2023-2024学年黑龙江大庆市高一下学期期末考试数学试题（含解析）

2023-2024学年黑龙江大庆市高一下学期期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数为虚数单位在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量的夹角为，若，则( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.设、为空间中两条不同直线，、为空间中两个不同平面，下列命题正确的是( )
A. 若，，，则 B. 若不垂直于，，则必不垂直于
C. 若，，则 D. 若、是异面直线，，，，，则
5.已知向量，，满足：，且，则三角形的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
6.已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，关于函数，下列说法正确的是( )
A. 在上是增函数 B. 其图象关于直线对称
C. 函数是奇函数 D. 在区间上的值域为
8.如图，在中，，，，点在以为圆心且与边相切的圆上，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给出下列说法，其中正确的是( )
A. 数据，，，的极差与中位数之积为
B. 已知一组数据的方差是，则数据的方差是
C. 已知一组数据的方差为，则此组数据的众数唯一
D. 已知一组不完全相同的数据的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，则
10.已知为虚数单位，则下列选项中正确的是 ．
A. 复数的模为
B. 复数，则在复平面上的点在第四象限
C. 复数是纯虚数，则或
D. 若，则的最大值为
11.如图，在正方体中，若为棱的中点，点在侧面包括边界上运动，且平面，下面结论正确的是
A. 点的运动轨迹为一条线段
B. 直线与所成角可以为
C. 三棱锥的体积是定值
D. 若正方体的棱长为，则平面与正方体的截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.样本数据，，，，，，，的分位数为 ．
13.若各顶点都在一个球面上的正四棱柱，高为，体积为，则这个球的表面积是 ．
14.某地进行老旧小区改造，有半径为米，圆心角为的一块扇形空置地如图，现欲从中规划出一块三角形绿地，其中在上，，垂足为，，垂足为，设，则 用表示；当在 上运动时，这块三角形绿地的最大面积是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且，为线段上一点．
求角的大小
若为角的角平分线，，的周长为，求的长．
16.本小题分
年秋末冬初，呼和浩特市发生了流感疾病为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：
若从成绩低于分的同学中按分层抽样方法抽取人成绩，求人中成绩低于分的人数；
以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数；
首轮竞赛成绩位列前的学生入围第二轮的复赛，请根据图中信息，估计入围复赛的成绩记为
17.本小题分
如图，在四棱锥中，为边上的中点，为边上的中点，平面平面，，，，．
求证：平面
求证：平面
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，为线段上的动点．
若为的中点，求三棱锥的体积
若，问上是否存在点，使得平面若存在，请指明点的位置若不存在，请说明理由
求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
19.本小题分
在锐角中，角，，的对边为，若，．
求角的大小；
若为的中点，且，求的面积；
如图，过点在所在平面内作，且满足求线段的最大值．
答案解析
1.
【解析】解：，
复数在复平面内对应的点的坐标是，位于第四象限．
故选D．
2.
【解析】
解：因为 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，向量 的夹角为 ，
所以 ，即 ，解得 ．
故选：．
3.
【解析】解：因为，
两边平方，可得，
所以，
则．
故选：．
4.
【解析】解：对于，若，，，则，可能平行、相交或异面，故A错误
对于，若不垂直于，且，则有可能垂直于，故B错误
对于，若且，则或，故C错误
对于，若、是异面直线，，，，，
则在直线上任取一点，过直线与点确定平面，，
又，则，，，所以，
又，，，，所以，故D正确．
5.
【解析】解：由，得．
，
，
由余弦定理得， ，
同理．
所以是等边三角形．
故选D．
6.
【解析】解：，，
，
所以向量在向量方向上的投影向量为，
选A
7.
【解析】解：，
沿轴向左平移个单位，
得．
对于，当，单调递减，所以选项A错误；
对于，，则图象关于对称，所以选项B错误；
对于，是偶函数．所以选项C错误；
对于，当，则，所以D正确，
综上可知，正确的为．
故选：．
8.
【解析】解：根据题意，建立如图所示坐标系，作于，
在中，，，，
所以，，，
又，则，
故可设点坐标为，，
则
，其中，
故当时，有最小值．
故选：．
9.
