安徽省滁州市2023-2024学年高一下学期期末考试 数学试题(含解析)

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名称 安徽省滁州市2023-2024学年高一下学期期末考试 数学试题(含解析)
格式 docx
文件大小 1.5MB
资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2024-07-20 20:43:35

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文档简介

滁州市2023-2024学年高一下学期期末考试
数 学 试 题
注意事项:
1.答卷前,务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答題卡上对应題目的答案标号涂黑.如需改动,务必擦净后再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合,,,则( )
A. B. C. D.
2. 复数满足(为虚数单位),则的虚部为( )
A. B. C. D.
3. 若,则( )
A. 最大值为 B. 最小值为 C. 最大值为6 D. 最小值为6
4. 下列说法正确的是( )
A. 如果一条直线与一个平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行
B. 如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面
C. 如果一个平面内的两条直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行
D. 如果一条直线与一个平面内的两条直线垂直,那么该直线与此平面垂直
5. 若函数,则( )
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
6. 若,,,则,,的大小关系为( )
A B. C. D.
7. 将一枚质地均匀的骰子抛掷2次,表示事件“没有出现1点”,表示事件“出现一次1点”,表示事件“两次抛出的点数之和是8”,表示事件“两次掷出的点数相等”,则下列结论中正确的是( )
A. 事件与事件是对立事件
B. 事件与事件是相互独立事件
C. 事件与事件是互斥事件
D. 事件包含于事件
8. 设,是平面内相交成角的两条数轴,,分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量,则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.在该坐标系下向量,,若有,则的值是( )
A. 或 B. 或2 C. 或 D. 或2
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9. 截至2021年,中国铁路营运总里程突破15万公里,其中中国高铁运营里程突破4万公里,位于世界榜首,为中国经济的高速发展提供有力的交通保障.下图为2012年至2021年中国高铁每年新增里程折线图,根据图示下列说法正确的有( )
A. 2012年至2021年中国高铁里程平均每年新增约34.5百公里
B. 2012年至2021年中国高铁每年新增里程的中位数为33百公里
C. 2012年至2021年中国高铁每年新增里程上四分位数为21百公里
D. 2012年至2016年中国高铁每年新增里程的方差大于2017年至2021年中国高铁每年新增里程的方差
10. 若函数的图象经过点,则( )
A. 点为函数图象的对称中心
B. 函数的最小正周期为
C. 函数在区间上函数值范围为
D. 函数的单调增区间为
11. 如图,在正四棱柱中,,是中点,则( )
A. 异面直线与所成的角为60°
B. 二面角的平面角正切值为
C. 点到平面的距离为
D. 若平面满足且,则平面截正四棱柱所得截面多边形的周长为
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 已知,则______.
13. 已知向量,满足,则与的夹角为__________.
14. 如图,正四面体,为该正四面体高的中点,过直线的平面与棱平行,且平面截正四面体上半部分得到的棱锥内切球半径为,正四面体的内切球半径为,则__________.
四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知内角,,所对边分别为,,,是边上一点,,,.
(1)求角;
(2)求的长度.
16. 如图,在矩形中,,,是上靠近的三等分点,是的中点,是与的交点.
(1)用向量,表示,;
(2)求余弦值.
17. 如图,在四棱锥中,底面是矩形,,平面,是中点,是中点.
(1)证明:平面;
(2)证明:.
18. 生物医药的开发和应用对解决全球性疾病具有重要意义,生物医药的开发可以帮助解决全球范围内存在的疑难杂症,如癌症、艾滋病、糖尿病等,同时也可以为未来的新病毒和新疾病提供有效的治疗手段.而试验是生物制药中不可缺少的重要环节.某生物制药公司对甲、乙两种新药物的某项指标值()进行实验.对注射甲种药物的20只小白鼠,测量得出该项指标值的数据并绘制表格如图1;对注射乙种药物的30只小白鼠,测量得出该项指标值的数据并绘制频率分布直方图如图2.临床观察表明当值越大,药物对病毒的抑制效果越好.当值大于40时,认为药物有效;当值大于80时,认为药效显著.(假设同一组中的每个数据可用该组区间的中间值代替).

