2023-2024学年吉林省长春市部分校高一下学期期末测试数学试卷（含解析）

2023-2024学年吉林省长春市部分校高一下学期期末测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，则
C. 对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D. 零向量没有方向
3.已知一组数，，，的平均数是，方差，则数据，，，的平均数和方差分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4.已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为( )
A. B. C. D.
5.如图所示，在矩形中，，，点在边上且，则的值是( )
A.
B.
C.
D.
6.在母线长为的圆锥中，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
7.平行六面体中，底面为正方形，，，为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知，，，若，，共面，则实数的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.袋中有红球个，白球个，黑球个，从中任取个，则互斥的两个事件是( )
A. 至少有一个白球与都是白球 B. 恰有一个红球与白、黑球各一个
C. 至少一个白球与至多有一个红球 D. 至少有一个红球与两个白球
10.如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，为的中点，则( )
A. B.
C. D.
11.下列命题中，正确的是( )
A. 在中，，
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 在中，若，则必是等腰直角三角形
D. 在中，若，，则必是等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.样本数据的上四分位数是_________．
13.在中，，则的形状为________三角形．
14.已知是边长为的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知空间中三点，，，设，．
已知，求的值；
若，且，求的坐标．
16.本小题分
已知平行六面体，底面是正方形，，，设．
试用表示；
求的长度．
17.本小题分
已知，向量，且满足
求点的坐标；
若点在直线为坐标原点上运动，当取最小值时，求点的坐标．
18.本小题分
从某学校的名男生中随机抽取名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人．
求第七组的频率；
估计该校的名男生的身高的平均数和中位数；
若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，，事件，求．
19.本小题分
如图，在四棱柱中，侧棱平面，，，，，为棱的中点，为棱的中点．
证明：；
求异面直线与所成角的余弦值；
求点到平面的距离．
答案解析
1.
【解析】解：由题意知，所以在复平面内对应的点为，位于第四象限，
故选D．
2.
【解析】解：对于，若 为零向量时， 与 不一定共线，故A错误
对于，向量不能比较大小， B错误
对于，因为是非零向量，所以是和它共线的一个单位向量，故C正确；
对于，因为向量是有方向和大小的量，所以零向量是有方向的，零向量的方向是任意的，故D错误
故选：．
3.
【解析】解：由题知，，
，
．
另一组数据的平均数，
另一组数据的方差
．
故选：．
4.
【解析】解：由题意可知 ，
设 在基底 下的坐标为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 在基底 下的坐标为 ．
故选：
5.
【解析】解：以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立如图所示平面直角坐标系．
， ，
，
点 在边 上，且 ， ，
， ，
．
故选：．
6.
【解析】解：圆锥的母线长，侧面展开图的圆心角为，设圆锥的底面半径为，
则圆锥的底面周长为满足，解得；
设圆锥的外接球的球心为，半径为，
如图所示：
则该圆锥的高为；
设外接球的半径为，
在中，，
即，
解得；
所以．
故选：．
7.
【解析】解：由题意， ， ，
又 ， ，
所以 ，即有 ，
故选：．
8.
【解析】解：因为 ， ， 共面，可设 ，即 ，
得： 选：
9.
【解析】解：袋中装有红球个、白球个、黑球个，从中任取个，
在中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立．
在中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B成立；
在中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C不成立；
在中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D成立；
故选：．
10.
【解析】解：在四棱锥 中， 为 的中点，四边形 是平行四边形，
，A正确，B错误；
，D正确，C错误．
故选：
11.
【解析】解：对于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正确；
对于，在锐角中，，，
，，
，因此不等式恒成立，正确；
对于，在中，由，
利用正弦定理可得：，
，
，，
或，
或，
是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，错误．
对于，由于，，由余弦定理可得：，
可得，解得，可得，故正确．
故选：．

12.
【解析】解：将数据从小到大排序可得 ，共个样本数据，
则上四分位数即第 百分位数为 ，即为 ．
故答案为：
13.直角
【解析】解：，
则，即，
由余弦定理可得，，即，
故三角形为直角三角形．
故答案为：直角．
14.
【解析】解：取 中点 ，
为等边三角形， ，则以 为坐标原点可建立如图所示平面直角坐标系，

则 ， ， ，设 ，
． ， ， ，
，则 ，
， ， ，
，
则当 时， 取得最小值 ．
故答案为： ．
15.解：由题知 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ．
因为 ， ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 或 ．
【解析】根据向量坐标运算得出坐标，根据向量垂直数量积为列式计算可得．
根据设出向量坐标，根据，求出参数即可求得；
16.解： ．
，
，
所以
．
【解析】，由此能求出结果．
由题意，结合，由此能求出的长度．
17.解：设 ， ， ，则 ， ，
因为 ．
所以
解得 ．
所以 ，， ．
因为点 在直线 为坐标原点上运动，
所以 ， ， ．
所以 ， ， ，
， ， ．
所以
．
当 时， 取得最小值．
， ，
【解析】设，根据列方程解出，，；
由，，三点共线可设，求出的坐标，得出关于的函数，利用二次函数的性质求出取最小值时对应的的值，从而得出的坐标．
18.解：第六组的频率为，
第七组的频率为：
．
身高在第一组的频率为，
身高在第二组的频率为，
身高在第三组的频率为，
身高在第四组的频率为，
由于，
，
估计这所学校的名男生的身高的中位数为，
则，
由，
解得，
可估计这所学校的名男生的身高的中位数为．
平均数为．
第六组的人数为人，设为，，，，
第八组的人数为人，设为，，
则有，，，，，，，，，，，，，，，共种情况，
事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，
事件包含的基本事件为，，，，，，，共种情况，
故．
【解析】第六组的频率为，由此能求出第七组的频率．
根据平均数和中位数的定义利用频率分布直方图求平均数和中位数；
第六组的人数为人，设为，，，，第八组的人数为人，设为，，利用列举法能求出事件的概率．
19.解：证明：根据题意，在四棱柱中，
因为侧棱平面，所以，
又因为，则以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
则，，，，，，
所以，，所以，
所以，故BC；
根据题意，，，而为棱的中点，则，
，，．
所以异面直线与所成角的余弦值．
设平面的法向量为，，，
则，取，得，
点到平面的距离为：
．
【解析】根据题意，建立空间直角坐标系，求出、的坐标，进而可得，即可得结论；
根据题意，求出、的坐标，由空间向量数量积的计算公式计算可得答案．
利用向量法求解．
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