人教版2024-2025学年度八年级上册数学第11章《三角形》单元检测题(含详细解答)

人教版2024-2025学年度八年级数学单元检测题
第11章《三角形》
时间：100分钟 满分：120分
题号 一 二 三 总分
得分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．在下列四个图形中，线段BD是△ABC中AC边上的高的图形是（　　）
A． B． C． D．
2．已知三角形两边的长分别是4cm和8cm，则此三角形第三边的长可能是（　　）
A．2cm B．4cm C．8cm D．12cm
3．下列生活中的一些事实运用了“三角形稳定性”的是（　　）
A．B． C．D．
4．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝40°，则∠B的度数为（　　）
A．40° B．45° C．50° D．70°
5．如图，已知∠ACD＝119°，∠B＝19°，则∠A的度数是（　　）
A．100° B．119° C．90° D．30°
6．三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上（　　）根木条．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知一个多边形的内角和是1440°，则这个多边形是（　　）
A．八边形 B．十边形 C．九边形 D．七边形
8．如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角，得到六边形ABCDGF，则下列说法正确的是（　　）
①周长变大；②周长变小；③外角和增加180°；④六边形ABCDGF的内角和为720°．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
9．如图，将一张三角形纸片ABC的三角折叠，使点A落在△ABC的A′处折痕为DE，若∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是（　　）
A．γ＝180°﹣α﹣β B．γ＝α+2β
C．γ＝2α+β D．γ＝α+β
10．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC和外角∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2， ，∠A2023BC和∠A2023CD的平分线交于点A2024，则∠A2024的度数为（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是 　 　．
12．如果不等边三角形的三边长分别是2、7、x﹣1，那么整数x的取值是 　 　．
13．2024边形的外角和等于 　 　．
14．在△ABC中，，则最大的内角为 　 　度．
15．将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α的度数是 　 　．
16．如图，在一个三角形的纸片（△ABC）中，∠C＝90°，则图中∠1+∠2的度数为 　 　°．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）如图，在△ABC中，D是BC上的一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠B＝40°，求∠BAC的度数．
18．（8分）已知一个多边形的边数为n．
（1）若n＝6，则这个多边形的内角和为 　 　．
（2）若这个多边形的内角和的比一个七边形的外角和多72°，求n的值．
19．（8分）如图，小明从点A出发，前进10m后向右转30°，再前进10m后又向右转30°，……，如此反复下去，直到她第一次回到出发点A，他所走的路径构成了一个正多边形．
（1）求小明一共走了多少米；
（2）求这个正多边形的内角和．
20．（8分）已知△ABC的三边分别为a，b，c．
（1）若a＝1，b＝7，c为整数，求△ABC的周长．
（2）化简：|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|+|a+b+c|．
21．（8分）如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠C＝70°．
（1）求∠AOB的度数；
（2）若∠ABC＝60°，求∠DAE的度数．
22．（10分）阅读下列材料，并完成相应的任务：
我们把如图1所示的四边形称为凸四边形，它的内角和为360°，把如图2所示的五边形称为凸五边形，它的内角和为540°．我们把如图3所示的四边形称为凹四边形，它的内角和是360°吗？答案是肯定的．它的证明方法和证明凸四边形的内角和为360°的方法相同．证明方法如下：如图3，连接AC．∵∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，…，
任务：（1）将凹四边形的内角和为360°的证明过程补充完整．
（2）如图3，在凹四边形ABCD中，求证：∠BCD＝∠BAD+∠B+∠D．
（3）如图4，在四边形ABCD中，已知∠A＝70°，∠B＝28°，∠BCD＝150°，求∠D的度数．
23．（12分）如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．
（1）∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，求∠BOC的度数，并说明理由．
（2）题（1）中，如将“∠ABC＝40°，∠ACB＝80°”改为“∠A＝60°”，求∠BOC的度数．