【解析】解：对于，极差为 ，中位数为 ，所以极差与中位数之积为 ，对；
对于，根据方差的性质可知，数据 的方差是 ，错；
对于，由方差 ，
可得 ，即此组数据众数唯一，对；
对于， ，
，对．
故选ACD．
10.
【解析】解：对于，复数的模为，故A正确；
对于，复数的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故B正确；
对于，因为复数是纯虚数，
所以，解得，故C错误；
对于，令，，则，
，
因为，则，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，故D正确．
故选ABD．
11.
【解析】解：对于，设，，分别为，，的中点，连接，，如图所示：易知，在正方体中，，，所以，所以四点共面，又，，平面，，
平面，，所以平面平面，
因为点在侧面包括边界上运动，平面平面，所以一定在线段上，即点的运动轨迹为线段，A正确；
图 图
对于，如图所示：连接，因为平面，平面，
所以为直角三角形，，直线与所成角小于，所以B错误；
对于，如图所示：因为一定在线段上，而，则到的距离为定值，长为定值，所以的面积为定值，又点到平面的距离即三棱锥的高也为定值，所以三棱锥的体积是定值， C正确；
图 图
对于，由选项A的判定可知，平面与正方体的截面为等腰梯形，如图所示，因为正方体的棱长为，所以，，
所以梯形的高，
截面梯形的面积，D正确．
故选ACD．
12.
【解析】解：数据按从小到大排序：，，，，，，，，，所以分位数为．
13.
【解析】解：各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为，体积为，
则它的底面边长是，所以它的体对角线的长是，
所以球的直径是，
所以这个球的表面积是：．
故答案为．
14.米平方米
【解析】解：在中，，米，
所以米，
在中，可得，
由题可知，
所以的面积为：
，
又，，
：当，即时，的面积有最大值平方米，
即三角形绿地的最大面积是平方米．
故答案为：米；平方米．
15.解：，，且，
，
由正弦定理得，
，
，
，在三角形中，，
，，．
，，
由余弦定理得，
即，解得．
为角的角平分线，
，
，．
【解析】由已知利用平面向量垂直的坐标公式可得，由正弦定理，内角和求出的值；
由余弦定理得出，再由偶可得求的长．
16.解：成绩在的人数为人，
成绩在的人数为人，
则按分层抽样方法从成绩低于分的同学中抽取人，
成绩低于分的人数为人．
由，得，
则平均数，
故该校学生首轮竞赛成绩的平均数约为分；
根据频率分布直方图可知：
的频率为，的频率为，
所以入围复赛的成绩一定在
可知入围复赛的成绩的临界值为
则，解得，
故估计入围复赛的成绩为分
【解析】利用分层抽样的定义求解即可；
利用平均数公式求解即可；
根据题意设入围复赛的成绩的临界值为，则，求出的值即可．
17.证明：连接，
在中，因为、为对应边上的中点，
所以为中位线，，
又平面，平面，
平面
在四边形中，，，，
所以，都为等腰直角三角形，即，
又因为平面平面，，平面平面，平面，
所以直线平面，又平面，所以，
又，，平面，
所以平面．
【解析】由条件可得，根据线面平行的判定定理即可得证；
由条件可得，，根据线面垂直的判定定理即可得证．
18.解：因为为的中点，所以点与点到平面的距离之比为，
故．
存在，取的中点，连接交于点，连接，
则为面与面的交线易得，
在三角形中，，所以，
所以平面，即存在点，且当为中点时，平面．
过点作，因为，
所以，面面，
因为面，所以，
又，，，平面，
所以面，
又因为，
所以面，，，
所以是面与面所成锐二面角的平面角，
因为是等腰直角三角形，所以．
【解析】本题考查棱锥的体积，线面平行的判定，考查二面角计算．
19.解：因为，
由正弦定理可得，
即，
因为，所以，
，
因为，所以
由得 ，
因为为的中点，所以，
则，
化简得 ，
由解得，所以
设，
当与外接圆相切时，可得，则，
则，，
在中，由正弦定理得，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
因为，
所以，
所以
，
又，所以，
所以当，即时，有最大值，最大值为．
【解析】利用正、余弦定理求出，即可求
由得 ，由，得 ，联立求出，即可求面积
设，求出的范围，利用正弦定理和三角恒等变换求出，由三角函数的性质即可求解．
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