正态分布，且，则 ．
13.已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为 ．
14.函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，直线在轴上的截距为，且与曲线相切于点．
求实数的值
求函数的单调区间与极值．
16.本小题分
某中学对该校学生的学习兴趣和预习情况进行长期调查，学习兴趣分为兴趣高和兴趣一般两类，预习分为主动预习和不太主动预习两类，设事件：学习兴趣高，事件：主动预习．据统计显示，，，．
求和，并证明与不独立；
为验证学习兴趣与主动预习是否有关，该校抽取了一定容量的样本，得到如下列联表：
兴趣高 兴趣不高 总计
主动预习
不太主动预习
总计
利用独立性检验，计算得为提高检验结论的可靠性，现将上表中所有数据都调整为原来的倍，使得在犯错误的概率不超过的条件下认为学习兴趣与主动预习有关，试确定的最小值．
附：，其中．
17.本小题分
已知函数．
讨论的单调区间；
若在区间上存在唯一零点，证明：．
18.本小题分
一袋中有个均匀硬币，其中有个普通硬币，普通硬币的一面为面值，另一面为花朵图案，如下图，其余个硬币的两面均为面值每次试验从袋中随机摸出两个硬币各掷一次，用事件表示“两个硬币均是面值朝上”，用事件表示“两个硬币均是花朵图案朝上”，又把两个硬币放回袋中，如此重复次试验．

若，
求次试验中摸出普通硬币个数的分布列；
求次试验中事件发生的次数的期望；
设次试验中事件恰好发生次的概率为，当取何值时，最大？
19.本小题分
对给定的正整数，令对任意，，定义与的距离设是的至少含有两个元素的子集，集合中的最小值称为的特征值，记作．
设，，直接写出集合的特征值；
当时，求证：存在集合满足对任意，都存在唯一的，使得，且中不同元素之间的距离为；
当时，且，求中元素个数的最大值．
答案解析
1.
【解析】由，得，所以；
由，得，解得，所以．
所以或，所以．
故选：．
2.
【解析】解：若，且，根据不等式的加法和乘法法则可得，且，即必要性成立；
当，满足，且，但是，故充分性不成立，
所以“，且”是“，且”的必要不充分条件．
故选：．
3.
【解析】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，
因此，解得，所以实数的取值范围是．
故选：
4.
【解析】因为每局比赛校获胜的概率为，即，
记“校在先失一局”为事件，“校战胜校”为事件，
则，
所以．
故选：．
5.
【解析】因为，，所以，
所以，取，得，所以第周的预测值为，
则此回归方程第周的残差为．
故选：
6.
【解析】解：不等式 ，可化为 ，
当 时，不等式 的解集为空集，不合题意；
当 时，不等式 的解集为 ，
要使不等式 恰有四个整数解，则 ，
当 时，不等式 的解集为 ，
要使不等式 恰有四个整数解，则 ，
综上可得，实数 的取值范围是 ．
故选：．
7.
【解析】由，得，，
，且，所以．
故选：
8.
【解析】由，对两边取对数得，令，则，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，故，，又时，，时，，
，即，结合图像可知，，，故 A错误；
易得，即，即，故， D错误；
当时，，故， C错误；
令，则，
又，由可得，故，故在上单调递减，
故，即，即，又，故，
又，由上知时，单调递增，故，即， B正确．
故选：．
本题关键点一在于由得到，进而构造函数，确定函数的单调性及最值，进而判断、、选项；关键点二在于构造函数由极值点偏移判断选项．
9.
【解析】因为，所以当且仅当时取等号；
，但是 等号取不到；
因为函数在上单调递增，所以，当时取等号；
因为，所以当且仅当时取等号．
故选：．
10.
【解析】解： 表示交换后甲盒子中的蓝球数，表示交换后乙盒子中的蓝球数，
当时，则，
，
，
所以，
，
故，， 故A正确，B错误
当时，，
，
，
，
所以，
，
故， 故C正确，
，，故D正确．
故选：
11.
【解析】因为，即，
又因为，则，
可得，即，则，
又因为，则，
可得，则，
可知为的周期，
由，可得，则，故 A正确；
由，可得，
且，可得，
则，即，故 C正确；
因为，则，
且，则，
所以，可知为的周期，故 B正确；
由，可得，，即，
由，可得，即，
则，结合周期可得，
又因为，
可得，结合周期可得，
所以，故 D错误；
故选：．
12.或
【解析】因为，所以，因此．
故答案为：．
13.
