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【北师大版九年级数学（上）单元测试卷】
第四章：图形的相似
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．如果，则下列各式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A.如果，则，所以A选项的等式不成立，符合题意；
B.如果，则，所以B选项的等式成立，不符合题意；
C.如果，则，所以C选项的等式成立，不符合题意；
D.如果，则，所以D选项的等式成立，不符合题意；
故选：A．
2．在中，，，，则等于（ ）
A．10 B．8 C．9 D．6
解：∵，，
∴，
∵，
∴＝，
解得：，
故选：D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．所有的矩形都是相似形 B．对应边成比例的两个多边形相似
C．对应角相等的两个多边形相似 D．有一个角等于的两个等腰三角形相似
解：A.对应角都相等，但对应边的比值不一定相等，故此选项不符合题意；
B.对应边成比例，但对应角不一定相等，故此选项不符合题意；
C.对应角相等，但对应边的比值不一定相等，故此选项不符合题意；
D.有一个角等于的两个等腰三角形相似，此角度一定是顶角，即可得出两三角形相似，故此选项符合题意；
故选：D．
4．若两个相似多边形的面积之比为，则它们的相似比为（ ）
A． B． C． D．
解：由题意知，若两个相似多边形的面积之比为，则它们的相似比为，
故选：A．
5．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A． B． C． D．
解：根据题意可得：，；
A．三角形中没有角，图中的三角形（阴影部分）与不相似．
B．夹的两边之比为：，图中的三角形（阴影部分）与相似．
C．三角形中没有角，图中的三角形（阴影部分）与不相似．
D．三角形中没有角，图中的三角形（阴影部分）与不相似．
故答案为：B．
6．如图，已知，添加下列条件后，能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
解：∵，
∴，
.添加，不能判定，此选项不符合题意；
.添加，不能判定，此选项不符合题意；
.添加，利用“两角分别对应相等的两个三角形相似”能判定，此选项符合题意；
.添加，不能判定，此选项不符合题意．
故选：C．
7．下列各组图形必相似的是（ ）
A．任意两个等腰三角形
B．两边为1和2的直角三角形与两边为2和4的直角三角形
C．有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两三角形
D．两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形
解A. 任意两个等腰三角形，各内角的值不确定，故无法证明三角形相似，故本选项错误;
B.因为不能判定已知边2和4是直角边还是斜边，故无法判定三角形相似，故本选项错误；
C. 两边对应成比例，必须夹角相等才能判定三角形相似，故本选项错误;
D. 两边和一边的中线均对应成比例，即可以判定两三角形中对应成比例的边的夹角相等，即可判定三角形相似，故本选项正确.
故本题选D.
8．如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接，，过点A作于点F．设，，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（ ）
A． B． C． D．
解：如图，过D作，交延长线于H，则，
∵在菱形中，，，
∴，，，
∴，，
在中，，
∵，
∴，又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
9．如图，和是以点为位似中心的位似图形，已知点，点，点，点，那么点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
解：设点D的坐标为，
∵和是以点A为位似中心的位似图形，
∴，，
解得，
∴点D的坐标为．
故选：B．
10．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于，交于，下列说法正确的是（ ）
①②③④
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③④
解：①∵，是高
∴,
∵是角平分线
∴
∴∠AEG=∠DGB
∵∠DGB=∠AGE
∴，故该说法正确；
②因为是中线，是角平分线，得不到∠HCB=∠HBC，故该说法错误；
③∵,
∴∠EAG=∠DBA
∵∠DBA=2∠EBC，
∴∠EAG=2∠EBC，故该说法正确；
④根据中线平分面积，可得，故该说法正确．
故选C．
二.填空题:（每小题3分共15分）
11．若，则 ．
解：设
∴，，，
∴
故答案为：．
12．如图，在中，，正方形的边在的边上，顶点，分别在边，上，若，则正方形的边长的值为 ．
解∵四边形是正方形，
∴，．
，
，
，
∴，
，
∴，
，
∴．
故答案为．
13．如图，，，则为 ．
解，
，
相似比为，即，
，
；
故答案为：3．
14．如图，以点O为位似中心，作的位似图形．已知，若的面积是3，则的面积为 ．
解∶与位似，
，，
，
，
，
∵的面积是3，
的面积，
故答案为：27．
15．如图，是平行四边形的边的垂直平分线，垂足为点，与的延长线交于点，连接..，且与交于点，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④．其中结论正确的是 ．（填序号）
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，故①正确；
∵，，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故③错误．
设的面积为，则的面积为，的面积为，的面积的面积，
∴四边形的面积为，的面积为，
．故④正确，
故答案为：①②④．
三.解答题：（共15分）
16．（6分）如图，在中，点D.E分别在.上，连接，若，，，求的长．
解：，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：．
17．（7分）如图，在中，于E，于F，与分别相交于点G，H．
(1)求证：；
(2)若，求证；四边形是菱形．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，，
∴，
∴．
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，，