（3）若∠A＝m°，直接写出∠BOC的度数．
24．（12分）如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．
（1）如图1，若α+β＝120°，求∠MBC+∠NDC的度数；
（2）如图1，试说明：∠MBC+∠NDC的度数与α，β的数量关系．
（3）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝30°，请写出α、β所满足的等量关系式；
（4）如图2，若α＝β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【解答】解：A、线段BD不是△ABC中AC边上的高，不符合题意；
B、线段BD是△ABC中AC边上的高，符合题意；
C、线段BD不是△ABC中AC边上的高，不符合题意；
D、线段BD不是△ABC中AC边上的高，不符合题意；
故选：B．
2．【解答】解：设三角形的第三边为x cm，
则x的取值范围为8﹣4＜x＜8+4，
即4＜x＜12．
故选：C．
3．【解答】解：儿童座架利用三角形的稳定性，座架形成三角形不变形，结实，故C符合题意；
A、B、D不是三角形，故选项不符合题意．
故选：C．
4．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝40°，
∴∠B＝90°﹣40°＝50°，
故选：C．
5．【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠A+∠B，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝119°﹣19°＝100°．
故选：A．
6．【解答】解：过五边形的一个顶点作对角线，有5﹣3＝2条对角线，所以至少要钉上2根木条．
故选：B．
7．【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意得：（n﹣2） 180°＝1440°，
解得n＝10，
则这个多边形是十边形．
故选：B．
8．【解答】解：∵将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角，得到六边形ABCDGF，EF+EG＞FG，
∴该六边形的周长比原五边形的周长小，
∴①的说法错误，②的说法正确；
∵多边形的外角和与边数无关，都是360°，
∴③的说法错误；
∵五边形的边数增加了1，
∴根据多边形内角和定理可知六边形ABCDGF的内角和为（6﹣2）×180°＝720°．
∴④的说法正确；
综上可知：说法正确的是②④，
故选：D．
9．【解答】解：如图，设AC交DA′于F．
由折叠得：∠A＝∠A'，
∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，
∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，
∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，
故选：C．
10．【解答】解：∠ABC和外角∠ACD的平分线交于点A1，
∴设∠ABA1＝∠CBA1＝α，∠ACA1＝∠DCA1＝β，
∴∠ABC＝2α，∠ACD＝2β，
由三角形外角性质得：∠DCA1＝∠CBA1+∠A1，∠ACD＝∠ABC+∠A，
即β＝α+∠A1，2β＝2a+∠A，
∴2（α+∠A1）＝2α+∠A，
∴∠A1＝∠A，
同理：∠A2＝∠A1＝∠A，∠A3＝∠A2＝∠A，
…，以此类推，∠An＝∠A，
∴当∠A＝60°时，∠A2024＝∠A＝．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
12．【解答】解：∵不等边三角形的三边长分别是2、7、x﹣1，
∴7﹣2＜x﹣1＜7+2，
解得6＜x＜10，
∴整数x的取值是7，8，9．
故答案为：7，8，9．
13．【解答】解：∵多边形的外角和为360°，
∴2024边形的外角和等于360°．
故答案为：360°．
14．【解答】解：设∠A＝x，则∠B＝2x、∠C＝3x，
由三角形内角和定理得到，x+2x+3x＝180°，
解得，x＝30°，
∴三角形中最大的内角为∠C＝3x＝90°，
故答案为：90．
15．【解答】解：如图，
∵∠ABC＝90°，∠CBD＝45°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝45°，
∴∠α＝∠A+∠ABD＝60°+45°＝105°．
故答案为：105°．
16．【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠1+∠2+∠A+∠B＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°，
故答案为：270．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．【解答】解：∵∠1＝∠2，∠B＝40°，
∴∠2＝∠1＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
又∵∠2是△ADC的外角，
∴∠2＝∠3+∠4，
∵∠3＝∠4，
∴∠2＝2∠3，
∴∠3＝∠2＝35°，
∴∠BAC＝∠1+∠3＝105°．
18．【解答】解：（1）根据题意，得（6﹣2）×180°＝720°，
故答案为：720°；
（2）根据题意，得，
解得n＝14．
19．【解答】解：（1）∵所经过的路线正好构成一个外角是30度的正多边形，
∴360÷30＝12，12×10＝120（米）；
答：小明一共走了120米；
（2）根据题意得：
