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【北师大版九年级数学（上）单元测试卷】
第三章：概率的进一步认识
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．在一个不透明的袋中装有2个红球和若干个白球（除颜色外其余均相同），摇匀后从中随机摸出一个球，经过大量重复的试验后发现摸出红球的频率稳定在，则袋中白球的数量是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
解：根据题意知，袋中球的总个数约为（个），
所以袋中白球的个数约为（个），
故选：C．
2．哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
解：画树状图如下：
由树状图可知，共有6种不同情况，和是偶数的共有2种情况，故和是偶数的概率是
，
故选：B
3．如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题：
投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500
投中次数（m） 28 60 78 104 124 153 252
估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（精确到0.01）（ ）
A．0.56 B．0.51 C．0.50 D．0.52
解：根据题意得：
，
，
，
，
，
，
，
由此，估计这位同学投篮一次，投中的概率约是0.50，
故选：C
4．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制成如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．在“石头.剪刀.布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是偶数
C．袋子中有1个红球和2个黄球，除颜色外均相同，从中任取一个球是黄球
D．洗匀后的4张红桃，2张黑桃牌，从中随机抽取一张牌是黑桃
解：A.在“石关.剪刀.布”的游戏中，小时随机出的是“剪刀”概率为，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
B.掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数的概率是，符合这一结果，故此选项符合题意；
C.袋子中有1个红球和2个黄球，除颜色外均相同，从中任取一球是黄球的概率为：，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
D.洗匀后的4张红桃，2张黑桃牌，从中随机抽取一张牌是黑桃的概率为：，不符合这一结果，故此选项不符合题意．
故选：B．
5．如图，是一个游戏转盘，红.黄.蓝三个扇形的圆心角度数分别为..，自由转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
解：∵红色扇形区域的圆心角为，
∴红色区域所占的面积比例为，
即让转盘自由转动，指针停止后落在红色区域的概率是，
故选A．
6．某小组做“频率的稳定性”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能的是( )
次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
频率 0.60 0.30 0.50 0.36 0.42 0.38 0.41 0.39 0.40 0.40
A．四个零件中有一个不合格品，从四个零件中随机抽取一个是不合格品
B．掷一枚一元的硬币，正面朝上
C．不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球
D．三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5
解：依题意得：实验的概率是0.4，
A.四个零件中有一个不合格品，从四个零件中随机抽取一个是不合格的概率为，选项不符合题意；
B.掷一枚一元的硬币，正面向上的概率为，选项不符合题意；
C.不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球的概率是，选项符合题意；
D.三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5的概率为，选项不符合题意，
故选：C
7．某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”.“北斗卫星”.“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们选择不是同一个主题的概率是（ ）
A． B． C． D．
解：把“5G时代”.“北斗卫星”.“高铁速度”三个主题分别记为A.B.C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小刚恰好选择不是同一个主题的结果有6种，
∴小明和小刚恰好选择同一个主题的概率为．
故选：A．
8．十字路口绿灯时，可以直行，左转，右转，甲乙两辆车经过这个十字路口时它们的方向选择是均等，则过十字路口后，两车行走方向相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：列表如下：
直行 左转 右转
直行 （直行，直行） （直行，左转） （直行，右转）
左转 （左转，直行） （左转，左转） （左转，右转）
右转 （右转，直行） （右转，左转） （右转，右转）
共有9种等可能的结果，其中两车行走方向相同的结果有3种，
∴两车行走方向相同的概率为．
故选：C．
9．如图，电路图有只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，已知电路图上的每个部分都能正常工作，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：如图，
设开关分别为：，
画树状图如下：
由树状图可知，共有种等结果，其中能使小灯泡发光的有种，
∴小灯泡发光的概率为，
故选：．
10．通过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，至少有一辆车向左转的概率是（ ）
A． B． C． D．
解：设经过这个十字路口的两辆汽车分别为A，B，画树状图如下：
由树状图可得，一共有9种等可能的结果，其中至少有1辆汽车向左转的结果有5种，
至少有一辆车向左转的概率是．
故选：D．
二.填空题:（每小题3分共15分）
11．一个不透明的袋子中有红球和白球共20个，摇匀后从中随机摸出一球，记下颜色后放回，重复100次，有40次摸到红球，估计口袋中白球的个数是 个．
解：∵共试验100次，其中有40次摸到红球，
∴白球所占的比例为：，
∴口袋中白球的个数约为：（个），
故答案为：12．
12．在一个不透明的纸盒中装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个.
