湘教版八年级下册（新）第2章《2.2.2 平行四边形的判定》同步练习

2.2.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定定理1，2
要点感知1 一组对边平行且__________的四边形是平行四边形.
预习练习1-1 如果□ABCD和□ABEF有公共边AB，那么四边形DCEF是__________.
要点感知2 两组对边分别相等的四边形是__________四边形.
预习练习2-1 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，若∠A=110°，则∠C=__________.
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知识点1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1.如图，在四边形ABCD中，点E是BC ( http: / / www.21cnjy.com )边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，AB=BF.添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形.你认为下面四个条件中可选择的是( )
A.AD=BC B.CD=BF C.∠A=∠C D.∠F=∠CDE
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2.如图，□ABCD中，点E、F分别为边AB、DC的中点，则图中共有平行四边形的个数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
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3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD， ( http: / / www.21cnjy.com )要使得四边形ABCD是平行四边形，应添加的条件是__________.(只填写一个条件，不使用图形以外的字母和线段)
4.如图，已知四边形ABCD中，AB=CD，∠BAC=∠DCA，求证：四边形ABCD是平行四边形.
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5.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，BO=DO.求证：四边形ABCD是平行四边形.
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知识点2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
6.四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠B=50°，则∠A=__________.
7.如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC ( http: / / www.21cnjy.com )长为半径作弧，再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD、CD.若∠B=65°，则∠ADC的大小为__________.
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8.已知四边形ABCD的四条边长满足(AB-CD)2+(AD-BC)2=0，求证：AB∥CD.
9.点A、B、C、D在同一 ( http: / / www.21cnjy.com )平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD这四个条件中任意选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的有( )
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
10.如图，□ABCD中，∠ABC=60°，点E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，则AB的长是__________.
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11.如图，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE.求证：四边形DEBF是平行四边形.
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12.如图，在□ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF.求证：四边形BEDF是平行四边形.
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13.如图，在平行四边形ABCD中，∠C=60°，M、N分别是AD、BC的中点，BC=2CD.
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(1)求证：四边形MNCD是平行四边形；
(2)求证：BD=3MN.
14.如图，在梯形ABCD中，AD∥B ( http: / / www.21cnjy.com )C，AD＝6，BC＝16，点E是BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动.点P停止运动时，点Q也随之停止运动.求当运动时间t为多少秒时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形
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参考答案
要点感知1 相等
预习练习1-1 平行四边形
要点感知2 平行
预习练习2-1 110°
1.D 2.B 3.答案不唯一，如AB＝CD或BC∥AD
4.证明：∵∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD.
又∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
5.证明：∵AB∥CD，
∴∠ABO=∠CDO，∠BAO=∠DCO.
又∵BO=DO，
∴△AOB≌△COD（AAS）.
∴AB=CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
6.130° 7.65°
8.证明：∵(AB-CD)2+(AD-BC)2=0，
∴AB-CD=0，AD-BC=0.
∴AB=CD，AD=BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AB∥CD.
9.B 10.1
11.证明：∵BE∥DF，
∴∠AFD=∠CEB.
又∵∠ADF=∠CBE，AF=CE，
∴△ADF≌△CBE(AAS).
∴DF=BE.
又∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形.
12.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，AD=CB，∠DAB=∠BCD.
又∵△ADE和△CBF都是等边三角形，
∴DE=BF，AE=CF，∠DAE=∠BCF=60°.
∴∠BCD-∠BCF=∠DAB-∠DAE，即∠DCF=∠BAE.
∴△DCF≌△BAE(SAS).
∴DF=BE.
∴四边形BEDF是平行四边形.
13.证明：(1)∵ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC.
∵M、N分别是AD、BC的中点，
∴MD=NC，MD∥NC.
∴MNCD是平行四边形；
(2)连接ND，
∵MNCD是平行四边形，
∴MN=DC.
∵N是BC的中点，
∴BN=CN.
∵BC=2CD，∠C=60°，
∴△NCD是等边三角形.
∴ND=NC，∠DNC=60°.
∵∠DNC是△BND的外角，
∴∠NBD+∠NDB=∠DNC.
∵DN=NC=NB，
∴∠DBN=∠BDN=∠DNC=30°.
∴∠BDC=90°.
∴BC=2DC，BD===DC.
又DC=MN，∴BD=MN.
14.由题意可知，AP=t，CQ=2t，CE=BC=8.
∵AD∥BC，
∴当PD＝EQ时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形.
当2t＜8即t＜4时，点Q在C、E之间，如图甲.
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此时，PD＝AD-AP＝6-t，EQ＝CE-CQ＝8-2t，由6-t＝8-2t得t＝2.
当8<2t<16即4( http: / / www.21cnjy.com )
此时，PD＝AD-AP＝6-t，EQ＝CQ-CE＝2t-8，由6-t＝2t-8得t＝.
∴当运动时间为2或时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形.
第2课时 平行四边形的判定定理3
要点感知1 对角线__________的四边形是平行四边形.
预习练习1-1 在四边形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，对角线AC,BD相交于点O，若要证明ABCD是平行四边形，则要证明OA=__________，OB=__________.
要点感知2 两组对角__________的四边形是平行四边形.