频数 2 3 7 4 3 1
(1)求图2中的值以及注射乙种药物指标值的中位数;
(2)若按分层抽样从注射甲、乙两种药物且药效显著样本中抽取5件,再从这5件中抽取2件样本作进一步临床实验.记事件表示“2件样本均是来自注射同一种药物的实验组”,事件表示“2件样本中至少有1件样本来自注射乙药物的实验组”,求;
(3)从注射甲药物有效组中随机抽取10个样本.其指标值平均数为,方差;从注射乙药物的有效组中随机抽取20个样本.其指标值平均数为,方差.计算上述30个样本数据均值,方差.
19. 1715年英国数学家泰勒发现了如下公式:(其中,为自然对数的底数,).已知.
(1)证明:;
(2)设,证明:;
(3)若,恒成立,求的取值范围.
参考答案
1. D
【解析】由题意可得,,则.
2. A
【解析】因为,所以,则的虚部为;
3. A
【解析】任取,
则,
因为,所以,,故,
所以即,
所以在单调递增;同理可证在单调递减,
所以.
4. B
【解析】对于A,如果这条直线在平面内,则该直线与平面不平行;故A错误;
对于B,如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面,故B正确;
对于C,如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行,故C错误;
对于D,如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直,故D错误;
5. D
【解析】由题.
6. C
【解析】根据函数在单调递增,知道,
根据函数在单调递减,知道,
根据函数在单调递减,知道,
综上所得,.
7. D
【解析】将一枚质地均匀的骰子抛掷2次,总共有36种.
表示事件“没有出现1点”,包含,共25种.
表示事件“出现一次1点”,包含共10种,则A错误.
表示事件“两次抛出的点数之和是8”,包含,共5种,
表示事件“两次掷出的点数相等”,包含,共6种.事件与事件不互斥.故C错误.
由上面分析知道包含,5种情况.且,,,由于,则事件与事件不是相互独立事件.故B错误.
显然事件包含于事件,故D正确.
综上所得,正确的只有D.
8. C
【解析】由题可得,且,
,,所以,,
由于,则,
即,
即,解得:或;
9. BD
【解析】将2012年至2021年中国高铁每年新增里程从小到大排序为,
则平均数为,故A错误;
中位数为,故B正确;
,则上四分位数为,故C错误;
2012年至2016年中国高铁每年新增里程的平均数为,
则方差为,
2017年至2021年中国高铁每年新增里程的平均数为,
则方差为,
故D正确;
10. ACD
【解析】由题,又,故,所以,
对于A,令,则,
所以的对称中心为,
当时,,故点为函数图象的一个对称中心,故A正确;
对于B,由上的最小正周期为,故B错误;
对于C,当,,故,故C正确;
对于D,令,所以,
所以函数的单调递增区间为,无单调递减区间,
令即,所以即,
所以函数的零点为,
所以函数的单调递增区间为,故D正确.
11. BCD
【解析】对于A,连接,则∥,所以为异面直线与所成的角,
因为在正四棱柱中,,
所以,,
所以,
所以,所以A错误;
对于B,设,连接,则,
因为平面,平面,所以,
因为,平面,所以平面,
因平面,所以,
所以为二面角的平面角,
因为,
所以,
所以二面角的平面角正切值为,所以B正确,
对于C,设点到平面的距离为,
因为,
所以,
因为,所以,
所以,得,所以C正确;
对于D,连接,
因为在正四棱柱中,,是中点,
所以,

所以,所以,同理可证,
因为,平面,
所以平面,
所以平面截正四棱柱所得截面多边形为,
因为,所以的周长为,
所以平面截正四棱柱所得截面多边形的周长为,所以D正确.
12.
【解析】.
13.
【解析】,
,则与的夹角为.
14.
【解析】
正四面体的各条棱相等,各个面都是全等的正三角形.
设正四面体的棱长为 ,其体积可以通过将正四面体分割成四个等体积的三棱锥来计算,每个三棱锥的高为内切球半径 ,
则正四面体的体积 为 .
取中点N,连接,直线交于T,过作的平行线,交于E,交于F,连接,
因为,不在平面内,平面,
所以平面,平面,
所以截面是平面.
在中,,
设,所以,
又因为三点共线,可以得出,
设截面棱锥的内切球半径为,

因为,所以,,
在中,,


所以,
所以,



.
15. (1)
(2)
【解析】(1)因为,所以,
所以由余弦定理得,
因为,所以;
(2)在中,,,
所以由正弦定理得,
所以,得.
16. (1),
(2)
【解析】(1)由题意可得,,
所以,.
(2)由图可知,
由(1)得,
且,

所以
17. (1)证明:取的中点,连接,,
因为为中点, 是中点,
所以,,
又因为底面是矩形,是中点,
所以,,
所以,,
则四边形平行四边形;
所以,
又平面,平面,
所以平面
(2)证明连接与交于,
设,底面是矩形,
则,,
因为,
所以,,
则与相似,所以,
所以,,
则,
所以
即,
又因为平面,平面,
所以,
由于,,平面,
所以平面,
因为平面,
所以
18. (1);注射乙种药物指标值的中位数为
(2)
(3);
【解析】(1)由频率之和为1以及频率分布直方图得,,
则前3组频率之和为,
前4组频率之和为,
所以注射乙种药物指标值的中位数在内为.
(2)由题甲、乙两种药物药效显著的频数分别为、,
故按比例从中抽取5件则从甲种药物中抽件,记为M、N,从乙种药物中抽件,记为a、b、c,
再从这5件中抽取2件样本的样本空间为共10个样本点,
则共4个样本点,共9个样本点,
所以,故.
(3)由题,
故.
19. (1)证明:由题,

故.
(2)证明:由题,
所以
,即得证.
(3)
【解析】(3)由题定义域为,且,
故函数是偶函数,
任取,则,
因为,所以、,,
所以,所以,故,
所以,即,
所以在上单调递减,则由函数的奇偶性得在上单调递增,
所以在上恒成立,
则在上恒成立,
又因为当时,,所以
所以即在上恒成立,
所以,,

,,
因为,所以,,
所以,
故,即,

因,所以,故,
所以,
故,即,
综上得,即的范围为.
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