解：设袋子中装有x个红球，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴袋子中红球约有8个，
故答案为：8．
13．在一个不透明的口袋中装有2个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则口袋中白球可能有 个．
解：根据题意得：
，
则口袋中白球个数很可能是6个．
故答案为：6．
14．一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小.质地完全相同，则该小球停留在阴影部分的概率是 ．
解：若将每个方格地砖的面积记为4，则图中地砖的总面积为36，其中阴影部分的面积为7，
所以该小球停留在黑色区域的概率；
故答案为：．
15．生肖也称属相，是中国传统文化中的一种记年方式，是一种十二年一个循环的纪年系统，每年用一种动物来代表，是由十二地支演变而来的．小明手绘了“十二生肖”中的子鼠.丑牛.寅虎三种生肖卡，准备将其中的两张送给好朋友小亮．小明将它们洗匀后背面朝上放在桌面上（手绘生肖卡背面完全相同），让小亮从中随机抽取两张，则小亮抽到的两张生肖卡恰好是子鼠和丑牛的概率是 ．
画出树状图，
共6种等可能结果，恰好抽到子鼠和丑牛的结果有2种，
∴恰好抽到子鼠和丑牛的概率为，．
故答案为：．
三.解答题：（共55分）
16．（6分）在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为.0.1，卡片除了数字不同外，其余都相同．
(1)从盒子中随机抽取一张卡片，抽中负数的概率是多少？
(2)先从盒子中随机抽取一张卡片，卡片不放回，再随机抽取一张卡片，请你用列表或画树状图的方法，求出两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的概率．
（1）解：总共有3种等可能事件，其中抽中负数有，1种情况，
故从盒子中随机抽取一张卡片，抽中负数的概率是；
（2）解：方法1：画树状图如下：
共有6种等可能的结果：
.....
乘积分别为：0，，0，0，，0
所以两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的有4种，
则两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的概率为．
方法2：列表如下：
第1张第2张 0 1
—— 0， 1，
0 ，0 —— 1，0
1 ，1 0，1 ——
共有6种等可能的结果：
.....
乘积分别为：0，，0，0，，0
所以两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的有4种，
则两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的概率为．
17．（7分）在5件同型号的产品中，有2件不合格品和3件合格品．
(1)从这5件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；
(2)在这5件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验．通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.75，求x的值．
（1）解： 从这5件产品中随机抽取1件进行检测，有5种等可能的结果，其中抽到不合格品的情况有2种，
抽到的是不合格品的概率．
答：抽到的是不合格品的概率．
（2）解： 加入x件合格品后，共有件产品，其中2件不合格品，件合格品，随机抽取1件进行检测，有种等可能的结果，其中抽到合格品的情况有种，由于通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.75，
抽到合格品的概率为，
解得，
经检验，是所列方程的根．
答：x的值是3．
18．（8分）某购物商场为促进顾客消费，特设一可自由转动的转盘．顾客凡购物满200元，即有机会转动转盘一次．转盘分为多个区域，每个区域对应不同的优惠券．下表是活动进行中的一组统计数据（结果精确到0.001）：
转动转盘的次数n 50 100 150 200 500 800 1000 2000
落在“减免20元券”区域的次数m 19 39 55 81 b 318 403 800
落在“减免20元券”区域的频率为 a 0.390 0.367 0.405 0.39 0.398 0.403 0.400
请根据表格完成以下问题：
(1)______；
(2)上表中，当转动转盘的次数为500时，落在“减免20元券”区域的频率被墨迹遮挡了部分数字，请估计b的值是______（填写一个值）；
(3)落在“减免20元券”区域的频率的变化有什么规律？
(4)请估计落在“减免20元券”区域的概率是______．
（1）解：；
（2）解：；
（3）解：落在“减免20元券”区域的频率的变化稳定在附近；
（4）解：估计落在“减免20元券”区域的概率是
19．（8分）今年春节电影A《热辣滚烫》，B《飞驰人生2》，C《逆转时空》，D《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．甲.乙两位同学打算去观看这四部影片的其中一部：
(1)甲选择看A电影的概率是_______________；
(2)请用列表或画树状图的方法求甲乙两同学选择观看同一部电影的概率．
（1）解：甲选择看A电影的概率是；
故答案为：．
（2）列表如下：
甲 乙 A B C D
A
B
C
D
由表知共有16等可能出现的结果，其中甲乙两同学选择同一部电影的有4种；
．
20．（8分）很多绿植具有净化空气.缓解压力等功效．小明.小红.小黄三人各自随机选择到甲.乙 2 个花鸟市场购买绿植．
(1)小明选择在甲花鸟市场购买绿植的概率为 ；
(2)求小明.小红.小黄三人在同一花鸟市场购买绿植的概率．
（1）解：小明选择在甲花鸟市场购买绿植的概率为
故答案为：．
（2）画树状图如图：
共有8种等可能的结果，小明.小红和小黄三人在同一花鸟市场购买绿植的结果有2种，
∴小明.小红.小黄三人在同一花鸟市场购买绿植的概率