∴．
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴是菱形．
18．（8分）如图，在中，，，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的面积．
（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：由（）可得，
∴，
∵，
∴，解得：．
19．（8分）如图，在的方格纸中，有，仅用无刻度的直尺，分别按要求作图：
(1)在图1中，找到一格点，使与全等；
(2)在图2中，在上找一点，使得．
（1）解：如图1中，点即为所求；
（2）如图2中，点即为所求．
20．（8分）如图，和表示两根直立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根钢筋，和的交点为M．
(1)若，，求点M离地面的高度；
(2)若，，，请判断a，b，l三者之间的关系，并说明理由．
（1）解：∵，
，
∴①
∵，
，
∴
∴②
∴①②得，，
∴解得；
（2）解：∵，
，
∴①
∵，
，
∴
∴②，
∴①②得，
∴．
21．（9分）如图，在平行四边形中，点在边上，交于点，．
(1)求证：；
(2)如果．
①求的长；
②若，求的长．
（1）证明：四边形是平行四边形
，
，
．
，即．
（2）①解：
，即
，
解得：（舍去负值）
②解：
，
22．（9分）中，，，P为上的动点，小慧拿含角的透明三角板，使角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转．
(1)如图a，当三角板的两边分别交.于点E.F时．求证：；
(2)将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交的延长线.边于点E.F．与还相似吗？说明理由．
(3)在（2）的条件下，连接，动点P在上运动的过程中，是否存在与相似的情况？若不存在请说明理由，若存在请说出点P的位置，并证明．
（1）解：，，
，
，
，
，
，
又，
；
（2）解：相似，理由如下：
，，
，
，
，
，
，
又，
；
（3）解：动点P运动到中点位置时，存在与相似的情况，证明如下：
由题意可知，，
同（1）理可得，，
，
若，则，
，
，
点在的中点位置．
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第四章：图形的相似
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．如果，则下列各式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在中，，，，则等于（ ）
A．10 B．8 C．9 D．6
3．下列说法正确的是（ ）
A．所有的矩形都是相似形 B．对应边成比例的两个多边形相似
C．对应角相等的两个多边形相似 D．有一个角等于的两个等腰三角形相似
4．若两个相似多边形的面积之比为，则它们的相似比为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知，添加下列条件后，能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列各组图形必相似的是（ ）
A．任意两个等腰三角形
B．两边为1和2的直角三角形与两边为2和4的直角三角形
C．有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两三角形
D．两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形
8．如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接，，过点A作于点F．设，，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（ ）
A． B． C． D．
9．如图，和是以点为位似中心的位似图形，已知点，点，点，点，那么点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于，交于，下列说法正确的是（ ）
①②③④
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③④
二.填空题:（每小题3分共15分）
11．若，则 ．
12．如图，在中，，正方形的边在的边上，顶点，分别在边，上，若，则正方形的边长的值为 ．
13．如图，，，则为 ．
14．如图，以点O为位似中心，作的位似图形．已知，若的面积是3，则的面积为 ．
15．如图，是平行四边形的边的垂直平分线，垂足为点，与的延长线交于点，连接..，且与交于点，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④．其中结论正确的是 ．（填序号）
三.解答题：（共15分）
16．（6分）如图，在中，点D.E分别在.上，连接，若，，，求的长．
17．（7分）如图，在中，于E，于F，与分别相交于点G，H．
(1)求证：；
(2)若，求证；四边形是菱形．
18．（8分）如图，在中，，，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的面积．
19．（8分）如图，在的方格纸中，有，仅用无刻度的直尺，分别按要求作图：
(1)在图1中，找到一格点，使与全等；
(2)在图2中，在上找一点，使得．
20．（8分）如图，和表示两根直立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根钢筋，和的交点为M．
(1)若，，求点M离地面的高度；
(2)若，，，请判断a，b，l三者之间的关系，并说明理由．
21．（9分）如图，在平行四边形中，点在边上，交于点，．
(1)求证：；
(2)如果．
①求的长；
②若，求的长．
22．（9分）中，，，P为上的动点，小慧拿含角的透明三角板，使角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转．
(1)如图a，当三角板的两边分别交.于点E.F时．求证：；
(2)将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交的延长线.边于点E.F．与还相似吗？说明理由．
(3)在（2）的条件下，连接，动点P在上运动的过程中，是否存在与相似的情况？若不存在请说明理由，若存在请说出点P的位置，并证明．
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