2023-2024学年吉林省长春市部分校高二下学期期末测试数学试卷（含解析）

2023-2024学年吉林省长春市部分校高二下学期期末测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知集合，则( )
A. B. C. D.
3.命题“”是假命题，则实数的取值范围是 ．
A. B. C. D.
4.已知函数则( )
A. B. C. D.
5.曲线在点处的切线的方程为( )
A. B. C. D.
6.若，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.定义在上的奇函数，满足，时，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数是定义在上的奇函数，是的导函数，且当时，，，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于概率统计，下列说法中正确的是( )
A. 两个变量的线性相关系数为，若越小，则与之间的线性相关性越弱
B. 某人解答个问题，答对题数为，若，则
C. 若一组样本数据的样本点都在直线上，则这组数据的相关系数为
D. 已知，若，则
10.已知函数，则( )
A. 有两个极值点 B. 有一个零点
C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线
11.下列四个命题是真命题的是( )
A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 函数的值域为
C. 函数满足，则
D. 若方程的两个不等实根都在区间内，则实数的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知均为正数，且，则的最小值为_________．
13.已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是_____．
14.已知函数，若函数有四个不同的零点其中，则的取值范围是_____．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
随着社会经济的发展，越来越多的人在抵达目的地后选择租车游玩，拉动了许多租车公司的业务，某租车公司为继续开拓市场，提升服务质量，迎接暑假旅游旺季的到来，对近年的暑假的租车业务量单位：十万元进行了汇总研究，情况如下：
年份 年 年 年 年 年
业务量
经过数据分析，已知年份与业务量具有线性相关关系．
假设年为第年，求第年的业务量关于的经验回归方程，并预测年暑假的业务量；
该公司从年暑假租车的客户中随机抽取了名客户进行调研，现将名客户的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请将列联表补充完整并根据小概率值的独立性检验，分析青年群体和中老年群体对租车服务的评价是否有差异．
好评 差评 合计
青年
中老年
合计
附：经验回归直线方程，其中
独立性检验中的，其中．
临界值表：
16.本小题分
某校举行投篮趣味比赛，甲、乙两位选手进入决赛，每位选手各投篮次，选手在连续投篮时，第一次投进得分，并规定：若某次投进，则下一次投进的得分比本次得分多分；若某次未投进，则该次得分，且下一次投进得分已知甲同学每次投进的概率为，乙同学每次投进的概率为，且甲、乙每次投篮相互独立．
求甲最后得分的概率；
记甲最后得分为，求的概率分布和数学期望；
记事件为“甲、乙总分之和为”，求．
17.本小题分
已知，在处取得极小值．
求的解析式；
求的单调区间；
若方程有且只有一个实数根，求的取值范围．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，，为的中点．
求证：平面平面
求二面角的正弦值．
19.本小题分
已知函数．
当时，直线为常数与曲线相切，求的值；
若恒成立，求的取值范围；
若有两个零点，求证：．
答案解析
1.
【解析】解：依题，由，
，解得，
设：，：，
，
是的充分不必要条件．
故选A．
2.
【解析】解：由不等式 ，可得 ，即集合 ，
又由集合 ，所以 ．
故选：．
3.
【解析】解：因为“”是假命题，
所以“”是真命题，则，解得，
故选：．
4.
【解析】解：由 可得 故
，
故选A．
5.
【解析】解：由题可知，所以，
又，所以切线的方程为，即．
6.
【解析】解：依题意， ，
所以 ．
故选：．
7.
【解析】解：因为定义在上的奇函数 ，满足 ，
所以
，
故 的周期为 ，当 时， ，
则 ，所以 ，
所以 ．
故选C．
8.
【解析】解：令，
则．
因为当时，，
所以，
所以在上单调递增，
因为为奇函数，所以为奇函数，
所以在上单调递增，
因为，所以，
所以，即，
所以，
所以．
故的解集为．
故选：
9.
【解析】解：对于，两个变量 的线性相关系数为 ， 越小，则 与 之间的线性相关性越弱，所以A错误
对于，因为 ，所以 ，所以B正确；
对于，
由题意可知 就是回归方程，因为 ，所以为正相关，所以 ，
因为样本点都在直线 上，所以 ，所以C正确；
对于，因为 ， ，
所以 ，所以D正确，
故选：．
10.
【解析】解：选项A： 则 恒成立，故 单调递增，故 不存在两个极值点，故选项A错误．
选项B 又 单调递增，故 有一个零点，故选项B正确，
选项C： 故点 是曲线 的对称中心，故选项C正确，
选项D：令 ，即 ，
令 ，则令 ，
则
当 则当切线斜率为 切点为 则切线方程为： 与 不相等，
当 时同样切线方程不为 ，故选项D错误．
故选：．
11.
【解析】解：A. 因为函数 的定义域为 ，所以 ，解得 ，所以函数 的定义域为 ，故是真命题；
B. 函数 的定义域为 ，且在定义域上单调递增，所以函数 的值域为 ，故不是真命题；
C. 由 ，得 ，联立解得 ，故不是真命题；
D.令 ，因为 的两个不等实根都在区间 内，
所以 ，即 ，
解得 ，所以实数 的取值范围为 ，故是真命题；
故选：
12.
