2023-2024学年辽宁省辽阳市高一下学期期末考试数学试卷（含解析）

2023-2024学年辽宁省辽阳市高一下学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.在中，，则( )
A. B. C. D.
3.已知直线，及平面，，且，，下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4.已知单位向量，满足，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
D.
6.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，则该四棱锥外接球的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.已知四边形的顶点都在半径为的圆上，且经过圆的圆心，，四边形的面积为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点中心对称 D. 的最大值为
10.已知平面向量，则下列结论正确的是( )
A. 的最小值为
B. 若与的夹角为锐角，则的取值范围是
C. 一定存在一个实数，使得
D. 若，则在上的投影向量的坐标为
11.有一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图也可由正方体切割而成，如图在如图所示的“蒺藜形多面体”中，若，则( )
A. 该几何体的表面积为 B. 该几何体的体积为
C. 直线与直线所成的角为 D. 二面角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数，则 ．
13.如图，四棱台的侧棱长均相等，四边形和四边形都是正方形，，则该四棱台的体积为 ．
14.若函数在上有个零点，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
若，求；
若向量，，求与夹角的余弦值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为的中点，点在线段上，平面．
证明：；
求的值．
17.本小题分
已知函数，且．
求的 值；
求的单调递增区间；
若的值域是，求的取值范围．
18.本小题分
如图，在四棱柱中，平面平面，，，，．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
是直线外一点，点在直线上点与点任一点均不重合，我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记在中，角的对边分别是，点在射线上
若是角的 平分线，且，由点对施以视角运算，求的值；
若，由点对施以视角运算，，求的周长；
若，，由点对施以视角运算，，求的最小值．
答案解析
1.
【解析】，
所以复数的虚部为．
故选：
2.
【解析】在中，由正弦定理可得，
即．
故选：
3.
【解析】对于：若，则不一定垂直，故 A错误；
对于：因为，所以，因为，所以，故 B正确；
对于：若，则不一定平行于，故 C错误；
对于：若，则或，故 D错误．
故选：
4.
【解析】由题意得，，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，即与的夹角为．
故选：．
5.
【解析】依题意可得，所以，又，所以，解得，
所以，又函数过点，则，
又，所以，所以，则，
所以，则．
故选：
6.
【解析】将四棱锥补全成以为长、宽、高的长方体，
则该四棱锥的外接球即补全后长方体的外接球，
外接球的半径为长方体体对角线一半，
所以外接球表面积为．
故选：
7.
【解析】因为
，
所以，
即．
故选：．
8.
【解析】连接，则为等边三角形，，
四边形的面积为
，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
，
，
，
所以，
因为，所以，
所以或，
所以，或，
因为，所以舍去，所以，
所以为等腰直角三角形，所以．
故选：
9.
【解析】因为，所以的最小正周期为，故 A正确；
由，可得，
所以图象的对称轴为，
当时，图象的关于对称，故 B正确；
由，可得，
所以图象的对称中心为，当时，
图象的关于点对称，故 C正确；
当时，的最大值为，故D不正确．
故选：．
10.
【解析】对于：因为，
则，当且仅当时取等号，
所以的最小值为，故 A正确；
对于：若与的夹角为锐角，则且与不同向，
所以且，解得且，故 B错误；
对于：若，则，
所以，则，解得，
即存在，使得，故 C正确；
对于：当时，所以，
又，
所以在上的 投影向量的坐标为，故 D正确．
故选：
11.
【解析】对于，因为，所以．
蒺藜形多面体的表面可看作是八个全等的棱长为的小正四面体构成，
故该几何体的表面积为，故 A正确；
对于，该几何体的体积为，故 B正确；
对于，因为，所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，又因为，所以，故 C正确
对于，设的中点为，连接、，则，，
则即二面角的平面角．
建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、，
则，，
则，故 D错误．

故选：．
12.
【解析】因为，
所以．
故答案为：．
13.
【解析】在四棱台中，分别是上下底面对角线的交点，即上下底面的中心，为四棱台的高，
过点作与交于点，则，
四边形和四边形都是正方形，且，则
，，则，，
，即四棱台的高．
又上底面积，下底面积，
则该四棱台的体积为．
故答案为：．
14.
【解析】因为，
由，可得，所以，
因为，所以，所以，
令，则，所以，令，
因为与在上单调递减，
所以在上单调递减，
因为在上有个解，
则在上有个解，
则，则，所以．
故答案为：
15.解：因为，，所以．
由，可得，
即，解得，
所以，故．
依题意得．
因为，所以
解得，则．
，，，
所以，
所以与夹角的余弦值为．
【解析】用向量垂直的坐标结论求出，再用模公式求解即可；
用向量平行的坐标结论求出，再用夹角的坐标公式求解即可；
16.解：因为，为的中点，
所以．
因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面．
因为平面，
所以．
设为的中点，连接，，如图所示，
因为，，
所以四边形是平行四边形，
所以．
因为平面，平面，
所以平面．
因为平面，平面，
所以平面平面．
因为平面，
所以平面．
因为平面平面，平面，
所以，
所以．
【解析】证明，再由平面与平面垂直的性质即可证明；
设为的中点，连接，，证明平面平面，得平面，再由线面平行的性质即可得为中点．
17.解：因为，所以，
可得，
所以，
所以．
的单调增区间为．
因为，
又因为，
所以即．
【解析】代入最大值点化简函数即可求参；
应用正弦函数的单调增区间求解即可；
化简得出正弦函数的值域进而确定自变量的取值范围．
18.解：如图：在线段上取一点，使得，连接，
因为，，，所以四边为正方形，
所以，，，，
又因为，，所以，所以，
又因为，，所以，
因为，，，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为，所以，
由于且，，平面且必相交与一点，
所以平面．
由可知，，所以，
又因为平面，，所以平面，
设点到平面的距离为，与平面的夹角为，
在中，，，，
，，
所以，
而，
由可得：，
所以，所以与平面夹角的正弦值为．
【解析】在线段上取一点，使得，连接，问题转化为，；
首先证明出平面，然后在通过体积转化法求出点到平面的距离为，最后再通过求解．
19.解：因为是角的平分线，所以且在线段上，
所以，
又，所以；
因为点在射线上，，且，所以在线段外，且，
所以，
所以，
在中，由余弦定理可得，
即，解得负值已舍去，
所以，
所以的周长为．
【小问详解】
因为，所以，则，
因为，所以，
又，所以，
又，所以，所以，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为．
【解析】依题意可得，从而得到，即可得解；
根据所给定义及条件得到，再由余弦定理求出，即可求出，从而求出三角形的周长；
依题意可得，由等面积法得到，从而得到，再由乘“”法及基本不等式计算可得．
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