（12﹣2）×180°＝1800°，
答：这个多边形的内角和是1800°．
20．【解答】解：（1）∵△ABC的三边分别为a，b，c，
∴b﹣a＜c＜b+a，
∵a＝1，b＝7，
∴6＜c＜8，
∵c为整数，
∴c＝7，
∴△ABC的周长为：a+b+c＝1+7+7＝15；
（2）∵△ABC的三边分别为a，b，c，
∴a+b＞c，a+c＞b，a+b+c＞0，
∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，
∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|+|a+b+c|
＝a+b﹣c﹣[﹣（b﹣a﹣c）]+a+b+c
＝a+b﹣c+b﹣a﹣c+a+b+c
＝a+3b﹣c．
21．【解答】解：（1）∵AE、BF是∠BAC、∠ABC的角平分线，
∴，
在△ABC中，∠C＝70°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C＝110°，
∴；
（2）∵在△ABC中，AD是高，∠C＝70°，∠ABC＝60°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°，∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝50°
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝25°﹣20°＝5°，
∴∠DAE＝5°．
22．【解答】解：（1）∵∠DAC+∠D+∠ACD＝180°，
∵凹四边形的内角和＝∠BAC+∠B+∠ACB+∠DAC+∠D+∠ACD，
∴∠BAC+∠B+∠ACB+∠DAC+∠D+∠ACD＝360°，
∴∠BAD+∠B+∠α+∠D＝360°，
∴凹四边形ABCD的内角和为360°．
（2）∵∠BAD+∠B+∠α+∠D＝360°，
∴∠BAD+∠B+∠D＝360°﹣∠α．
∵∠α+∠BCD＝360°，
∴∠BCD＝360°﹣∠α，
∴∠BCD＝∠BAD+∠B+∠D．
（3）由（2）可知，∠BCD＝∠A+∠B+∠D．
∵∠A＝70°，∠B＝28°，∠BCD＝150°，
∴150°＝70°+28°+∠D，
∴∠D＝150°﹣70°﹣28°＝52°．
23．【解答】解：∵BO、CO是角平分线，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB．
（1）∠BOC的度数为120°，理由：
∵∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，
∴∠OBC＝20°，∠OCB＝40°．
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，
∴∠BOC＝120°．
（2）∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°．
∴（∠ABC+∠ACB）＝60°，即∠OBC+∠OCB＝60°．
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，
∴∠BOC＝120°．
（3）∵∠A＝m°，
∴∠ABC+∠ACB＝（180﹣m）°．
∴（∠ABC+∠ACB）＝（90﹣）°，即∠OBC+∠OCB＝（90﹣）°．
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，
∴∠BOC＝（90+）°．
24．【解答】解：（1）由四边形内角和得，
∠ABC+∠ADC＝360°﹣（α+β），
∴∠MBC+∠NDC
＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ADC
＝360°﹣（∠ABC+∠ADC）
＝360°﹣360°+α+β
＝α+β
＝120°；
（2）∠MBC+∠NDC＝α+β，
理由：由四边形内角和得，
∠ABC+∠ADC＝360°﹣（α+β），
∴∠MBC+∠NDC
＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ADC
＝360°﹣（∠ABC+∠ADC）
＝360°﹣360°+α+β
＝α+β；
（3）如图1，连接BD，
由（2）得，∠MBC+∠NDC＝α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBG＝∠MBC，∠CDG＝∠NDC，
∴∠CBG+∠CDG＝∠MBC+∠NDC＝（∠MBC+∠NDC）＝（α+β），
在△BCD中，∠BDC+∠CBD＝180°﹣∠BCD＝180°﹣β，
在△BDG中，∠GBD+∠GDB+∠BGD＝180°，
∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD＝180°，
∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CBD）+∠BGD＝180°，
∴（α+β）+180°﹣β+30°＝180°，
∴β﹣α＝60°；
（4）平行，
理由：如图2，延长BC交DF于H，
由（1）得，∠MBC+∠NDC＝α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBE＝∠MBC，∠CDH＝∠NDC，
∴∠CBE+∠CDH＝∠MBC+∠NDC＝（∠MBC+∠NDC）＝（α+β），
∵∠BCD＝∠CDH+∠DHB，
∴∠CDH＝∠BCD﹣∠DHB＝β﹣∠DHB，
∴∠CBE+β﹣∠DHB＝（α+β），
∵α＝β，
∴∠CBE+β﹣∠DHB＝（β+β）＝β，
∴∠CBE＝∠DHB，
∴BE∥DF．