【解析】解：因为 均为正数，且 ，所以 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为．
故答案为：
13.
【解析】解：根据题意可知函数 在 上单调递增，
且函数 在 上单调递增；
又函数 在 上是增函数，
需满足 ，解得 ；
所以 的取值范围是 ．
故答案为： ．
14.
【解析】解：作出函数的图象如图所示．
根据条件，结合图形可知，，，
得，
，即，
又，是方程的两实数根，
，，
，
，，
．
故答案为．
15.解： ，
，
，
，
．
．
时， ，
预测年暑假的业务量约为十万元．
列联表如下：
好评 差评 合计
青年
中老年
合计
零假设为 青年群体和中老年群体对租车服务的评价相互独立．
，
根据小概率值 的独立性检验，青年群体和中老年群体对租车服务的评价有差异．
【解析】将表中数据代入公式计算 ，可得回归方程，将方程中的 换成即可求解．
根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
16.解：记事件 为“甲得分”，
的取值为，，，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
记 为乙最后得分，则事件 为“甲分，乙分”，“甲分，乙分”，
“甲分，乙分”，“甲分，乙分”，
，
，
，
，
故 ．
【解析】根据相互独立事件的概率乘法公式可得结果；
易得 的取值为，，，，，，，得出对应概率，可得的概率分布和数学期望；
记 为乙最后得分，则事件 为“甲分，乙分”，“甲分，乙分”，“甲分，乙分”，“甲分，乙分”，得出对应概率，由相互独立事件的概率乘法公式可得结果．
17.解：由题意知 ，
因为 在 处取得极小值 ，
则 ，解得 ，
经检验，满足题意，所以 ，
所以 ；
，
令 ，得 或
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
的单调递增区间为： ；
的单调递减区间为 ．
由上问知道， 的单调递增区间为： ；
的单调递减区间为 且 ， ，
时， ， 时， ，
方程 有且只有一个实数根等价于 有且只有一个实数根，
等价于函数 与 有且只有一个交点，画出草图．
即 或 ，解得 或 ，
所以 的范围为 ．
【解析】根据极值点的意义，构造方程组，解出即可；
求导后令导数值为，求出根，将定义域分区间讨论即可得出单调区间；
画出草图，转化为函数 与 有且只有一个交点问题即可．
18.证明：平面，平面，，，
又，且平面，平面，
所以平面，又 ，所以，
，为的中点，所以，
又，且平面，平面，
所以平面．
又面，
平面平面；
解：以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，，
则．
所以二面角的正弦值为
，
故所求二面角的正弦值为．
【解析】利用线线垂直，即可证明线面垂直，再得面面垂直
建立适当空间坐标系，利用法向量，即可求解．
19.
当时，．
设切点，则
消得，解得，代入得．
方法一：因为，
所以，
当时，设，则，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增．
所以．
又，故恒成立，所以成立．
当时，，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增．
故，解得，又，所以，
综上所述，的取值范围为．
方法二：因为恒成立，
又，所以上式等价于恒成立．
记，则，
设，则．
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增．
所以．
所以当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增．
所以．
故的取值范围为．
方法三：因为恒成立，
又，所以上式等价于恒成立．
记，则，
所以当时，在上单调递减；当时，在上单调递增所以．
令，则，则恒成立．
记，则，
所以在上单调递增，所以，所以．
故的取值范围为．
方法一：因为有两个零点，不妨设，
则，
即，即，
令，则，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增．
所以．
令，则单调递增，
又，所以，即．
由的单调性可知．
思路一：构造函数．
则，
故在上单调递减，
又，所以，则，即，
又，所以，
又在上单调递增，所以．
故．
思路二：要证，即证，即证．
令，即证．
构造函数．
则，
故在内单调递减，则，即．
故．
思路三：因为，即，
令，则
即
要证，即证，
即证，即证，
下同思路一，略．
方法二：因为有两个零点，不妨设，
则，
即．
令，则，
所以当时，单调递减；当时，单调递增．
所以．
令，则单调递增，
又，所以，即
由的单调性可知．
思路一：构造函数．
则
，
令，则，
所以当时，单调递减，
所以当时，，则，所以，
故在上单调递减，又，所以，则，即，
又，所以，
又在上单调递增，所以．
故．
思路二：因为，所以，
即，
令，要证，即证，
即证．
构造函数．
则，
故在上单调递减，则．
故．
注：要证明，即证，构造函数．
则，
故在上单调递减，则故．
思路三：令，则即．
要证，即证，即证．
下同思路二，略．
思路四：对两边取对数，得，下面同方法一．
【解析】根据导数几何意义先求切点，即可得解；
方法一：利用导数求函数的最小值；
方法二：分离参数法，等价于恒成立；
方法三：由题意，分离参数法，等价于恒成立；
方法一：思路一：构造函数，利用导数研究函数单调性；思路二：要证，即证，令，即证；思路三：令，要证，即证，即证，即证，利用导数证明；
方法二：由，令，求其最小值，由的单调性可知，思路一：构造函数，利用导数得证；思路二：令，要证，即证，即证；思路三：令，则，要证，即证，即证；思路四：对两边取对数，得，下面同方法一．
第1页，共1页