2023-2024学年河南省开封市高二下学期7月期末数学试题（含解析）

2023-2024学年河南省开封市高二下学期7月期末数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，且，则( )
A. B. C. D.
2.一批产品中次品率为，随机抽取件，定义则
A. B. C. D.
3.已知等差数列中，，，则
A. B. C. D.
4.曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
5.已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则这两项的二项式系数是( )
A. B. C. D.
6.在圆：上任意取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程是 当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合
A. B.
C. D.
7.已知函数有两个不同的极值点，，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.在棱长为的正四面体中，是的中点，且，，则直线与夹角的余弦值的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.由成对样本数据，，且得到经验回归方程为，其中单位：为女生的身高，单位：为其父亲的身高，则
A. 直线必经过点
B. 直线至少经过点，且中的一点
C. 已知父亲的身高为，其女儿身高的估计值为
D. 两位父亲的身高相差，则他们女儿的身高相差
10.已知为等差数列的前项和，为等比数列的前项积，且，则
A. B. C. D.
11.过抛物线上一点作圆：的切线，切点为，，则
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 可能取到 D. 可能取到
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆：，则圆的半径__________．
13.已知双曲线的一条渐近线方程为，则椭圆的离心率为__________．
14.学校要安排一场文艺晚会的个节目的演出顺序，个集体节目分别安排在第个和最后个，还有个音乐节目、个舞蹈节目、个小品节目，要求同类节目不能连续安排，则共有__________种不同的排法填写数字．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，且经过点．
求的标准方程；
已知直线与平行，且与有且只有一个公共点，求的方程．
16.本小题分
已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列
求数列的通项公式；
插入的数构成一个新数列，求该数列前项的和．
17.本小题分
在九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，已知阳马中，侧棱底面，且，在，，的中点中选择一个记为点，使得四面体为鳖臑．
确定点的位置，并证明四面体为鳖臑；
若底面是边长为的正方形，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
在分制乒乓球比赛中，每赢一球得分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立．已知在某局双方平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束，且．
求的值；
求再打个球甲新增的得分的分布列和均值；
记事件“，且甲获胜”的概率为，求
19.本小题分
已知函数的定义域为，其中对于点，设若在处取最小值，则称点为的“最近点”．
若，，，求的“最近点”；
已知函数，，，，证明：对任意，既是的“最近点”，也是的“最近点”．
答案解析
1.
【解析】解：由 可得 ，
又因为，，
所以，
即 ，
2.
【解析】解：根据的定义，“抽到次品”，“抽到正品”，
则，．
那么的分布列如下表所示．
，
3.
【解析】
解：因为，，所以，，
又，所以，
，
故选B．
4.
【解析】解：由，得，
，
则函数在点处的切线方程是，
即，
故选D．
5.
【解析】解：的展开式中第项与第项的二项式系数相等，
，
，
则这两项的二项式系数为．
6.
【解析】解：设，由题意，
为线段的中点，
， ．
又 在圆上，
，
，
点的轨迹方程为 ．
故选D．
7.
【解析】解：因为函数，所以，
令，由题意得在上个解，，
故，解得：
故答案为：．
8.
【解析】解：将正四面体放入正方体中，建立如图所示空间直角坐标系，
因为正四面体棱长为，
所以正方体棱长为，
则，，，，
，，，
因为，
所以，
设直线与夹角为，
则 ，
令，，
，
当且仅当即时取等号，
即直线与所成角的余弦值的最大值为．
故选C．
9.
【解析】解：经验回归方程必过样本中心点，A正确
直线 可能不经过任何一个样本点，不正确；
当时，，C正确；
两位父亲的身高相差，则他们女儿的身高不一定相差，不正确．
10.
【解析】解：设等差数列的公差为，设等比数列的公比为，
对于，，
，
当，时，此时，，此时不相等，故A错误；
对于，，，故B正确；
对于，，故C正确；
对于，，故D正确；
故选BCD．
11.
【解析】解：设 ， ，则，圆的圆心为，半径为，
则 ，
即的最小值为，
设 ，，如图
则 ，即 ，所以 ．
所以的最大值为 ，故A正确，不正确；
由题可知四边形的面积为，
，所以不正确，D正确．
12.
【解析】解：圆的方程是，即圆：，
故圆的半径为．
故答案为：．
13.
【解析】解：双曲线的一条渐近线方程为，
，即，
在椭圆中，，
．
故答案为：．
14.
【解析】解：第一步，排个集体节目，有种排法．
第二步，排中间个节目，
个音乐节目全排列，有种排法，
因为同类节目不能连续安排，分两种情况：
将个舞蹈节目和个小品节目插入个音乐节目全排列形成的个空中，每个空最多插入一个节目，且中间个空必须都有节目，此时有种排法；
将个舞蹈节目和个小品节目分成两组，其中一组有个舞蹈节目和个小品节目，另一组有个舞蹈节目，将这两组排在个音乐节目全排列形成的中间个空中，此时有种排法．
所以中间个节目有种排法，
根据分步乘法计数原理可得共有种不同的排法．
15.解：由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为，
由椭圆的定义知，，
，
可得，
所以，
所以椭圆的标准方程为：；
已知直线与平行，所以，设的方程为：，
由方程组消去，得，
该方程的判别式，
由，得，
此时与有且只有一个公共点，所以的方程为：．
【解析】设出椭圆方程，再根据椭圆定义得到参数值，再由，，的关系得到各个值，进而写出椭圆方程即可；
联立直线和椭圆方程得到二次方程，有唯一的根，则根据判别式等于即可得．
16.解：设数列的公差为，
由题意知，，，，
所以，
所以的通项公式是，
数列的通项公式为，
记数列与前项的和分别为，，
则．
【解析】设数列的公差为，然后得到，即可求解；
先得到数列的通项公式为，记数列与前项的和分别为，，然后利用即可．
17.解：点为的中点，
因为，所以，
又因为底面，平面，所以，
又，，、平面，
所以平面，
又，平面，所以，，
由，，，、平面，
可得平面，
又平面，所以，
所以，
所以四面体为鳖臑．
如图，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
，则，，，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
则即
取，则平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，即
取，则平面的一个法向量为，
所以，，
所以平面与平面夹角的余弦值为．

【解析】点为的中点，由线面垂直的判定与性质证明即可；
建立空间直角坐标系，得出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用空间向量求解即可．
18.解：由题意可知，对应的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，
所以，解之得；
的可能取值为，，，
的分布列为：，
，
，
所以．
且甲获胜，就是平后，两人又打了个球该局比赛结束，
且这个球的得分情况为：前个球是每两球甲、乙各得分，
最后第，个球均为甲得分
且甲获胜，就是平后，
两人又打了个球该局比赛结束，且这个球的得分情况为：前个球是每两球甲、乙各得分，最后第，个球均为甲得分，
按照甲先发球，甲、乙各得分的概率为，
所以，且，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，
所以．
【解析】根据相互独立事件的概率乘法公式可得结果；
的可能取值为，，，得出对应概率，可得的分布列和均值；
由题意得，由等比数列可得
19.解：当，，，
，
，
由，得，由，得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以在处取最小值，
又，所以的“最近点”为；
设，
，
设既是的“最近点”，也是的“最近点”，
由题意，，在处取最小值，
所以对任意，，即，
，即，
由得，
整理得，
所以，，
所以既是的“最近点”，也是的“最近点”．
【解析】根据新定义得出，利用导数研究单调性和最值即可；
设，，由题意，，在处取最小值，结合新定义证明即可．
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