21．（9分）一个不透明的箱子里装有蓝.白两种颜色的球共个，它们除颜色外其他都相同．李明将球搅匀后从箱子中随机摸出个球，记下颜色后，再将它放回，不断重复实验．多次实验结果如表
摸球次数
白球频率
(1)当摸球次数足够多时，摸到白球的频率将会稳定于 （精确到）左右，从箱子中摸一次估计摸到蓝球的概率是 ．
(2)从该箱子里随机摸出个球，不放回，再摸出个球．用列表法或树状图求摸到个蓝球.个白球率．
（1）解：当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近；则摸到蓝球的概率为；
故答案为：，．
（2）解：由（1）得摸到白球的概率率为，
所以可估计口袋中白球有（个），蓝球的个数有个；
将第一个口袋中个白球分别记为，，，蓝球记为，画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中摸到个蓝球.个白球的情况有种．
∴摸到个蓝球.个白球的概率为．
22．（9分）在互联网时代，随着信息技术的飞速发展，现在人们去商场购物时，消费的支付方式更加多样.便捷．某校数学兴趣小组的同学们设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题：
(1)这次活动共调查了______人；
(2)将条形统计图补充完整．
(3)在某次的购物中，小明和小亮都想从“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
解（1）本次活动调查的总人数为(人)，
故答案为：，
（2）用银行卡支付的人数为(人)，
补全条形统计图如下：
（3）把“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式分别记为..，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小亮两人恰好选择同一种支付方式的结果有3种，
∴小明和小亮两人恰好选择同一种支付方式的概率为
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【北师大版九年级数学（上）单元测试卷】
第三章：概率的进一步认识
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．在一个不透明的袋中装有2个红球和若干个白球（除颜色外其余均相同），摇匀后从中随机摸出一个球，经过大量重复的试验后发现摸出红球的频率稳定在，则袋中白球的数量是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题：
投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500
投中次数（m） 28 60 78 104 124 153 252
估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（精确到0.01）（ ）
A．0.56 B．0.51 C．0.50 D．0.52
4．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制成如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．在“石头.剪刀.布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是偶数
C．袋子中有1个红球和2个黄球，除颜色外均相同，从中任取一个球是黄球
D．洗匀后的4张红桃，2张黑桃牌，从中随机抽取一张牌是黑桃
5．如图，是一个游戏转盘，红.黄.蓝三个扇形的圆心角度数分别为..，自由转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．某小组做“频率的稳定性”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能的是( )
次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
频率 0.60 0.30 0.50 0.36 0.42 0.38 0.41 0.39 0.40 0.40
A．四个零件中有一个不合格品，从四个零件中随机抽取一个是不合格品
B．掷一枚一元的硬币，正面朝上
C．不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球
D．三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5
7．某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”.“北斗卫星”.“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们选择不是同一个主题的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．十字路口绿灯时，可以直行，左转，右转，甲乙两辆车经过这个十字路口时它们的方向选择是均等，则过十字路口后，两车行走方向相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，电路图有只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，已知电路图上的每个部分都能正常工作，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．通过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，至少有一辆车向左转的概率是（ ）
A． B． C． D．
二.填空题:（每小题3分共15分）
11．一个不透明的袋子中有红球和白球共20个，摇匀后从中随机摸出一球，记下颜色后放回，重复100次，有40次摸到红球，估计口袋中白球的个数是 个．
12．在一个不透明的纸盒中装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个.
