2023-2024学年河北市张家口市高一第二学期期末考试数学试卷（含解析）

2023-2024学年河北市张家口市高一第二学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知一个总体中有个个体，用抽签法从中抽取一个容量为的样本，若每个个体被抽到的可能性是，则( )
A. B. C. D. 不确定
2.已知复数其中为虚数单位，则的虚部是( )
A. B. C. D.
3.一组数据，，，，，，，的上四分位数为( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，是线段上的一点，且满足，则( )
A. B. C. D.
5.在中，内角，，所对的边分别为，，，，，若有两解，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，已知，，则原四边形的面积为( )
A. B. C. D.
7.随着暑假将近，某市文旅局今年为了使游客有更好的旅游体验，收集并整理去年暑假天期间日接待游客量数据，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图，估计该市今年日接待游客量的平均数为同一组的数据用该组区间的中点值作代表( )
A. 万人 B. 万人 C. 万人 D. 万人
8.如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 图象的对称中心为，
C. 的单调递增区间为，
D. 为了得到的图象，可将的图象向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍
11.如图，已知正方体的棱长为，是的中点，是的中点，则( )
A. 若是侧面内一动点，则满足平面的点的轨迹长为
B. 平面内不存在点，使得平面
C. 三棱锥的体积为
D. 若是上一点，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，若，则 ．
13.在正四棱锥中，，与平面所成角的余弦值为，则四棱锥外接球的体积为 ．
14.在中，，是上一点，是的平分线，且，，则的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，且
求的值及，的夹角
若，求的值．
16.本小题分
已知某校高一年级班、班、班分别有人、人、人，现从这个班用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取人参加安全知识竞赛．
求这个班分别抽取的人数
已知从班抽取的人中有名女生，若要从班抽取的人中选名同学作为组长，求至少有名女生作为组长的概率
知识竞赛结束后，依据答题规则进行统计，甲同学回答道题的得分分别为，，，，，乙同学回答道题的得分分别为，，，，，请问甲、乙两名同学哪位同学的成绩更稳定
17.本小题分
如图，在矩形中，，，是的中点，将沿折起使点到点的位置，是的中点．
证明：平面
若，证明：平面平面
在的条件下，求二面角的余弦值．
18.本小题分
请在向量，，且这两个条件中任选一个，填入横线上并解答．
在中，内角，，的对边分别为，，，且满足 ．
求角的大小
若为锐角三角形，，求面积的取值范围．
19.本小题分
如图是函数图象的一部分．
求函数的解析式
求函数的单调区间
记方程在上的根从小到大依次为，，，，，若，试求与的值．
答案解析
1.
【解析】解：由题意得，解得，故选C．
2.
【解析】解：，所以虚部为，故选C．
3.
【解析】解：从小到大排列：，，，，，，，，，
由百分位数的定义知，应取第个数据与第个数据的平均值，
所以上四分位数为．
故选D．
4.
【解析】解：，
，
，
故选B．
5.
【解析】解：若有两解，则，
即，所以．
故选A．
6.
【解析】解：如图，将直观图还原为四边形，则四边形由两个直角三角形构成，
因为，，故，，，，
所以四边形的面积为，
故选A．
7.
【解析】解：由于，解得，
所以该市今年日接待游客量的平均数约为
，
故选A．
8.
【解析】解：设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，
由题意知，，，
，，
所以该电子元件能正常工作的概率，
故选C．
9.
【解析】解：设，，
对于选项A，，，，
所以，故A正确
对于选项B，，
，
，所以，故B正确
对于选项C，，，所以，故C错误
对于选项D，由选项A可知，
，故D正确，
故选ABD．
10.
【解析】解：对于选项A，，故A正确
对于选项B，令，，解得，，
所以图象的对称中心为，，故B错误
对于选项C，，，解得，，
所以的单调递增区间为，，故C正确
对于选项D，将的图象向左平移个单位长度得到的图象，
再将横坐标变为原来的倍可得的图象，故D错误．
故选AC．
11.