预习练习2-1 在四边形ABCD中，已知∠A=20°，∠B=160°，∠C=20°，则四边形ABCD是__________四边形.
知识点1 对角线互相平分的四边形是平行四边形
1.在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，且OA=OC，OB=OD，则下列结论不一定成立的是( )
A.AB∥CD B.BC∥AD C.AB=AD D.BC=AD
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2.将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD为平行四边形，理由是____________________.
3.四边形ABCD中，AC，BD交于点O，且OA=OC，OB=OD，∠ABC=80°，则∠ADC=__________.
4.如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F在AC上，点G，H在BD上，AF=CE，BH=DG.
求证：GF∥HE.
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知识点2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
5.下列条件中，能说明四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.∠A=30°，∠B=150°，∠C=30°，∠D=150°
B.∠A=60°，∠B=60°，∠C=120°，∠D=120°
C.∠A=60°，∠B=90°，∠C=60°，∠D=150°
D.∠A=60°，∠B=70°，∠C=110°，∠D=120°
6.下列条件中不能判断四边形是平行四边形的是( )
A.两组对边分别相等 B.一组对边平行且相等
C.对角线相等 D.两组对角分别相等
7.在下列条件中，不能确定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A.∠A=∠C，∠B=∠D
B.∠A=∠B=∠C=90°
C.∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°
D.∠A=∠B，∠C=∠D
8.在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠A=∠C，添加下列一个条件后，能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.∠A=∠B B.∠C=∠D C.∠B=∠D D.AB=CD
9.下面给出了四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.1∶2∶2∶1 B.2∶2∶1∶1 C.1∶2∶1∶2 D.1∶1∶2∶2
10.在四边形ABCD中，已知∠A=75°，∠B=105°，∠C=75°，则四边形ABCD是__________四边形.
11.在四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠B+2∠C=225°，∠B-∠C=90°，求证：四边形ABCD是平行四边形.
12.下列说法正确的是( )
A.对角线相等的四边形是平行四边形
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D.对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形
13.在四边形ABCD中，AD∥BC，若要使四边形ABCD是平行四边形，则应添加条件( )
A.∠A+∠C=180 ( http: / / www.21cnjy.com )° B.∠B+∠D=180° C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠D=180°
14.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A.AB∥CD，AD∥BC B.OA=OC,OB=OD
C.AD=BC，AB∥CD D.AB=CD,AD=BC
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15.在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是平行四边形应符合下列条件中的( )
A.AB∥CD，BC=AD B.AB=CD，OA=OC
C.AB∥CD，OA=OC D.AB=CD，AC=BD
16.在四边形ABCD中，已知∠A=∠C=60°，则当∠B的度数为__________时，四边形ABCD是平行四边形.
17.如图，直线c，d与直线a，b相交于点A，B，C，D，∠1=∠3，∠2=∠4，求证：AB=CD.
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18.已知：如图，在□ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF.求证：四边形BEDF是平行四边形.
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19.如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE.
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(1)求证：△BDE≌△CDF.
(2)请连接BF，CE，试证明四边形BECF是平行四边形.
20.如图，已知点O是□ABCD对角线AC的中点，过点O的直线EF分别交AB,CD于E，F两点.
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(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)不添加辅助线，请写出图中所有全等的三角形(不需要证明).
参考答案
要点感知1 互相平分
预习练习1-1 OC OD
要点感知2 分别相等
预习练习2-1 平行
1.C 2.对角线互相平分的四边形是平行四边形 3.80°
4.证明：在□ABCD中，OA=OC,
又∵AF=CE，
∴OA-AF=OC-CE，即OF=OE.
同理OG=OH.
∴四边形EGFH是平行四边形.
∴GF∥HE.
5.A 6.C 7.D 8.C 9.C 10.平行
11.证明：∵∠B+2∠C=225°，∠B-∠C=90°，
∴∠B=135°，∠C=45°.
∴∠D=360°-∠A-∠B-∠C=360°-45°-135°-45°=135°.
∴∠A=∠C，∠B=∠D.
∴四边形ABCD是平行四边形.
12.B 13.D 14.C 15.C 16.120°
17.证明：如图，
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∵∠1=∠5，∠3=∠7，∠1=∠3，
∴∠5=∠7.
同理：∠6=∠8.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AB=CD.
18.证明：连接BD，与AC相交于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC.
∵AE=CF，
∴OE=OF.
又OB=OD，
∴四边形BEDF是平行四边形.
19.证明：(1)∵CF∥BE，
∴∠EBD=∠FCD.
又∵BD=CD，∠BDE=∠CDF，
∴△BDE≌△CDF（ASA）.
(2)证法1：由△BDE≌△CDF，得ED=FD.
又∵BD=CD，
∴四边形BECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
证法2：由△BDE≌△CDF，得BE=CF，
又BE∥CF，
∴四边形BECF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
20.(1)证明：∵在□ABCD中，AB∥CD，
∴∠EAO=∠FCO.
又OA=OC，∠EOA=∠FOC，
∴△AOE≌△COF(ASA).
∴OE=OF，
又OA=OC.
∴四边形AECF为平行四边形.
(2)△AOE≌△COF，△AOF≌△COE，△AFC≌△CEA，△AFE≌△CEF，△ADC≌△CBA，△ADF≌△CBE.