【解析】解：因为函数为偶函数，则，
即，
又因为函数为奇函数，则，
即，
联立可得，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故函数的最小值为．
故答案为：
14.或
【解析】因为
所以
则函数恰有个零点等价于有两个不同的解，
故，的图象有两个不同的交点，
设
又，的图象如图所示，
由图象可得两个函数的图象均过原点，
当时，
考虑直线与的图象相切，
则由可得，即，
考虑直线与的图象相切，
由可得，则，即．
考虑直线与的图象相切，
由可得，则，即，
结合图象可得当或时，两个函数的图象有两个不同的交点，
综上，或．
故答案为 ：或．
15.解：，
，，
故直线，
将代入，解得
，
，
由，得或
由，得；
所以，函数的单调递增区间为，
单调递减区间为；
在处取得极大值，在处取得极小值．
【解析】求导，利用导数的几何意义结合直线方程的求解求出，代入，即可求出；
求导，利用导数的正负可得函数单调区间，从而可得函数极值．
16.解：由已知，
，
又因为，所以，
所以，
又，
所以，
所以与不为独立事件；
根据原数据有
若将样本容量调整为原来的倍，
则新的列联表为：
兴趣高 兴趣不高 总计
主动预习
不太主动预习
总计
则，
解得，
又因为，所以的最小值为．
【解析】利用条件概率公式以及全概率公式计算即可；
作出新的 列联表，然后求出新的值，列不等式求解即可．
17.解：由题意可知：的定义域为，且，
若，则对任意恒成立，
可知的单调递增区间为，无单调递减区间；
若，令，解得；令，解得；
可知的单调递增区间为，单调递减区间为；
综上所述：若，的单调递增区间为，无单调递减区间；
若，的单调递增区间为，单调递减区间为．
因为在区间上存在唯一零点，
所以存在唯一的，有，化简得，
若要证明，则只需，即只需，
不妨设，求导得，
令，继续求导得，
所以当时，单调递增，
所以，
所以当时，单调递增，
所以，
即当时，有不等式成立，
综上所述：若在区间上存在唯一零点，则．
【解析】求导，分和两种情况，利用导数求原函数的单调区间；
由题意可得，若要证明，则只需，即只需，通过构造函数，连续求导即可得证．
18.解：当时，
由题意可知，随机变量的可能取值有、、，
则，，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
由题意可知，一次试验中事件发生的概率为，
所以，，则．
一次试验中，事件发生的概率为，
所以，次试验中事件恰好发生次的概率，
令，其中，则，
当时，，此时，函数单调递增，
当时，，此时，函数单调递减，
所以，当时，函数取最大值，
因为且时，，
故当时，取最大值．
【解析】分析可知，随机变量的可能取值有、、，利用超几何分布可得出随机变量的分布列；
求出的值，分析可知，随机变量，利用二项分布的期望公式可求得的值；
求出的表达式，构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，进一步求解即可得出结论．
19.解：由题意可知：对任意，且，均有，
对于集合：对任意，且，
均有，所以；
集合：取或或
可得，所以．
所以，．
对任意，则，且，，
对任意，定义，
则，
且对任意，则，
令集合，由可知满足中不同元素之间的距离为，
由题意可知：对任意，且，均有，
若，则令，即满足；
若，则令，则，即满足；
综上所述：存在集合满足对任意，都存在唯一的，使得，且中不同元素之间的距离为．
由题意可知：对任意，且，均有，
对任意的，
即，
则，故，
即对任意，均能对应一个元素，
令集合，则，
则且和的元素个数相同，
又因为中共有个元素，其中至多一半属于，故中至多有个元素；
设是偶数，
则对任意的，，，
都有中的元素个数为，
易得与奇偶性相同，
可知为偶数，
又，则，所以，
注意到，且它们的距离为，
故此时满足题意；
综上所述：中元素个数的最大值为．
【解析】根据与的距离的定义，直接求出的最小值即可；
定义对任意，定义，可得，，进而分析证明；
一方面先证明中元素个数至多有个元素，另一方面证明存在集合中元素个数为个满足题意，进而得出中元素个数的最大值；
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