【解析】解：如图，
对于选项A，取的中点，的中点，连接，，，
则，而，所以，
又平面，平面，所以平面，
同理平面，，平面，
得平面平面，
所以点的轨迹为，，即点的轨迹长为，故A正确
对于选项B，连接交于点，由于，分别为，的中点，所以，
又因为平面，所以平面，故B错误
又，所以三棱锥的体积为，
故C正确
对于选项D，将与展开至同一平面，如图，
则的最小值即为，
由余弦定理知，，
而，
所以，即，故D正确，
故选ACD．
12.
【解析】解：因为，所以，
又因为，所以，所以，
所以．
13.
【解析】解：如图，连接，交于点，连接，
设四棱锥外接球球心为，半径为，则在上，
由题知，为与平面所成角，即，
所以，，，因此，解得，
所以四棱锥外接球的体积为．
14.
【解析】解：因为是的平分线，所以，，
所以，，由正弦定理得，，所以，
设，，由题知，，
即，解得，
所以的面积为．
15.解：因为所以，即，
所以，解得，
则，所以，，
因为，，所以，，即，的夹角为．
由可得，，
因为，所以，
解得或．
【解析】利用得到，解得，
然后利用，得到，的夹角为．
由可得，，
然后利用得到即可．
16.解：因为样本容量和这个班总人数的比为，所以抽样比为，
所以从班、班、班抽取的人数分别为，，．
即班、班、班抽取的人数分别为，，．
由知，从班抽取了人，设名女生为，，剩余名男生为，，，，
则从人中选取人的基本事件为
，，，，，，，，，，，，，，，共种，
其中至少有名女生的共种，
所以至少有名女生作为组长的概率为．
甲同学成绩的平均数为，
方差为，
乙同学成绩的平均数为，
方差为，
由于，所以乙同学成绩更稳定．
【解析】先得到抽样比为，然后得到从班、班、班抽取的人数分别为，，．
由知，从班抽取了人，设名女生为，，剩余名男生为，，，，然后利用古典概型即可；
分别计算出甲同学成绩的方差为，乙同学成绩的方差为，然后比较即可．
17.解：如图，延长，交于点，连接，
因为四边形是矩形，是的中点，所以∽，
所以，所以，分别是，的中点，
又是的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面．
证明：在平面中，，，，
所以，所以，
又因为，，，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
如图，取中点，过作于点，连接，，
因为，所以，由可知，平面平面，
又因为平面平面，平面，
所以平面，且，平面，所以，，
因为，，平面，所以平面，
又因为平面，所以，所以为二面角的平面角，
由题意可知，，，所以，
即二面角的余弦值为．

【解析】如图，延长，交于点，连接，然后证明，即可；
先证明平面，然后利用平面即可；
如图，取中点，过作于点，连接，，
然后得到为二面角的平面角，然后计算即可．
18.解：若选，由于，
所以，
由正弦定理得，
即，
即，
即，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以；
若选，因为，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
因为，
所以；
因为，由正弦定理得，
所以，，
所以的面积
，
因为为锐角三角形，
所以，即
所以，
所以，
所以，
所以面积的取值范围为
【解析】选，利用向量共线得坐标表示，得出，再利用正弦定理和两角和与差的正弦公式化简，求出，即可求出结果；
选，利用正弦定理化简已知式子为，再利用余弦定理，即可求出结果；
由正弦定理得出，，表示出的面积，求出角的取值范围，结合正弦函数的最值的求解，即可求出结果．
19.解：由图可得，
函数的最小正周期为，则，
所以，因为，则，
因为，所以，解得，
所以
令，，解得，，
令，，解得，，
因此函数的单调递增区间为，，
单调递减区间为，
方程，即，即，
因为，所以，设，其中，
即，结合正弦函数的图象，
可得方程在区间有个解，即，
其中，，，
即，，，
解得，，，
所以，
所以，．
【解析】由图可得，
利用，得到，
利用得到即可；
分别令，，令，即可；
，其中，得到，结合正弦函数的图象进行研究即可．
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