13．在一个不透明的口袋中装有2个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则口袋中白球可能有 个．
14．一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小.质地完全相同，则该小球停留在阴影部分的概率是 ．
15．生肖也称属相，是中国传统文化中的一种记年方式，是一种十二年一个循环的纪年系统，每年用一种动物来代表，是由十二地支演变而来的．小明手绘了“十二生肖”中的子鼠.丑牛.寅虎三种生肖卡，准备将其中的两张送给好朋友小亮．小明将它们洗匀后背面朝上放在桌面上（手绘生肖卡背面完全相同），让小亮从中随机抽取两张，则小亮抽到的两张生肖卡恰好是子鼠和丑牛的概率是 ．
三.解答题：（共55分）
16．（6分）在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为.0.1，卡片除了数字不同外，其余都相同．
(1)从盒子中随机抽取一张卡片，抽中负数的概率是多少？
(2)先从盒子中随机抽取一张卡片，卡片不放回，再随机抽取一张卡片，请你用列表或画树状图的方法，求出两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的概率．
17．（7分）在5件同型号的产品中，有2件不合格品和3件合格品．
(1)从这5件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；
(2)在这5件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验．通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.75，求x的值．
18．（8分）某购物商场为促进顾客消费，特设一可自由转动的转盘．顾客凡购物满200元，即有机会转动转盘一次．转盘分为多个区域，每个区域对应不同的优惠券．下表是活动进行中的一组统计数据（结果精确到0.001）：
转动转盘的次数n 50 100 150 200 500 800 1000 2000
落在“减免20元券”区域的次数m 19 39 55 81 b 318 403 800
落在“减免20元券”区域的频率为 a 0.390 0.367 0.405 0.39 0.398 0.403 0.400
请根据表格完成以下问题：
(1)______；
(2)上表中，当转动转盘的次数为500时，落在“减免20元券”区域的频率被墨迹遮挡了部分数字，请估计b的值是______（填写一个值）；
(3)落在“减免20元券”区域的频率的变化有什么规律？
(4)请估计落在“减免20元券”区域的概率是______．
19．（8分）今年春节电影A《热辣滚烫》，B《飞驰人生2》，C《逆转时空》，D《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．甲.乙两位同学打算去观看这四部影片的其中一部：
(1)甲选择看A电影的概率是_______________；
(2)请用列表或画树状图的方法求甲乙两同学选择观看同一部电影的概率．
20．（8分）很多绿植具有净化空气.缓解压力等功效．小明.小红.小黄三人各自随机选择到甲.乙 2 个花鸟市场购买绿植．
(1)小明选择在甲花鸟市场购买绿植的概率为 ；
(2)求小明.小红.小黄三人在同一花鸟市场购买绿植的概率．
21．（9分）一个不透明的箱子里装有蓝.白两种颜色的球共个，它们除颜色外其他都相同．李明将球搅匀后从箱子中随机摸出个球，记下颜色后，再将它放回，不断重复实验．多次实验结果如表
摸球次数
白球频率
(1)当摸球次数足够多时，摸到白球的频率将会稳定于 （精确到）左右，从箱子中摸一次估计摸到蓝球的概率是 ．
(2)从该箱子里随机摸出个球，不放回，再摸出个球．用列表法或树状图求摸到个蓝球.个白球率．
22．（9分）在互联网时代，随着信息技术的飞速发展，现在人们去商场购物时，消费的支付方式更加多样.便捷．某校数学兴趣小组的同学们设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题：
(1)这次活动共调查了______人；
(2)将条形统计图补充完整．
(3)在某次的购物中，小明和小亮都想从“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
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